Funções polinomiais

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1. Polinomiais e Numpy Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
3. Orgulhosamente sou brasileiro!
4. SIM à: • Saúde • Educação • Segurança • Transporte NÃO à: • Corrupção • PEC 37 • Impunidade • Violência
5. Loirinha e Surfista, o que fazer para este acontecimento político sem precedentes não escorrer pelo ralo? Os maus políticos sempre tentarão impedir! A reforma política é imprescindível e urgente!
6. Não deixe de ver o conjunto de transparências acima, “Recordação de Álgebra linear”, e revisar seus conceitos de Espaços vetoriais.
7. O conceito abstrato de espaço vetorial admite uma grande variedade de instâncias. Sim, já vimos os vetores no plano e espaço euclidianos. Generalizamos para ℝ e ℂ, com vetores linhas e coluna. Vimos também o espaço das matrizes ℳ(, ).
8. 1800 1820 1840 1860 1900 1920 1880 Poncelet Chasles Bolzano Möebius Grassmann Hilbert Peano Banach Schmidt Bellavitis Argand Cayley Laguerre Hamilton MacTutor History of Mathematics Article by: J J O'Connor and E F Robertson http://www-history.mcs.st- andrews.ac.uk/HistTopics/Abstract_linear_spaces.html A evolução do conceito de espaço vetorial aconteceu ao longo do século XIX. Veja abaixo quem contribuiu, e quando. Na página seguinte, como.
9. Ano Matem. Contribuição Comentário 1804 Bolzano Axiomatização da geometria Bases para o conceito de espaço vetorial 1814 Argand Os complexos como pontos no plano Pares ordenados de números reais 1822 Poncelet Geometria projetiva Abstração 1827 Möebius Coordenadas e cálculo baricêntrico 1832 Bellavitis Segm. orient. , soma, escala, equipolência Fundamental p/ o conceito de vetor livre 1834 1843 Hamilton Complexos como vetores no plano. Quaternions 1837 Chasles Geometria projetiva 1857 Cayley Álgebras matriciais 1844 Grassmann Álgebras abstratas (de Grassmann) Dependência e indep. linear, dim. 1867 Laguerre Matriz de sist.linear, adição, escala, mult. Matrizes como espaço vetorial 1888 Peano Formalização completa do conceito de espaço vetorial Um homem muito adiante do seu tempo 1890 Pincherle Operadores lineares em esp. dim. infinita 1904 Hilbert A teoria do espaços de dim. infinita O maior matemático de seu tempo 1908 Schmidt Linguagem geométrica p/ esp. de Hilbert Orientado de Hilbert 1920 Banach Axiomatização completa de esp. vetorial Tese de doutorado – marco inicial da Análise Funcional
10. O exemplo mais belo de espaço vetorial é o próximo. Vista-se apropriadamente para apresentá-lo, Mestra. Se tudo sobre espaços vetoriais se resumisse aos ℝ, ℂ e ℳ , , o mundo seria pobre.
11. Arrasou Mestra! É a dos espaços de funções : → ℝ, cujo domínio é um conjunto X e a valores reais, anotado ℱ(, ℝ).
12. Algumas funções do conjunto ℱ(, ℝ), quando = [−1,1].
13. O programa que mostra alguns vetores de ℱ([−1, 1], ℝ).
14. Vetores?! Sim, minha filha. Podemos somar funções e também multiplicá-las por números.
15. A soma é definida ponto-a-ponto. Para , ∈ ℱ , ℝ , a soma + é a função definida por + = + (), para cada ∈ Repetindo: podemos somar funções de ℱ(, ℝ).
16. Mestre, escolha = [, ] e mostre a soma e o fator de escala para funções, graficamente. Seu pedido é uma ordem! Mostrarei primeiro a soma, com expressões genéricas para e . Depois ∗ ().
17. Observem que para cada ponto x em [0 ,1], a coordenada y em vermelho é a soma das coordenadas y em azul (tracejada e contínua).
18. Aqui estamos pedindo o intervalo [a, b] e gerando o código para e .
19. Aqui o resto do código. Esta parte é a que permite exibir graficamente as 3 funções.
20. Sim, as imagens mostram instantâneos de + desenhada, em vermelho, nos intervalos [0, ] para, = −0.71, −0.15, 0.12. Os valores de , e ( + )() estão bem assinalados.
