ບົດທີ່ 1

ບົດທີ່ 1

Transcript

1. Math2 ບັນລະຍາຍ ໂດຍ ອ.ຈ ອ າຄາ ນາເຟືອງວິໄລ
2. ພາກທີ 01 ການຫາຜົນຕ າລາພາກສ່ວນ ( Partial differentiation ) ໃຊ້ເວລາ 20 ຊົ່ວໂມງ ເລີ້ມຕົ້ນ 9 Mar -10 Apr/2015
3. I.I ຕ າລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ (Multivariable Functions) ວິທະຍາສາດແລະວິສະວະກ າສາດນ ັ້ນບ ່ໄດ້ຂື້ນຢ ່ກ ັບຕົວ ໃນການຊອກຫາຄ່າປະລິມານບາງຢ່າງທາງດ້ານ ຕົວປ່ຽນຕົວດຽວອາດຈະຂື້ນຢ ່ກ ັບຕົວປ່ຽນຫຼາຍໆຕົວດັ່ງ ຕົວຢ່າງຕ ່ໄປນີ້: ຕົວຢ່າງ1.1 ຈ ົ່ງຊອກຫາບ ລິມາດຂອງຮ ບຈວຍ ( right circular con ) ທີ່ ມີລັດສະໝີ r ແລະ ລວງສ ງ h
4. ຖ້າ v ແທນໃຫ້ບ ລິມາດຈະໄດ້   2 1 , 3 V V r h r h    ບ ລິມາດ ຂອງຈວຍກ ົມ ໃນນີ້ບ ລິມາດ v ຂື້ນກ ັບຕົວປ່ຽນ r ແລະ h ຊ່ືງແຕ່ລະຕົວປ່ຽນເອກະລາດ r ແລະ h ໃຫ້ ຄ່າ v ພຽງຄ່າດ່ຽວເທົ້ານ ັ້ນໂດຍທີ່ r, h ແລະv ເປັນຈ ານວນຈີງຫຼືອາດຈະຂຽນໄດ້ເປັນ: ( , ) V f r h  ວິທີແກ້
5. ຕົວຢ່າງ1.2 ຈ ົ່ງຊອກຫາເນື້ອທ່ີຂອງຮ ບສີ່ແຈ ສາກທີ່ ມີຂ້າງພື້ນແທກໄດ້ a ຊັງຕີແມັດ ລວງສ ງແທກໄດ້ b ຊັງຕີແມັດ ຖ້າ A ແທນໃຫ້ເນື້ອທີ່ ຈະໄດ້   , A f a b ab   ເນື້ອທີ່ ຂອງຮ ບສີ່ແຈສາກ ວິທີແກ້ ໂດຍທ່ີ a ແລະ b ເປັນຕົວປ່ຽນເອກະລາດ
6. 2 1 ( , ) 2 S S v t vt gt    2 9.8 /sec g m  ຂອງວັດຖຸທີ່ ເຄື່ອນທີ່ ໃນລວງຕັ້ງ S ເປັນຕ າລາຂອງຄວາມໄວ v ແລະ ເວລາ t ຕົວຢ່າງ1.3 ຈ ົ່ງຊອກຫາຊອກຫາໄລຍະທາງ ວິທີແກ້ ຖ້າ S ແທນໃຫ້ໄລຍະທາງຈະໄດ້
7. ຕົວຢ່າງ1.4 ຈ ົ່ງຊອກຫາບ ລິມາດຂອງຮ ບກ ັບ ສາກທີ່ ມີຂ້າງພື້ນແທກໄດ້x ແລະ y ຊັງຕີແມັດ ລວງສ ງແທກໄດ້ z ຊັງຕີແມັດ ຖ້າ V ແທນໃຫ້ບ ລິມາດຈະໄດ້   , , V f x y z xyz   ບ ລິມາດ ຂອງຮ ບສີ່ແຈສາກ ວິທີແກ້ ໂດຍທ່ີ x,y ແລະ z ເປັນຕົວປ່ຽນເອກະລາດ
8. ຕົວຢ່າງ1.5 ຈະເປັນຕ າລາຄ່າຈີງ(real-valued function) ກ ່ຕ ່ເມ່ືອ ຫຼື ຖ້າ ຫຼື 2 2 1 z x y    z ເປັນຕ າລາຂອງ2ຕົວປ່ຽນ x,y ຄ່າຂອງ z 2 2 1 0 x y    2 2 1 x y   ຊ່ືງຖ້າ ຈະເຮັດໃຫ້ z ເປັນ 2 2 1 0 x y    ຈ ານວນສ ານືກ
