Métodos de ponto-fixo, de Newton e fractais

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1. LNCC LNCC UFRJ Métodos de ponto-fixo, de Newton e fractais Prof. Paulo R. G. Bordoni
2. Sir Isaac Newton 25/12/1642 – 20/03/1727 “Se enxerguei mais longe, é porque estava nos ombros de gigantes”. A famosa frase de Newton:
3. Ele foi um dos maiores presentes de “Papai Noel” para a humanidade!
4. Newton nos ensinou que para enxergar mais longe precisamos subir nos ombros de gigantes. Vejamos o que alguns deles já nos apontaram sobre o conceito de ponto-fixo.
5. Para , , ∈ : 1. , ≥ 0 – não-negatividade 2. , = 0 ↔ = 3. , = , – simetria 4. , ≤ , + , − desigualdade triangular Um espaço métrico é uma entidade matemática constituída por um conjunto M e uma função : × → ℝ, chamada métrica do espaço, (para medir distâncias) que satisfaz as propriedades:
6. Todo espaço vetorial normado é um espaço métrico. Basta definir a métrica por , = − . O exemplo que mais utilizaremos é ℝ com , = − . Em seguida vem os ℝ com a distância definida através das normas que já vimos.
7. Seja : → uma função definida num espaço métrico M . Um ponto ∈ é um ponto-fixo de quando, e só quando, () = .
8. A função : ℝ → ℝ, é definida por = 3 possui três pontos-fixo. É verdade Mestra. Os pontos = 1, = 0 e = −1 são pontos-fixo. Todos satisfazem = .
9. Ah, Loirinha, o gráfico de () só corta a reta = nesses três pontos. Meu programa mostra isso. Mas, atenção para a escala! Fazendo as contas está claro, mas são só esses três?
10. O programinha do Surfista, que permite achar pontos-fixo por inspeção visual.
11. Uma função : → , um espaço métrico é uma contração quando, e apenas quando, existe uma constante ∈ [0,1) tal que , ≤ , , ∀, ∈ . f () y f () − − () ≤ − com ∈ [0,1) : ℝ → ℝ
12. Surfista, eis um exemplo de contração. O ponto-fixo é a origem 0, 0 : ↦ 3/4 1 0 1 0 3 2 1 0 4 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3 4
13. Um dos resultados mais importantes de análise é o Teorema do ponto-fixo de Banach: Num espaço métrico completo toda contração : → admite um único ponto-fixo ∈ , (isto é = ).
14. Se : → é uma contração, podemos determinar seu ponto-fixo p iterativamente, construindo uma sequência 0 , 1 , … , , … tal que lim →∞ = . Sim, basta definir +1 = ( ), com 0 ∈ .
15. Uma das propriedade importantes é que (, ) ≤ 1 − (1 , 0 ) Que permite estimar a velocidade de convergência.
16. Para localizar as informações sobre ponto- fixo na scipy.optimize.
17. As informações sobre ponto-fixo na scipy.optimize.
18. O gráfico, mostrado lá atrás pelo Sherlock, foi obtido com este programa, que usa a função fixed_point( ) da scipy.
19. Este programa mostra, e desenha, algumas iterações ao ponto-fixo de uma função : [, ] → ℝ
20. Observem a convergência das iterações ao ponto-fixo = 0.5 de = ()/2. Claramente, 0.5 = 0.5.
21. Neste caso, também temos a convergência das iterações ao ponto-fixo de = 3−.
22. Observando o gráfico abaixo, podemos afirmar que − () ≤ 0.85 − , ∀ ∈ [0,1], i. é, que f é uma contração nessa grande vizinhança do ponto-fixo = 0.5478 … − () + ()
23. Por quê, Mestre? Simplesmente porque o gráfico de f fica inteiramente contido no cone de convergência. Acompanhe meu raciocínio:
24. Considere um ponto ∈ 0,1 , > . Observe na figura que − < < + (), i. é, − − + < < − + . Portanto − − < − < ( − ) ou, − () < ( − ), já que = (). Claro que o mesmo vale para ∈ 0,1 , < . E em p temos a igualdade, assim − () ≤ − , ∀ ∈ [0,1].
25. A convergência ao ponto fixo de = 0.6[1 + 2 cos()].
26. Claramente, há uma vizinhança do ponto-fixo = 0.562 … para a qual o gráfico de () fica inteiramente dentro do cone de convergência, i. é, − () ≤ − . = 0.9
27. A condição de convergência do teorema de Banach é ∈ 0,1 . Mestre escolheu = 0.9 no seu exemplo para ficar visualmente evidente no gráfico. Bastava eu ter escolhido > () = 0.7177 … Por exemplo = 0.72, que já teria sido suficiente.