21. Nas figuras, vemos claramente que + é uma soma de segmentos orientados: : ( + )() = : () + : ().
22. O programa que gera o gráfico da soma, ponto-a-aponto, com o “slider”.
23. Sim, se ∈ ℱ(, ℝ) e ∈ ℝ o produto ∙ é a função de ℱ(, ℝ) definida para cada ∈ por ∙ = ∙ Também podemos escalar uma função ∈ ℱ(, ℝ).
24. Observem que para cada ponto x em [-1 ,1], a coordenada y em azul é a coordenada y em vermelho escalada de = 2. = np. sin(np. pi ∗ ) 2.∗ ()
25. Aqui estamos pedindo o intervalo [a, b], gerando o código para e pedindo o fator de escala L.
26. Aqui o resto do código. É a parte que permite exibir graficamente a função f e sua escalada L*f . Na próxima transparência os gráficos.
27. As imagens mostram instantâneos de . desenhada, em vermelho, nos intervalos [0, ] para, = −0.86, 0.47, 0.72. Os valores de e ( )() estão bem assinalados. Nas imagens é substituído por A.
28. Agora, vemos claramente que ∙ é um múltiplo do segmento orientado: : ( ∙ )() = ∙ : () Nas imagens é substituído por A.
29. O programa que gera o gráfico da multiplicação por fator de escala, ponto-a- ponto, com o slider:
30. Numericamente, podemos ver a soma e a multiplicação por fator de escala através de tabelas, para uns poucos valores de . É, mas com números preciso olhar linha por linha!
31. Sim! E em cada linha da tabela, vemos que: ( + )() = () + () e ( ∙ ) = ∙ ().
32. Conjuntos permitem agrupar coisas mediante propriedades. Algumas delas permitem subclassificar seus elementos. Em “Recordação de Álgebra linear” mostramos que subespaços vetoriais incorporam essa ideia.
33. As funções polinomiais em ℝ constituem um subespaço de ℱ. E ele é anotado . Sim: • A soma de polinomiais também é uma função polinomial. • A múltipla de uma função polinomial não perde a sua qualidade.
34. O conceito de base de um espaço vetorial desempenha um papel fundamental para operar com as polinomiais.
35. Lembrem-se, uma base B de um espaço vetorial V é um subconjunto linearmente independente maximal. Maximal significa: se ∉ então ∪ será LD.
36. A base canônica dos vetores-coluna de ordem 3, o ℝ3, é 1 = 1 0 0 , 2 = 0 1 0 , 3 = 0 0 1 , É. Ela que permite escrevermos 2.1 −0.7 1.5 = 2.11 + (−0.7)2 + 1.53
37. A base canônica do espaço ℙ2, das funções polinomiais de grau menor ou igual a 2 é constituída pelas polinomiais: 0 () = 0 = 1, 1 () = 1 = , 2 () = 2 . A ideia é a mesma. Para = 2.1 + −0.7 + 1.52 temos = 2.10 + −0.7 1 + 1.52
38. Desenhei abaixo as 4 polinomiais da base canônica de ℙ3 .
39. Com este programa desenhei a polinomial de grau 3, dada por () = 2 − x − 22 + 3. Veja na próxima transparência.
40. Mestre, basta passar os coeficientes da polinomial, como as coordenadas para vetores coluna!
41. Ora, a igualdade = 0 0 + 1 1 + 2 2 independe do valor de x. Ela é uma igualdade de vetores! Mestra, que 0 , 1 , 2 geram o ℙ2 é óbvio. Mas, como faço para provar que elas são LI ?
42. 1 1 1 1 2 4 1 3 9 0 1 2 = 0 0 0 0 + 1 + 2 = 0 0 + 1 2 + 2 4 = 0 0 + 1 3 + 2 9 = 0 Portanto, ela vale para qualquer valor particular de . Escolhendo = 1,2,3 obteremos o sistema linear 3x3 sob meus pés (de Vandermonde), cuja solução é 0 = 1 = 2 = 0.
43. Repetindo a fala do Surfista. Para definir uma função polinomial de ℙ2 basta especificar suas coordenadas 0 , 1 , 2 na base canônica: = 0 0 + 1 1 + 2 2 É exatamente essa a ideia utilizada para definir a classe polynomial da Numpy. Basta dar as coordenadas da polinomial p na base canônica.
44. Voltemos a utilizar NumPy/SciPy para fazer Cálculo Numérico. Pois é, Mestre, já estava demorando!
45. Você encontrará as funções polinomiais em Rotinas, na Referência do Numpy. Clique em Polynomials.
46. Após clicar você verá que as informações sobre o Pacote Polynomials começam aqui. Agora clique em Polynomial Package!
