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Ecuación de la cuerda ideal: O por qué las guitarras siempre están desafinadas

Ecuación de la cuerda ideal: O por qué las guitarras siempre están desafinadas

En esta charla hablaremos sobre la ecuación de la cuerda ideal y cómo se usa para diseñar guitarras. Discutiremos un poco sobre los supuestos usados y cómo estos nos permiten resolver el problema a costa de la introducción de algunos errores.

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Nicolás Guarín-Zapata

April 24, 2021
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Transcript

  1. La ecuación de la cuerda ideal O por qué las

    guitarras siempre están desafinadas Nicolás Guarín-Zapata @nicoguaro Abril 2021
  2. Contacto Twitter @nicoguaro GitHub nicoguaro Página web http://nicoguaro.github.io/ Correo electrónico

    nguarinz@eafit.edu.co
  3. La guitarra

  4. Esta es mi guitarra

  5. Algunas partes de la guitarra Hueso Puente Longitud de escala

  6. Modelo matemático

  7. Consideraciones La cuerda es muy larga en comparación con los

    desplazamientos que se presentan. Lo que nos lleva a tensiones constantes a lo largo de la cuerda.
  8. Consideraciones La cuerda es muy larga en comparación con su

    grosor. Lo que nos lleva a despreciar la rigidez a la flexión de la cuerda.
  9. Consideraciones La cuerda es muy homogénea, es decir, su densidad

    de masa es la misma en todos los puntos.
  10. x y T1 T2 x x+ Δ x α β

    y Vamos a deducir la ecuación de la cuerda ideal a partir de un balance de fuerza horizontal.
  11. x y T1 T2 x x+ Δ x α β

    y Asumimos que los desplazamientos son pequeños
  12. x y T1 T2 x x+ Δ x α β

    y
  13. x y T1 T2 x x+ Δ x α β

    y
  14. x y T1 T2 x x+ Δ x α β

    y Asumimos que es homogénea
  15. x y T1 T2 x x+ Δ x α β

    y
  16. x y T1 T2 x x+ Δ x α β

    y
  17. x y T1 T2 x x+ Δ x α β

    y Tenemos ángulos pequeños en ambos extremos
  18. x y T1 T2 x x+ Δ x α β

    y Esta es la ecuación de onda
  19. x y T1 T2 x x+ Δ x α β

    y Su velocidad es
  20. Modos de vibración de la cuerda

  21. La forma en la que cambiamos la frecuencia de las

    cuerdas para hacer música es cambiando su longitud efectiva (L n ).
  22. La forma en la que cambiamos la frecuencia de las

    cuerdas para hacer música es cambiando su longitud efectiva
  23. La frecuencia para la cuerda está dada por

  24. Esto podemos usarlo para diseñar el diapasón

  25. Podemos ver que este sólo tenemos parámetros geométricos en el

    diseño.
  26. None
  27. Considerando “grandes” desplazamientos

  28. En este caso las ecuaciones se complican “un poco”

  29. Este efecto no es tan importante como despreciar la rigidez

  30. El siguiente artículo discute en detalle este modelo: Carrier, G.

    F. (1945). On the non-linear vibration problem of the elastic string. Quarterly of Applied Mathematics, 3(2), 157-165.
  31. Considerando la rigidez a la flexión de la cuerda

  32. En el caso de considerar la rigidez de la cuerda

    es necesario hacer un balance de fuerzas y otro de momentos. p
  33. En este caso, la ecuación resultante es la siguiente

  34. Esto podemos usarlo para diseñar el diapasón

  35. Con Y ya el diseño no depende sólo de parámetros

    geométricos.
  36. None
  37. ¿Cómo mitigar el problema? Una opción para mitigar el problema

    es usar cuerdas entorchadas que añaden masa pero no rigidez.
  38. Considerando incrementos en tensión

  39. Una cuerda siendo tocada luce así h L a

  40. El incremento en tensión sería

  41. Esto implica un incremento en la frecuencia a medida que

    nos movemos en el diapasón.
  42. La solución suele ser incrementar un poco la longitud de

    escala, es decir, alejar un poco el puente del hueso. Proceso al que se suele llamar octavar la guitarra.
  43. ¿Dónde puedo leer más?

  44. Artículos Nicolás Guarín-Zapata (2021). Design of a fretboard using the

    stiff string equation. Sin publicar Carrier, G. F. (1945). On the non-linear vibration problem of the elastic string. Quarterly of Applied Mathematics, 3(2), 157-165.
  45. Libros

  46. ¿Qué preguntas tienen?