9. 1.1.1 ນິຍາມແລະຄຸນລັກສະນະຂອງຕ າລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ ( Definition and Properties of Multivariable Functions ) ນິຍາມ1.1 ເຮົາເອີ້ນ ເປັນຕ າລາຂອງສອງຕົວປ່ຽນx,y ( , ) z f x y  , ຖ້າຄ່າຂອງຕ າລາ ຂື້ນຢ ່ກ ັບ x R  y R  ເອີ້ນ x ແລະ y ວ່າຕົວປ່ຽນເອກະລາດ ( , ) f x y ຕົວປ່ຽນເອກະລາດ 2 ຄ່າ ແລະ z R  ເອີ້ນ z ເປັນຕົວປ່ຽນຕາມ
10. ເຮົາເອີ້ນ ເປັນຕ າລາຂອງ3ຕົວປ່ຽນ ( , , ) W G x y z  , ແລະ ຖ້າຄ່າຂອງຕ າລາ x R  y R  ເອີ້ນ x, y ແລະ z ວ່າຕົວປ່ຽນເອກະລາດ ຂື້ນຢ ່ກ ັບຕົວປ່ຽນເອກະລາດ 3 ຄ່າ ແລະ w R  ເອີ້ນ w ເປັນຕົວປ່ຽນຕາມ z R  ( , , ) G x y z
11. , ແລະ ຖ້າຄ່າຂອງຕ າລາ 1 2 , x R x R   ຂື້ນຢ ່ກ ັບຕົວປ່ຽນເອກະລາດ n ຄ່າ ແລະ ເອີ້ນ y ເປັນຕົວປ່ຽນຕາມ n x R  1 2 ( , , , ) n y f x x x  y R  ໃນທ ານອງດຽວກ ັນ ເຮົາເອີ້ນ ເປັນຕ າລາຂອງnຕົວປ່ຽນ 1 2 ( , , , ) n y f x x x  ເອີ້ນ ວ່າຕົວປ່ຽນເອກະລາດ 1 2 , , n x x x
12. “ເຂດກ ານ ົດ (domain) ຂອງຕ າລາ f “ “ ເງົາຫຼື ກຸ່ມຄຸນຄ່າ (Range) ຂອງຕ າລາ f “ ເອີ້ນກຸ່ມຂອງຄ ່ອັນດັບ ຊີ່ງເປັນຄ ່ລ າດັບຂອງ ( , ) x y ຈ ານວນຈີງໃດໆວ່າ: ເອີ້ນ Z ທ່ີຫາໄດ້ ວ່າຕົວປ່ຽນບ ່ເອກະລາດ ເອີ້ນກຸ່ມຂອງ Z ທ່ີຫາໄດ້ຈາກ f ວ່າ: 1.1.2 ກຸ່ມກ ານ ົດ ແລະ ກຸ່ມຄຸນຄ່າຂອງຕ າລາ ( Domain and Range of Functions ) ສ າລັບ ຕ າລາ ( , ) z f x y  ເອີ້ນ x ແລະ y ວ່າຕົວປ່ຽນເອກະລາດ
13. “ເຂດກ ານ ົດ (domain) ຂອງຕ າລາ f “ “ ເງົາຫຼື ກຸ່ມຄຸນຄ່າ (Range) ຂອງຕ າລາ f “ ເອີ້ນກຸ່ມຂອງຄ ່ອັນດັບ ຊີ່ງເປັນຄ ່ລ າດັບຂອງ ( , , ) x y z ຈ ານວນຈີງໃດໆວ່າ: ເອີ້ນ w ທ່ີຫາໄດ້ ວ່າຕົວປ່ຽນບ ່ເອກະລາດ ເອີ້ນກຸ່ມຂອງ w ທ່ີຫາໄດ້ຈາກ f ວ່າ: ສ າລັບ ຕ າລາ ເອີ້ນ x ,y ແລະ z ວ່າຕົວປ່ຽນເອກະລາດ ( , , ) w f x y z 
14. ໃນຕົວຢ່າງ1.1 ,1.2 ,1.3 ແລະ ຕົວຢ່າງ1.4 ນ ັ້ນ Domain ຂອງຕ າລາ ຫຼື ຄ່າຂອງ x,y,z ມີໄດ້ບ ່ຈ າກ ັດເພາະຄ່າຂອງຕ າລາເປັນຈີງຕະລອດ ຂ ້ສັງເກດ ໃນຕົວຢ່າງ1.5 ຂອບເຂດຂອງຄ່າ x,y ເຮັດໃຫ້ໄດ້ ຄ່າ z ເປັນຈ ານວນຈີງນ ັ້ນເອີ້ນວ່າ : “ Domain ຂອງຕ າລາ “