47. Antes, quero lembrar que a estruturação padrão em Python é: pacotes (pastas) são constituídos por módulos (arquivos tipo .py) que possuem classes, compostas por atributos e métodos. Atributos • aaa • ⋅⋅⋅ Métodos • f( ) • ⋅⋅⋅ Classe Xyz Atributos • aaa • ⋅⋅⋅ Métodos • f( ) • ⋅⋅⋅ Classe Abc
48. Fiz um recorte do help para resumir a estruturação do pacote polynomial. Percebam que ele é constituído por seis módulos, cada um com uma classe homônima.
49. numpy . polynomial . polynomial . Polynomial numpy . polynomial . chebyshev . Chebyshev ... ... ... ... numpy . polynomial . hermite_e . HermiteE pacote sub-pacote módulos classes Tornando a repetir:
50. Caro Manual, é aqui que chegamos pós clicar em Polynomial Package. Por enquanto veremos apenas o 1ª deles - o módulo Polynomial. Pularemos a introdução.
51. Estudaremos todos os tópicos indicados no Módulo, exceto o “Fitting”, que ficará para mais tarde,
52. O 1º passo é criar uma função polinomial.
53. 1. Importar o módulo polynomial (dentro de numpy.polinomial) 2. Criar p chamando o construtor Polynomial( ), da classe polynomial passando os parâmetros coef, domain e window. Os passos envolvidos na criação de uma função polinomial p: 1 2
54. Uma execução do programa do Mestre. Experimentem executá-lo com outros parâmetros.
55. Este outro programa recebe os parâmetros e retorna o gráfico da polinomial.
56. Pelo gráfico percebemos que a função polinomial possui 3 raízes reais, um ponto de máximo local, outro de mínimo local e um ponto de inflexão. Também fica evidente seu comportamento para → ±∞. = −2 − 3 + 2 + 3
57. Grau da polinomial an > 0 Par lim →+∞ = +∞ lim →−∞ = +∞ Ímpar lim →+∞ = +∞ lim →−∞ = −∞ O comportamento das funções polinomiais para → ±∞ depende apenas do termo de maior grau da polinomial (se n é ímpar ou par) e do sinal do seu coeficiente, o a n : Se an < 0 é só trocar o sinal dos limites
58. Mestre, eu realmente não entendi o parâmetro “window” Pois é, a explicação está aqui:
59. 1. Quando = o 2º e 3º gráficos se superpõe. 2. Para outros valores de k, isto não acontece. Confiram nas duas próximas transparências. Fizemos um programa que mostra 3 gráficos: 1. O de uma polinomial p com Window = Domain, 2. O da mesma polinomial p, mas com Window ≠ Domain, 3. Um 3º da mesma polinomial p, com o mesmo Domain, mas substituindo a variável x por ∗ , onde k um fator de escala para a variável x.
60. Escolhemos primeiro = 0.5 ≠ || || . NÃO há superposição do 2º e 3º gráficos.
61. Agora, escolhemos = || || = 0.75 . O 2º e 3º estão superpostos e para visualizá- los, foi necessário desenhar o 2º tracejado em negro e o 3º pontilhado em vermelho.
62. 0 x 0 |x| s(x) |k∗x| x Portanto quando usamos ≠ estamos, na verdade, trabalhando com uma polinomial composta ∘ , onde s é a função afim, translação mais fator de escala, definida por = 0 + ∗ , com = || ||
63. Este é o programa que permitiu a visualização, na 2ª execução.
64. As funções polinomiais são fáceis de derivar e integrar. = =0 [] = =1 −1 () = =0 + 1 +1 + .
65. As funções polinomiais são contínuas e infinitamente diferenciáveis. Elas também integráveis (pq. são contínuas) Infinitamente diferenciáveis só porque derivada de ordem n de uma polinomial de grau n é uma constante e a derivada de ordem n+1 é zero: x = cte , +1 = 0
66. Estes são os métodos do Módulo Polynomial, que permitem derivar e integrar funções polinomiais.
67. Para derivar uma função polinomial p fornecemos seus coeficientes (e, se desejarmos, o número m de vezes a derivar).
68. Minha ajuda sobre integração de polinomiais.
69. A continuação.
70. Neste programa eu mostro como utilizar esses métodos para derivar e integrar uma função polinomial.
71. A parte do código que gera o gráfico e o texto gerado na saída.
72. Os gráficos, da polinomial p, de sua derivada Dp e de sua integral indefinida Ip (anti-derivada), gerados pelo meu programa.
