Principios variacionales y análisis de Bloch por elementos finitos en elastodinámica de esfuerzos de par

Abordamos la simulación numérica de sólidos periódicos (cristales fonónicos) en el marco de la elasticidad de tensión de par. Los términos adicionales en la energía potencial elástica conducen a un comportamiento dispersivo en las ondas de corte, incluso en ausencia de periodicidad material. Para estudiar las ondas en estos materiales, establecemos un principio de acción en el dominio de la frecuencia y presentamos una formulación de elementos finitos para el problema de propagación de ondas relacionado con la teoría de tensión de par sujeta a un conjunto extendido de condiciones de frontera periódicas de Bloch. Una gran diferencia con la formulación tradicional de elementos finitos para cristales fonónicos es la aparición de derivadas de orden superior. Resolvemos este problema con el uso de multiplicadores de Lagrange. Después de presentar el principio variacional y el tratamiento general de elementos finitos, lo particularizamos al problema de encontrar relaciones de dispersión en cuerpos elásticos con propiedades materiales periódicas. La implementación resultante se utiliza para determinar las curvas de dispersión para sólidos homogéneos y porosos sometidos a tensión de acoplamiento, en los que se encuentra que estos últimos exhiben una interesante estructura de bandgaps.

Transcript

1. Principios variacionales y análisis de Bloch por elementos finitos en elastodinámica de esfuerzos de par Nicolás Guarín-Zapata @nicoguaro Junio 2022
2. Artículo publicado Preprint
3. Nos interesa estudiar materiales periódicos en los que la celda unitaria esté hecha de un continuo generalizado
4. Celda unitaria
5. ¿Cuándo necesitamos continuos generalizados?
6. Modelos con influencia de la microestructura
7. Cuando no podemos separar escalas
8. Materiales dispersivos
9. Consecuencias de esta generalización
10. • Aparición de esfuerzos de par • Tensor de esfuerzos no simétrico • Dependencia de derivadas de orden superior
11. Adicional a los esfuerzos asociados a fuerzas aparecen otros asociados a momentos.
12. Tracciones en el punto material Los esfuerzos antisimétricos equilibran los esfuerzos de par = +
13. La ecuación diferencial sería + condiciones de frontera
14. Forma variacional del problema
15. Nuestro funcional es
16. Estamos resolviendo el problema en el dominio de la frecuencia
17. Asociado a la energía potencial elástica
18. Asociado a la energía cinética
19. Asociado a las condiciones de frontera y término fuente
20. Energía cinética
21. Parte clásica Energía potencial Efecto de orden superior
22. Clásicamente, las rotaciones son necesarias pero no aportan a la energía potencial del sistema
24. Cargas externas En nuestro caso: • No hay fuerzas de cuerpo • Las condiciones de frontera naturales son nulas
25. Problema variacional
26. Encontrar una tupla (u, ω) que satisfaga con u en H2.
27. Esta solución existe Ya que nuestro funcional es: • Hermítico; y • Positivo Definido
28. Formulación por elementos finitos
29. Encontrar una solución aproximada u en H2 requeriría usar interpoladores continuamente derivables (C1)
30. Usamos multiplicadores de Lagrange para franquear este problema
31. Encontrar una terna (u, θ, ω) que satisfaga con u, θ en H1, y λ en L2.
32. Con el multiplicador λ corresponde a la parte antisimétrica del tensor de esfuerzos.
33. Nuestro elemento aproxima los desplazamientos y rotaciones en los nodos y el multiplicador en cada elemento
34. Resultados
35. Nuestros resultados son curvas de dispersión
36. Número de onda Velocidad de grupo Aproximación de baja frecuencia Frecuencia angular Velocidad de fase
37. Comparación con el caso analítico 0 5 10 Ω Γ X 0 5 10 Ω Γ X
38. Convergencia 2.32 1×1 elements 4×4 elements 8×8 elements 2×2 elements
39. Un caso más complicado Microestructura
40. Nicolás Guarín-Zapata nicoguaro.github.io nguarinz@eafit.edu.co @nicoguaro Contacto