de integração, • A expressão da função, • O número de pontos N para estabelecer uma partição uniforme de , , • A precisão exigida para a aproximação da integral. Farei um programa para aproximar a integral de uma função f, via regra trapezoidal composta.
46) atingimos a precisão requerida. Surfista, responda-me: 1. Qual o valor mínimo de N para atingir tal precisão? 2. Há como obter uma estimativa teórica relacionando N e a precisão?
função f a integrar efetuando interpolação por uma polinomial p do 2º grau (uma parábola) e integraremos a p. Na regra trapezoidal (simples), aproximamos a função f a integrar por uma reta – uma polinomial p do 1º grau e integramos a p (calculando a área do trapézio). 1
= 1 = 1 2 + 1 + 2 = 2 = 2 2 + 2 + 0 1 2 0 1 2 f Uma parábola genérica possui equação = 2 + + . Naturalmente, a parábola que passa pelos pontos de coordenadas 0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 2 é a solução do sistema linear abaixo:
efetuando interpolação por uma polinomial 2 do 2º grau e integrar a 2 . É a regra de Simpson (simples). Na regra trapezoidal (simples), aproximamos a função f a integrar por uma reta – uma polinomial 1 do 1º grau e integramos a 1 (calculando a área do trapézio).
total uma quantidade ímpar de pontos. A regra de Simpson composta segue a mesma ideia da trapezoidal composta – repetição da simples. A diferença é que, então, precisaremos repetir para pares de sub intervalos.
de quadrado integrável. Em outras palavras, ℒ2 , = { : , → ℝ | 2 ∈ ℝ }. Para enfatizar os aspecto fundamentais: a 2 é integrável e 2 é um número real.
2 = σ =1 2 Trata-se de uma extensão muito natural da 2 dos espaços ℝ para os espaços de funções. Pensem comigo: Para uma função ∈ ℒ2(, ) ∈ [, ] ↦ temos 2 = 2 . Soma discreta de n parcelas Soma contínua de , parcelas
é uma norma em ℒ2(, ). É a extensão natural da ideia de tamanho para funções. Para provar essa afirmação do Mestre, precisamos garantir que para , ∈ ℒ2(, ) e α ∈ ℝ: 1. 2 ≥ 0, 2. 2 = 0 ⇒ = 0, 3. 2 = ∙ 2 - o fator de escala, 4. + 2 ≤ 2 + 2 - a desigualdade triangular.
a função ↦ − , − . Temos que F é uma polinomial do 2º grau em : = − , − = 2 22 − 2 , + 2 2. Ao mesmo tempo, = − 2 2 ≥ 0. Portanto o discriminante ∆ da fórmula de Baskhara para calcular os zeros de () satisfaz ∆ = (2 , )2 − 4 2 2 2 2 ≤ 0. Desta é imediato que | , | ≤ 2 2 .
, = න − () = ቊ 0 ≠ = , = න − () = 0, ∀, ∈ ℕ 1 2 3 As funções • () para = 0,1,2, … e • () para = 1,2, … são funções de ℒ2[−, ] e satisfazem: (∗) Para = = 0, troque por 2. Os resultados que vocês obtiveram podem ser generalizados para:
trigonométricas • + = cos + sen (), • cos + = cos cos − (). E também que o produto de funções pares e ímpares obedece as regras correspondentes para números pares e ímpares .
base canônica de ℝ2. O par de vetores 1 = 1 0 , 2 = 0 1 é ortonormal. Sim, e eu mostrei que as funções 0 = 1 2 = 1 , = 1,2, … = 1 , = 1,2, … constituem conjunto ortonormal de ℒ2 , .
1,2, … é um conjunto ortonormal completo em ℒ2 , . Esta é a extensão da ideia de base em ℝ para ℒ2 , . Aliás esta é uma afirmação bem mais forte e difícil de provar.
funções = 0 , , , = 1,2, … é a base canônica de ℒ2 , ? Pode sim, Surfista. Para efeitos operacionais a ideia de base está presente em , apesar de envolver conceitos de convergência.
dado por = , . Note Surfista, que = | , |. • Quando o ângulo entre u e e é agudo (0 < α < /2) o sinal de , é positivo. • Quando esse ângulo e é obtuso ( Τ 2 < α < ), o sinal de , é negativo.
), os números 0 , , , = 1, … , , obtidos das integrais 0 = Τ , 1 2 , = , , = , , são chamados de coeficientes de Fourier da f. E o conjunto 0 , , , = 1,2, … é o espectro da f.
pelo o valor médio, 0 = 1 2 − , da função f em −, , multiplicado por 2; • O espectro é constituído apenas por doses de cos porque f é uma função par.
constituído apenas por doses de sen porque f é uma função ímpar. • A dose constante ainda é dada pelo o valor médio, da função f em −, , multiplicado por 2, pois 1 2 − = 0.
o subespaço gerado gerado pelos vetores ortonormais 0 , , , = 1,2, …, tem dimensão 2 + 1. Também usamos a notação = [ 0 , , , k = 1, … N ]. Em ℝ3, o subespaço gerado por dois vetores 1 , 2 é um plano passando pela origem. Ele é indicado por = [1 , 2 ]. Vamos assumir que eles são ortonormais.
) quando, na combinação linear = 0 0 + σ=1 [ + () ] os números 0 , , são os coeficientes de Fourier 0 , , da f, temos que = (). Dado um vetor ∉ , quando na combinação linear = 1 1 + 2 2 temos 1 = , 1 e 2 = , 2 temos que = .
∈ ℬ[, ] e dada uma partição = { = 0 < 1 < … < = } de , , para cada subintervalo , +1 dela, consideramos as áreas ∆ e ∆ , onde ∆ = +1 − e nas quais: , = inf , ∈ , +1 , = sup , ∈ , +1
5 6 7 8 1 2 3 f , = =1 ( )∆ Soma superior , = =0 −1 ( )∆ Soma inferior Para ajudar o entendimento, quando f é monótona crescente e contínua, como na figura:
é Riemann integrável em [, ] e que න = sup{ (, ) ∈ [, ] } Não é muito difícil provar que sup{ (, ) ∈ [, ] } ≤ inf { (, ) ∈ , }, onde , é a coleção de todas as partições do intervalo [, ].
integrável. Prova-se também que toda função contínua é Riemann integrável. Prova-se que ∈ ℬ[, ] é Riemann integrável se, e somente se, dada uma precisão > 0, existe uma partição ∈ [, ] para a qual , − , <
soma, de uma maneira bastante parecida à de Cavalieri. Daí vem o símbolo - um 's' longo - para representar summa . Segundo ele, "represento a área de uma figura pela soma das áreas de todos os retângulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenças entre as abscissas... e portanto eu represento em meu cálculo a área da figura por ". ... http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_integrais.htm O símbolo de integral é um S estilizado, S de Soma!