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Principios variacionales y análisis de Bloch por elementos finitos en elastodinámica de esfuerzos de par

Principios variacionales y análisis de Bloch por elementos finitos en elastodinámica de esfuerzos de par

Abordamos la simulación numérica de sólidos periódicos (cristales fonónicos) en el marco de la elasticidad de tensión de par. Los términos adicionales en la energía potencial elástica conducen a un comportamiento dispersivo en las ondas de corte, incluso en ausencia de periodicidad material. Para estudiar las ondas en estos materiales, establecemos un principio de acción en el dominio de la frecuencia y presentamos una formulación de elementos finitos para el problema de propagación de ondas relacionado con la teoría de tensión de par sujeta a un conjunto extendido de condiciones de frontera periódicas de Bloch. Una gran diferencia con la formulación tradicional de elementos finitos para cristales fonónicos es la aparición de derivadas de orden superior. Resolvemos este problema con el uso de multiplicadores de Lagrange. Después de presentar el principio variacional y el tratamiento general de elementos finitos, lo particularizamos al problema de encontrar relaciones de dispersión en cuerpos elásticos con propiedades materiales periódicas. La implementación resultante se utiliza para determinar las curvas de dispersión para sólidos homogéneos y porosos sometidos a tensión de acoplamiento, en los que se encuentra que estos últimos exhiben una interesante estructura de bandgaps.

Nicolás Guarín-Zapata

June 08, 2022
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Transcript

  1. Principios variacionales y
    análisis de Bloch por elementos
    finitos en elastodinámica de
    esfuerzos de par
    Nicolás Guarín-Zapata
    @nicoguaro
    Junio 2022

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  2. Artículo
    publicado
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  3. Nos interesa estudiar materiales periódicos
    en los que la celda unitaria esté hecha de un
    continuo generalizado

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  4. Celda
    unitaria

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  5. ¿Cuándo necesitamos
    continuos generalizados?

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  6. Modelos con influencia
    de la microestructura

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  7. Cuando no podemos separar escalas

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  8. Materiales dispersivos

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  9. Consecuencias de esta
    generalización

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  10. • Aparición de esfuerzos de par
    • Tensor de esfuerzos no simétrico
    • Dependencia de derivadas de orden superior

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  11. Adicional a los
    esfuerzos asociados a
    fuerzas aparecen otros
    asociados a momentos.

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  12. Tracciones en el
    punto material
    Los esfuerzos antisimétricos
    equilibran los esfuerzos de par
    = +

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  13. La ecuación diferencial sería
    + condiciones de frontera

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  14. Forma variacional del problema

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  15. Nuestro funcional es

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  16. Estamos resolviendo el problema en el
    dominio de la frecuencia

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  17. Asociado a la energía potencial elástica

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  18. Asociado a la energía cinética

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  19. Asociado a las condiciones de
    frontera y término fuente

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  20. Energía cinética

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  21. Parte clásica
    Energía potencial
    Efecto de
    orden superior

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  22. Clásicamente, las
    rotaciones son
    necesarias pero no
    aportan a la energía
    potencial del sistema

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  23. View Slide

  24. Cargas externas
    En nuestro caso:
    • No hay fuerzas de cuerpo
    • Las condiciones de frontera naturales son
    nulas

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  25. Problema variacional

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  26. Encontrar una tupla (u, ω) que satisfaga
    con u en H2.

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  27. Esta solución existe
    Ya que nuestro funcional es:
    • Hermítico; y
    • Positivo Definido

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  28. Formulación por
    elementos finitos

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  29. Encontrar una solución aproximada u
    en H2 requeriría usar interpoladores
    continuamente derivables (C1)

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  30. Usamos multiplicadores de Lagrange para
    franquear este problema

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  31. Encontrar una terna (u, θ, ω) que satisfaga
    con u, θ en H1, y λ en L2.

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  32. Con
    el multiplicador λ corresponde a la parte
    antisimétrica del tensor de esfuerzos.

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  33. Nuestro elemento
    aproxima los
    desplazamientos y
    rotaciones en los
    nodos y el
    multiplicador en
    cada elemento

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  34. Resultados

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  35. Nuestros resultados son curvas de
    dispersión

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  36. Número de onda
    Velocidad
    de grupo
    Aproximación
    de baja
    frecuencia
    Frecuencia angular
    Velocidad
    de fase

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  37. Comparación con el caso analítico
    0
    5
    10

    Γ X
    0
    5
    10

    Γ X

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  38. Convergencia
    2.32
    1×1 elements
    4×4 elements 8×8 elements
    2×2 elements

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  39. Un caso más complicado
    Microestructura

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  40. Nicolás Guarín-Zapata
    nicoguaro.github.io
    [email protected]
    @nicoguaro
    Contacto

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