Ecuación de la cuerda ideal: O por qué las guitarras siempre están desafinadas

En esta charla hablaremos sobre la ecuación de la cuerda ideal y cómo se usa para diseñar guitarras. Discutiremos un poco sobre los supuestos usados y cómo estos nos permiten resolver el problema a costa de la introducción de algunos errores.

Transcript

1. La ecuación de la cuerda ideal O por qué las guitarras siempre están desafinadas Nicolás Guarín-Zapata @nicoguaro Abril 2021
2. Contacto Twitter @nicoguaro GitHub nicoguaro Página web http://nicoguaro.github.io/ Correo electrónico nguarinz@eafit.edu.co
3. La guitarra
4. Esta es mi guitarra
5. Algunas partes de la guitarra Hueso Puente Longitud de escala
6. Modelo matemático
7. Consideraciones La cuerda es muy larga en comparación con los desplazamientos que se presentan. Lo que nos lleva a tensiones constantes a lo largo de la cuerda.
8. Consideraciones La cuerda es muy larga en comparación con su grosor. Lo que nos lleva a despreciar la rigidez a la flexión de la cuerda.
9. Consideraciones La cuerda es muy homogénea, es decir, su densidad de masa es la misma en todos los puntos.
10. x y T1 T2 x x+ Δ x α β y Vamos a deducir la ecuación de la cuerda ideal a partir de un balance de fuerza horizontal.
11. x y T1 T2 x x+ Δ x α β y Asumimos que los desplazamientos son pequeños
12. x y T1 T2 x x+ Δ x α β y
13. x y T1 T2 x x+ Δ x α β y
14. x y T1 T2 x x+ Δ x α β y Asumimos que es homogénea
15. x y T1 T2 x x+ Δ x α β y
16. x y T1 T2 x x+ Δ x α β y
17. x y T1 T2 x x+ Δ x α β y Tenemos ángulos pequeños en ambos extremos
18. x y T1 T2 x x+ Δ x α β y Esta es la ecuación de onda
19. x y T1 T2 x x+ Δ x α β y Su velocidad es
20. Modos de vibración de la cuerda
21. La forma en la que cambiamos la frecuencia de las cuerdas para hacer música es cambiando su longitud efectiva (L n ).
22. La forma en la que cambiamos la frecuencia de las cuerdas para hacer música es cambiando su longitud efectiva
23. La frecuencia para la cuerda está dada por
24. Esto podemos usarlo para diseñar el diapasón
25. Podemos ver que este sólo tenemos parámetros geométricos en el diseño.
27. Considerando “grandes” desplazamientos
28. En este caso las ecuaciones se complican “un poco”
29. Este efecto no es tan importante como despreciar la rigidez
30. El siguiente artículo discute en detalle este modelo: Carrier, G. F. (1945). On the non-linear vibration problem of the elastic string. Quarterly of Applied Mathematics, 3(2), 157-165.
31. Considerando la rigidez a la flexión de la cuerda
32. En el caso de considerar la rigidez de la cuerda es necesario hacer un balance de fuerzas y otro de momentos. p
33. En este caso, la ecuación resultante es la siguiente
34. Esto podemos usarlo para diseñar el diapasón
35. Con Y ya el diseño no depende sólo de parámetros geométricos.
37. ¿Cómo mitigar el problema? Una opción para mitigar el problema es usar cuerdas entorchadas que añaden masa pero no rigidez.
38. Considerando incrementos en tensión
39. Una cuerda siendo tocada luce así h L a
40. El incremento en tensión sería
41. Esto implica un incremento en la frecuencia a medida que nos movemos en el diapasón.
42. La solución suele ser incrementar un poco la longitud de escala, es decir, alejar un poco el puente del hueso. Proceso al que se suele llamar octavar la guitarra.
43. ¿Dónde puedo leer más?
44. Artículos Nicolás Guarín-Zapata (2021). Design of a fretboard using the stiff string equation. Sin publicar Carrier, G. F. (1945). On the non-linear vibration problem of the elastic string. Quarterly of Applied Mathematics, 3(2), 157-165.
45. Libros
46. ¿Qué preguntas tienen?