73. Ao expandirmos um produto como − 0 − 1 − 2 − 3 Obteremos, obviamente, uma polinomial de grau 4 em x, cujas raízes são 0 , 1 , 2 , 3 . Essa polinomial terá a forma padrão 4 4 + 3 32 21 x + 0 , 4 = 1, cujos coeficientes são obtidos, com um bocado de algebrismo, a partir das raízes.
74. O método polyfromroots( ) gera a polinomial a partir do produto, como abaixo:
75. Este programa gera o gráfico de uma polinomial a partir de suas raízes.
76. Esse é o gráfico da polinomial, com as raízes assinaladas.
77. O algoritmo de Briot-Ruffini-Horner para calcular o valor de uma função polinomial = 4 4 + 3 3 + 2 2 + 1 1 + 0 é o seguinte: Ele também permite fatorar uma polinomial. Mostre como, Mestre. 1. Defina = 2. Para = − 1, − 2, … , 1, 0, calcule = + + 1 ã 0 = () – o valor de p em x.
78. Pois é Mestra, se () = 4 4 + 3 3 + 2 2 + 1 1 + 0 e, se q é a função polinomial definida por () = 4 3 + 3 2 + 2 + 1 então () = ( – )() + 0
79. Carl Friedrich Gauss demonstrou o seguinte resultado em sua tese de doutorado: Se () é uma função polinomial de grau ≥ 1, então a equação () = 0 Possui pelo menos uma raiz (real ou complexa). Teorema fundamental da Álgebra
80. Como as raízes complexas ocorrem aos pares (a raiz e sua complexa conjugada), se o grau da polinomial é ímpar com certeza ela possui uma raiz real. Segue do Teorema fundamental da Álgebra que: uma função polinomial = () de grau n possui n raízes reais ou complexas.
81. Surfista, faremos um programa que permite determinar as raízes de uma equação polinomial () = 0. Loirinha, faça outro programa que permita achar os pontos de inflexão dessa mesma polinomial.
82. Muito simples Mestra, basta usar o método polyroots( ). Veja:
83. Estou apreciando sua performance, Surfista. Continue assim!
84. Ficou bom mesmo!
85. Já vimos vários métodos para obter raízes aproximadas de equações, não apenas para equações polinomiais. O polyroots é específico para polinomiais. O Mestre fez um programa para mostrar o gráfico de uma polinomial () e assinalar seus pontos de máximo, mínimo e inflexão. Mostra também os gráficos das derivadas de ordem 1 e 2 da ().
86. Os resultados do meu programa:
87. O programa é longo:
88. Sua continuação:
89. Acabou!
90. Este programa mostra o gráfico das funções polinomiais da base canônica de ℙ5 .
91. Mestre, são lindos, esses gráficos das funções polinomiais básicas de ℙ5.
92. Observem que para k = 0,1,2, ... • p k (1) = 1, • p k (0) = 0, k ≠ 0 E também para ∈ (0, 1) que: 0 > 1 () > 2 () > ⋯
93. O programa do último gráfico.
94. Naturalmente, para k > 0, lim →0 = 0. e, maior o k, mais rápida a convergência.
95. Seja f uma função tal que lim →0 = 0. Se existir alguma constante M > 0 tal que ℎ ≤ ℎ, ℎ ∈ [0, ), para suficientemente pequeno, escreveremos = ℴ(ℎ) e diremos que f converge a zero com ordem k (polinomialmente).
96. Portanto se = ℴ ℎ2 e = ℴ(ℎ) então f converge mais rapidamente a zero do que g. Confiram na figura!
97. Surfista, mostre a converg. do método de Newton-Raphson é quadrática. Compare graficamente a velocidade de convergência dos métodos da secante, ponto-fixo e bisseção.
98. Logo no início destas apresentação mostrei diversos módulos/classes do pacote polynomial:
99. Esses módulos/classes, em última análise, apresentam outras bases do espaço das polinomiais. Elas surgem de forma natural na resolução, por separação de variáveis, de problemas de valor de contorno onde o domínio apresenta algum tipo de simetria. Infelizmente, em nosso curso, não teremos oportunidade de trabalhar com esses problemas.
100. Funções dessas classes de polinomiais serão utilizadas como funções peso nas fórmulas de “integração gaussiana”.
101. Mas vejam os 6 primeiros elementos da base de Chebyshev e suas expansões na base canônica:
102. O programa que mostra os gráficos e as expressões dos polinômios de Chebyshev.
103. Os 6 primeiros elementos da base de Legendre e suas expansões na base canônica:
104. O programa que mostra os gráficos e as expressões dos polinômios de Legendre.
105. Tchau, até a próxima aula!