15. ລາຄາຖືກສຸດໆຜ່ອນຄອມພິວເຕີ notebook ຮຸ່ນ HENG&HANG ລາຄາ 34,999 ບາດ ດອກເບັ້ຽ 0.8%!!! ດອກເບັ້ຽຕ ່າກ່ວານີ້ບ ່ມີອີກແລ້ວ
16. ຮ ້ວ່າລາຄາຂອງການຜ່ອນຕ ່ເດືອນຂື້ນກ ັບເງີນດາວ ແລະ ຈ ານວນເດືອນທີ່ ຈະຜ່ອນ f(ເງີນດາວ, ຈ ານວນເດືອນທີ່ ຈະຜ່ອນ ) ເງີນຜ່ອນຕ ່1ເດືອນ=( 34999-ເງີນດາວ)*0.8/(100*12) +( 34999-ເງີນດາວ)/ ຈ ານວນເດືອນທີ່ ຈະຜ່ອນ ເຂດກ ານ ົດ (domain) ເງີນດາວ ຈ ານວນເດືອນທີ່ ຈະຜ່ອນ ເງົາ (Range)
17. sin( ) z xy 
18. ຕົວຢ່າງ1.6 ຈ ົ່ງຊອກຫາເຂດກ ານ ົດແລະແຕ້ມ ວິທີແກ້ 2 2 a. z x y   2 2 . 1 b z x y    ເສັ້ນສະແດງຂອງຕ າລາ a.ຕ າລາ ກ ານ ົດໄດ້ 2 2 z x y     , x y  ເສັ້ນສະແດງຂອງຕ າລາ ໜ້າ 2 2 z x y   paraboloit ປີ່ ນມ ົນ x y z O
19. b.ຕ າລາ ກ ານ ົດໄດ້ *ສ າລັບ 2 2 1 z x y        2 2 2 , /1 0 f D x y R x y      2 2 2 2 1 0 1 x y x y      ຫຼື ເສັ້ນສະແດງຂອງຕ າລາ 2 2 1 z x y    x y z O f D x y
20. ຕົວຢ່າງ1.7 ຈ ົ່ງຊອກຫາເຂດກ ານ ົດຂອງຕ າລາ ວິທີແກ້ 1. arcsin 2 x z xy   2 2 2 2 2. ln x y z x y    2 2 2 2 3. 1 ln(4 ) z x y x y       1.ຕ າລາ ກ ານ ົດໄດ້ arcsin 2 x z xy  
21. *ສ າລັບ ຫຼື   2 1 1 , / 2 0 f x D x y R xy                      1 1 2 0 x xy          2 2 0 x xy        ເຮົາຈະເຫັນໄດ້ເຂດກ ານ ົດຂອງຕ າລາຈະແມ່ນ -2 2 0 x y ສ່ວນຂິດແຫ່ງໃນຮ ບ.        y 0 ; 2 x 0 : ) y ; x (   0 y - ; 0 2 : ) ; (       x y x ແລະ f D
22. 2. ຕ າລາ ກ ານ ົດໄດ້ 2 2 2 2 ln x y z x y    *ສ າລັບ   2 2 2 2 2 , / 0 f x y D x y R x y            2 2 2 2 0 x y x y    2 2 0 x y       0 x y x y     0 x y y x   y x  f D
23. 3. ຕ າລາ ກ ານ ົດໄດ້ 2 2 2 2 1 ln(4 ) z x y x y       *ສ າລັບ ຫຼື   2 2 2 2 2 1 0 , / 4 0 f x y D x y R x y                      2 2 2 2 1 0 4 0 x y x y          2 2 2 2 1 4 x y x y        ດັ່ງຮ ບແຕ້ມ f D 1 2 0 x y
24. ຕົວຢ່າງ1.8 ຈ ົ່ງຊອກຫາເຂດກ ານ ົດຂອງຕ າລາ 2 1. 2 ; p 0 z y px    2 2 2. lg 1 z xy x y     1 3. arcsin y z x   2 2 2 2 2 2 2 4. u R x y z z y r        ;0 r R   ວິທີແກ້ 1. ຕ າລາ ກ ານ ົດໄດ້ 2 2 z y px       2 2 , / 2 0 f D x y R y px    