28. Este é o programa do cone de convergência.
29. Por inspeção visual, podemos afirmar que = 0, = 1, = 2 e = 3 são pontos fixos de = + 1 2 (), cujo gráfico desenhamos abaixo.
30. Entretanto, mesmo escolhendo 0 = 1.95, muito mais próximo do ponto- fixo = 2, a convergência “vai para” o ponto-fixo = 1 Confira!
31. Mestre, tentei com 0 = 2.05, e também não convergiu para o ponto-fixo = 2. Mas convergiu para o ponto-fixo = 3.
32. O túnel é iluminado do início ao fim pelo teorema do ponto-fixo de Banach. A condição para convergência é que f seja uma contração local entorno de p, i. é: para algum ∈ [0,1), − () ≤ − , para todo nas proximidades do ponto-fixo p. Mestres, há alguma luz no fim do túnel?
33. Se: 1. ∈ [, ], 2. , ⊆ [, ], 3. f é derivável em (a, b) 4. ∃ ∈ 0, 1 tal que ′() ≤ , ∀ ∈ (, ) então, definindo uma sequência 0 , 1 , … , , … por +1 = ( ), com 0 ∈ [, ] poderemos afirmar que: a. lim →∞ = e p é o único ponto fixo de f em [, ] b. − ≤ 0 − , − 0 c. − ≤ Τ [ (1 − )] 1 − 0 , ∀ > 1. Às páginas 58,59 do Análise Numérica de Burden & Faires, 8ª ed. encontramos uma demonstração do Teorema:
34. Esses dois gráficos esclarecem a situação. Essa função f é uma contração local entorno de = 1, mas para num entorno de = 2 temos − () ≳ ′() − e ′ > 1. As retas tangentes em p evidenciam essas afirmações.
35. Mudando de assunto, é imediato que: “p é um ponto-fixo de uma função () se, e somente se, p é raiz de () = − ()” Confira a afirmação da Mestra, Surfista. Confira também que: “r é raiz de uma função se, e somente se, r é ponto-fixo de () = − ()”.
36. Com efeito, Mestra: = ⟹ = − = 0 e também = 0 ⟹ 0 = − ⟹ = Deixe a fala do Sherlock por minha conta, Surfista!
37. Vejam no programa a seguir. Obteremos o ponto-fixo de uma função = () usando o método oferecido pela SciPy. Automaticamente teremos a raiz da equação − = 0. Portanto, poderemos usar o método do ponto-fixo para achar raízes de equações.
38. Este programa mostra, numérica e visualmente, que: se () = − então = ⟺ = 0.
39. É mesmo, não vou esquecer jamais!
40. Na realidade, para resolver uma equação () = 0, usando o método do ponto-fixo, tudo que precisamos é escrever = () onde é alguma função construída manipulando algebricamente (). Complicou tudo, Filósofo.
41. Ficou com medo da liberdade, Surfista? Por exemplo, para a equação 3 + 42 − 10 = 0, poderemos buscar pontos fixos de: a. = 3 + 42 + − 10 b. = Τ 1 2 10 − 3 c. = − Τ ′ - o método de Newton-Raphson
42. Agora vamos estudar o método de Newton-Raphson.
43. Sempre que falam do Newton, lembro da derivada e da reta tangente. Sim Loirinha, ela “cola” na função perto do ponto de tangência! E o valor numérico da derivada é o coeficiente angular da reta tangente.
44. O método de Newton –Rhapson usa essa propriedade da reta tangente para gerar uma sequência 0 , 1 , 2 , … , , … de aproximações para a raiz.
45. ( ) f r raiz Veja como na figura, Loirinha. E, dado , como eu calculo +1 , Mestre? +1
46. ( ) f r Confira, Surfista, que equação da reta tangente por ( , ) é = ′( )( − ) + ( ) . E, como a Mestra mostrou, +1 = 0. +1
47. ( ) f r raiz Assim, fazendo = +1 na expressão da reta tangente, obtemos 0 = ′( )(+1 − ) + ( ). Então é só isolar +1 : +1 = − ( )/′( ), se ′( ) ≠ 0 +1
48. O processo iterativo é o seguinte: 1. Escolhemos o 1º valor 0 . É o “chute inicial”. Deve estar próximo da raiz; 2. Dado definimos +1 como o ponto onde a reta tangente por ( , ) corta o eixo-x; 3. Paramos quando a precisão for satisfatória; senão voltamos ao passo 2.
