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Ecuación de la cuerda ideal: O por qué las guitarras siempre están desafinadas

Ecuación de la cuerda ideal: O por qué las guitarras siempre están desafinadas

En esta charla hablaremos sobre la ecuación de la cuerda ideal y cómo se usa para diseñar guitarras. Discutiremos un poco sobre los supuestos usados y cómo estos nos permiten resolver el problema a costa de la introducción de algunos errores.

Nicolás Guarín-Zapata

April 24, 2021
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Transcript

  1. La ecuación de la cuerda ideal
    O por qué las guitarras siempre están
    desafinadas
    Nicolás Guarín-Zapata
    @nicoguaro
    Abril 2021

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  2. Contacto
    Twitter
    @nicoguaro
    GitHub
    nicoguaro
    Página web
    http://nicoguaro.github.io/
    Correo electrónico
    [email protected]

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  3. La guitarra

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  4. Esta es mi guitarra

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  5. Algunas partes de la
    guitarra
    Hueso
    Puente
    Longitud
    de escala

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  6. Modelo matemático

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  7. Consideraciones
    La cuerda es muy larga en comparación con los
    desplazamientos que se presentan. Lo que nos lleva a
    tensiones constantes a lo largo de la cuerda.

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  8. Consideraciones
    La cuerda es muy larga en comparación con su grosor.
    Lo que nos lleva a despreciar la rigidez a la flexión de la
    cuerda.

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  9. Consideraciones
    La cuerda es muy homogénea, es decir, su densidad de
    masa es la misma en todos los puntos.

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  10. x
    y
    T1
    T2
    x x+ Δ x
    α
    β
    y
    Vamos a deducir la
    ecuación de la
    cuerda ideal a
    partir de un
    balance de fuerza
    horizontal.

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  11. x
    y
    T1
    T2
    x x+ Δ x
    α
    β
    y
    Asumimos que los
    desplazamientos son
    pequeños

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  12. x
    y
    T1
    T2
    x x+ Δ x
    α
    β
    y

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  13. x
    y
    T1
    T2
    x x+ Δ x
    α
    β
    y

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  14. x
    y
    T1
    T2
    x x+ Δ x
    α
    β
    y
    Asumimos que es
    homogénea

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  15. x
    y
    T1
    T2
    x x+ Δ x
    α
    β
    y

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  16. x
    y
    T1
    T2
    x x+ Δ x
    α
    β
    y

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  17. x
    y
    T1
    T2
    x x+ Δ x
    α
    β
    y
    Tenemos ángulos
    pequeños en ambos
    extremos

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  18. x
    y
    T1
    T2
    x x+ Δ x
    α
    β
    y
    Esta es la ecuación de
    onda

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  19. x
    y
    T1
    T2
    x x+ Δ x
    α
    β
    y
    Su velocidad es

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  20. Modos de vibración de
    la cuerda

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  21. La forma en la que cambiamos la frecuencia de
    las cuerdas para hacer música es cambiando su
    longitud efectiva (L
    n
    ).

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  22. La forma en la que cambiamos la frecuencia de
    las cuerdas para hacer música es cambiando su
    longitud efectiva

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  23. La frecuencia para la cuerda está dada por

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  24. Esto podemos usarlo para diseñar el diapasón

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  25. Podemos ver que este sólo tenemos parámetros
    geométricos en el diseño.

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  27. Considerando “grandes”
    desplazamientos

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  28. En este caso las
    ecuaciones se
    complican “un poco”

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  29. Este efecto no es tan importante como
    despreciar la rigidez

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  30. El siguiente artículo discute en detalle este modelo:
    Carrier, G. F. (1945). On the non-linear vibration problem
    of the elastic string. Quarterly of Applied Mathematics,
    3(2), 157-165.

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  31. Considerando la rigidez a la
    flexión de la cuerda

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  32. En el caso de considerar la
    rigidez de la cuerda es
    necesario hacer un balance
    de fuerzas y otro de
    momentos.
    p

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  33. En este caso, la ecuación resultante es la
    siguiente

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  34. Esto podemos usarlo para diseñar el diapasón

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  35. Con
    Y ya el diseño no depende sólo de parámetros
    geométricos.

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  36. View Slide

  37. ¿Cómo mitigar el problema?
    Una opción para mitigar el
    problema es usar cuerdas
    entorchadas que añaden
    masa pero no rigidez.

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  38. Considerando incrementos en
    tensión

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  39. Una cuerda siendo tocada luce así
    h
    L
    a

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  40. El incremento en tensión sería

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  41. Esto implica un incremento en la frecuencia
    a medida que nos movemos en el diapasón.

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  42. La solución suele ser incrementar un poco
    la longitud de escala, es decir, alejar un
    poco el puente del hueso. Proceso al que
    se suele llamar octavar la guitarra.

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  43. ¿Dónde puedo leer más?

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  44. Artículos
    Nicolás Guarín-Zapata (2021). Design of a
    fretboard using the stiff string equation. Sin
    publicar
    Carrier, G. F. (1945). On the non-linear vibration
    problem of the elastic string. Quarterly of
    Applied Mathematics, 3(2), 157-165.

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  45. Libros

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  46. ¿Qué preguntas tienen?

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