25. ( , ) f x y x xy   ຈ ົ່ງຊອກຫາ (1,4) f , ( , ) f x x 2 , ( ,4 ) , f x x 3 (2 ,4 ) , f y y ( , ) f x y x y   ຕົວຢ່າງ1.9 ກ ານ ົດໃຫ້ ວິທີແກ້ ( , ) f x y x xy   ຮ ້ວ່າ (1,4) 1 1.4 1 2 3 f       ດັ່ງນ ັ້ນ 2 , 0 ( , ) . 0 , 0 x x f x x x x x x x x           
26. 2 2 2 2 , 0 ( ,4 ) .4 2 , 0 x x x x f x x x x x x x x x              2 3 3 2 2 2 2 , y 0 (2 ,4 ) 2 2 4 2y-2y 2 , <0 y y f y y y y y y            2 2 ( , ) f x y x y x y x y       
27. ລາຄາຖືກສຸດໆຜ່ອນຄອມພິວເຕີ notebook ຮຸ່ນ HENG&HANG ດອກເບັ້ຽ 0.8%!!! ດອກເບັ້ຽຕ ່າກ່ວານີ້ບ ່ມີອີກແລ້ວ ແບບA ລາຄາ ເບີ່ງໜັງ,ຟັງເພງໄດ້ 34,999 ແບບB ລາຄາ ເບີ່ງໜັງ,ຟັງເພງໄດ້ດີ 44,999 ແບບC ລາຄາ ເບີ່ງໜັງ,ຟັງເພງໄດ້ດີທີ່ ສຸດ 54,999
28. ຮ ້ວ່າລາຄາຂອງການຜ່ອນຕ ່ເດືອນຂື້ນກ ັບ: ແບບຂອງເຄ່ືອງ,ເງີນດາວແລະຈ ານວນເດືອນທີ່ ຈະຜ່ອນ f(ແບບຂອງເຄ່ືອງ,ເງີນດາວ, ຈ ານວນເດືອນທີ່ ຈະຜ່ອນ ) ເຂດກ ານ ົດ (domain) ເງີນດາວ ຈ ານວນເດືອນທີ່ ຈະຜ່ອນ ແບບຂອງເຄ່ືອງ 34,999 44,999 54,999
29. Level Surfaces of Functions of Three Variables ຕ າລາໜ້າໂຄ້ງຂອງຕ າລາ 3 ຕົວປ່ຽນ ເອີ້ນວ່າຕ າລາຂອງຕົວປ່ຽນ (x,y,z) ທີ່ ເປັນຕົວຄົງຄ່າວ່າ ໜ້າໂຄ້ງ (Level Surface) ຮຽກ f(x,y,z) =c ໜ້າໂຄ້ງ (Level Surface)
30. x-3y+5z=12 x2+y2+z2=4 ຕົວຢ່າງ1.20
31. 1.1.3 ຂອບເຂດ ແລະ ການຕ ່ເນື່ອງ 1.1.3.1 ຂອບເຂດ ເຮົາໃຊ້ສັນຍາລັກ Limit and Continuity of Functions of two variables 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) x y x y f x y L   ແທນຂອບເຂດຂອງຕ າລາ f(x,y) ມີຄ່າເທົ່ າກ ັບ L ເມ່ືອ x ມີຄ່າຫຍັບເຂົ້າໃກ້ x 0 ແລະ y ມີຄ່າຫຍັບເຂົ້າໃກ້ y 0 ພ້ອມໆກັນ