49. Portanto, o método de Newton-Raphson é definido por: ቐ +1 = − ′ , = 0,1, ⋯ 0 dado No caso de , temos = 2 − e o processo iterativo fica: ቊ +1 = − ( 2−)/2 , = 0,1, ⋯ 0 =
50. Meu programa para calcular para um número real dado a, pelo método de Newton-Raphson.
51. A continuação dele.
52. Os resultados para = 7 e = 785.4.
53. Recordarei a definição de convergência de sequências. Precisaremos trabalhar com “épsilons e deltas”.
54. Lembre-se, quando uma sequência ( ) de números reais converge para um número real r, escrevemos → ou lim →∞ = . Sim Mestre, inclusive vimos exemplos gráficos de sequências convergentes.
55. Lembre-se Surfista: Dada uma sequência ( ) de números reais e dado ∈ ℝ, podemos afirmar que ( ) converge para , quando e apenas quando: ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ tal que: > ⟹ − < .
56. − < 10−7 Sim Mestre, e vimos o exemplo no qual − < 0.2 (os entram na faixa amarela) para todo > 4.
57. Vimos também este outro exemplo, com a sequência = (1 + 1/). Neste caso → e a precisão (largura da faixa) é = 0.1. Podemos conferir que − < para > 12.
58. Na determinação de raízes de uma equação através de métodos iterativos temos seis entidades envolvidas: 1. O método utilizado, 2. A equação, dada por () = 0, 3. A função : , → ℝ, 4. A que estamos procurando, 5. A sequência gerada pelo método que estamos usando, tal que → , 6. A sequência auxiliar definida pelos valores = ( ).
59. Por exemplo: • Bisseção, • Newton-Raphson, • Secante Métodos 2 − 2 = 0 Equação ↦ 2 − 2 Função 2, − 2 Raízes | Sequência | = ( ) Sequência
60. Em todos os métodos, a função f é contínua e funções contínuas “empurram a convergência” no sentido que → ⟹ → (). Todos os métodos iterativos para determinação de uma de uma equação () = 0 envolvem a geração de uma sequência ( ) tal que → .
61. Como = 0 temos: → ⇒ = ( ) → 0 | = ( ) | → = ( ) → 0
62. Por garantia, conferimos também se = − 0 < | = ( ) Portanto, além de testarmos se − < |
63. Isto ficou claro. O que não entendi, é a outra condição de parada. Não temos que testar se | − | < , conforme fizemos no caso de = 2, | − 2 | < ? Pois é, minha filha, esse exemplo foi didático. Já sabíamos que = 2 é a raiz. No caso geral não – a raiz é o que buscamos!
64. E como procedemos? Como não sabemos quem é r, não temos como testar a proximidade, | − | < ,
65. Pois é Loirinha, este é um problema crucial, cuja resposta foi dada por Cauchy.
66. Uma sequência ( ) é de Cauchy (uma homenagem a ele) quando, e apenas quando, satisfaz a propriedade: Não estou vendo conexão entre esse novo simbolês e nosso problema! ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ tal que , ≥ ⟹ | – | < .
67. r ( ) 0 1 2 Bem Surfista, é só trocar esta fala, já dita pelo Filósofo, pela do Sherlock, na próxima transparência. Repetindo: A sequência todinha, exceto alguns termos, está aqui!
68. ( ) 0 1 2 A sequência todinha, exceto uma quantidade finita de termos, entra numa caixinha de largura ε . E não sai mais! Claro! Então a raiz r também estará nessa caixinha!
69. Augustin-Louis Cauchy 21/08/1789 23/05/1857 Bem, eu aprendi tudo isto lendo o “Cours d’analyse”, de Cauchy, publicado em 1821...
70. Pois é Surfista, mas a sua conclusão só vale naqueles mundos que os matemáticos chamam de completos. Mas tranquilize-se, meu jovem, os espaços euclidianos (classe da qual o mundo em que vivemos faz parte) são completos.
71. Neles, podemos conferir a convergência comparando a proximidade de dois termos quaisquer, isto é, testando se | – | < , para cada valor escolhido de . Nos espaços completos, em particular nos euclideanos, toda sequência de Cauchy é convergente e vice-versa.
72. Em particular, testar se +1 – < é uma forma de garantir a proximidade de +1 com a raiz. Juro que não entendi! Ah Colega, é só fazer = + 1 e = .
73. Aristóteles 384-322 410 390 370 350 310 290 1915 430 330 1910 1890 1930 1950 Einstein 1879-1955 Platão 428-347 Euclides 360-295 ±300 Muito bem lembrado, