Ecuación de la cuerda ideal: O por qué las guitarras siempre están desafinadas

En esta charla hablaremos sobre la ecuación de la cuerda ideal y cómo se usa para diseñar guitarras. Discutiremos un poco sobre los supuestos usados y cómo estos nos permiten resolver el problema a costa de la introducción de algunos errores.

Transcript

1. La ecuación de la cuerda ideal
   O por qué las guitarras siempre están
   desafinadas
   Nicolás Guarín-Zapata
   @nicoguaro
   Abril 2021
   

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2. Contacto
   Twitter
   @nicoguaro
   GitHub
   nicoguaro
   Página web
   http://nicoguaro.github.io/
   Correo electrónico
   nguarinz@eafit.edu.co
   

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3. La guitarra
   

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4. Esta es mi guitarra
   

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5. Algunas partes de la
   guitarra
   Hueso
   Puente
   Longitud
   de escala
   

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6. Modelo matemático
   

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7. Consideraciones
   La cuerda es muy larga en comparación con los
   desplazamientos que se presentan. Lo que nos lleva a
   tensiones constantes a lo largo de la cuerda.
   

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8. Consideraciones
   La cuerda es muy larga en comparación con su grosor.
   Lo que nos lleva a despreciar la rigidez a la flexión de la
   cuerda.
   

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9. Consideraciones
   La cuerda es muy homogénea, es decir, su densidad de
   masa es la misma en todos los puntos.
   

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10. x
    y
    T1
    T2
    x x+ Δ x
    α
    β
    y
    Vamos a deducir la
    ecuación de la
    cuerda ideal a
    partir de un
    balance de fuerza
    horizontal.
    

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11. x
    y
    T1
    T2
    x x+ Δ x
    α
    β
    y
    Asumimos que los
    desplazamientos son
    pequeños
    

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12. x
    y
    T1
    T2
    x x+ Δ x
    α
    β
    y
    

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13. x
    y
    T1
    T2
    x x+ Δ x
    α
    β
    y
    

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14. x
    y
    T1
    T2
    x x+ Δ x
    α
    β
    y
    Asumimos que es
    homogénea
    

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15. x
    y
    T1
    T2
    x x+ Δ x
    α
    β
    y
    

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16. x
    y
    T1
    T2
    x x+ Δ x
    α
    β
    y
    

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17. x
    y
    T1
    T2
    x x+ Δ x
    α
    β
    y
    Tenemos ángulos
    pequeños en ambos
    extremos
    

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18. x
    y
    T1
    T2
    x x+ Δ x
    α
    β
    y
    Esta es la ecuación de
    onda
    

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19. x
    y
    T1
    T2
    x x+ Δ x
    α
    β
    y
    Su velocidad es
    

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20. Modos de vibración de
    la cuerda
    

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21. La forma en la que cambiamos la frecuencia de
    las cuerdas para hacer música es cambiando su
    longitud efectiva (L
    n
    ).
    

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22. La forma en la que cambiamos la frecuencia de
    las cuerdas para hacer música es cambiando su
    longitud efectiva
    

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23. La frecuencia para la cuerda está dada por
    

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24. Esto podemos usarlo para diseñar el diapasón
    

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25. Podemos ver que este sólo tenemos parámetros
    geométricos en el diseño.
    

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26. View Slide

27. Considerando “grandes”
    desplazamientos
    

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28. En este caso las
    ecuaciones se
    complican “un poco”
    

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29. Este efecto no es tan importante como
    despreciar la rigidez
    

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30. El siguiente artículo discute en detalle este modelo:
    Carrier, G. F. (1945). On the non-linear vibration problem
    of the elastic string. Quarterly of Applied Mathematics,
    3(2), 157-165.
    

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31. Considerando la rigidez a la
    flexión de la cuerda
    

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32. En el caso de considerar la
    rigidez de la cuerda es
    necesario hacer un balance
    de fuerzas y otro de
    momentos.
    p
    

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33. En este caso, la ecuación resultante es la
    siguiente
    

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34. Esto podemos usarlo para diseñar el diapasón
    

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35. Con
    Y ya el diseño no depende sólo de parámetros
    geométricos.
    

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36. View Slide

37. ¿Cómo mitigar el problema?
    Una opción para mitigar el
    problema es usar cuerdas
    entorchadas que añaden
    masa pero no rigidez.
    

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38. Considerando incrementos en
    tensión
    

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39. Una cuerda siendo tocada luce así
    h
    L
    a
    

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40. El incremento en tensión sería
    

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41. Esto implica un incremento en la frecuencia
    a medida que nos movemos en el diapasón.
    

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42. La solución suele ser incrementar un poco
    la longitud de escala, es decir, alejar un
    poco el puente del hueso. Proceso al que
    se suele llamar octavar la guitarra.
    

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43. ¿Dónde puedo leer más?
    

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44. Artículos
    Nicolás Guarín-Zapata (2021). Design of a
    fretboard using the stiff string equation. Sin
    publicar
    Carrier, G. F. (1945). On the non-linear vibration
    problem of the elastic string. Quarterly of
    Applied Mathematics, 3(2), 157-165.
    

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45. Libros
    

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46. ¿Qué preguntas tienen?
    

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