32. ຄຸນລັກສນະຂອບເຂດຂອງຕ າລາ2ຕົວປ່ຽນ ໃຫ້ L,M ແລະ K ເປັນຈ ານວນຈີງ ແລະ 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) x y x y g x y M   0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) x y x y f x y L     0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) x y x y f x y g x y L M       0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) x y x y f x y g x y L M       0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) x y x y f x y g x y L M   0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim ( , ) x y x y f x y L g x y M   0 M  ແລະ 1.ກ ົດການບວກ 2.ກ ົດການລົບ 3.ກ ົດການຄ ນ 4.ກ ົດການຫານ ຖ້າ
33.   0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) x y x y kf x y kL     0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) a a x y x y f x y L   0 L  5.ການຄ ນດ້ວຍຕົວຄົງຄ່າ 6.ກ ົດການຍົກກ າລັງ ຖ້າ ຕົວຢ່າງ 1.21 ( , ) (0,0) 2 2 lim x y x y x y x y x y       ຈ ົ່ງຊອກຫາຂອບເຂດຂອງ
34. ວິທີແກ້ ( , ) (0,0) 2 2 lim x y x y x y x y x y           2 2 ( , ) (0,0) 2 2 lim x y x y x y x y x y          ( , ) (0,0) 2 lim 2 x y x y x y x y x y        
35. 1.1.3.2 ການຕ ່ເນື່ອງ ຕ າລາ ຕ ່ເນື່ືອງ(Continuous)ຢ ່ເມັດ ນິຍາມ1   0 0 , x y   , f x y 1. ຊອກຫາຄ່າໄດ້   0 0 , f x y 2. ຫາຄ່າໄດ້ ແລະ       0 0 , , lim , x y x y f x y  3.         0 0 0 0 , , lim , , x y x y f x y f x y   ຖ້າ ບ ່ຕອບສະໜອງເງື່ອນໄຂໃດໜື່ ງຂ້າງເທີງ f ເຮົາເວົ້າວ່າ ບ ່ຕ ່ເນື່ອງ(discontinuous)ຢ ່ f   0 0 , x y
36. ຖ້າ ຕ ່ເນ່ືອງທຸກໆເມັດ ໃນ ເຮົາເວົ້າວ່າ f   , x y n D R  ຕ ່ເນ່ືອງເທີງ f D (1).ໃຫ້ ຈະໄດ້ວ່າ ບ ່ຕ ່ເນ່ືອງ ຕົວຢ່າງ 1.22     2 2 2 , xy f x y x y   f ຢ ່ເມັດ ທັງນີ້ເພາະວ່າ ຊອກຫາຄ່າບ ່ໄດ້   0,0   0,0 f (2).ໃຫ້             2 2 2 , , 0,0 , 1 , , 0,0 xy x y x y f x y x y         
37. ຈະໄດ້ວ່າ ບ ່ຕ ່ເນ່ືອງຢ ່ເມັດ ທັງນີ້ເພາະວ່າ ຊ່ືງບ ່ສອດຄ່ອງກ ັບເງ່ືອນໄຂ (3) f   0,0         , 0,0 lim , 0 0,0 1 x y f x y f    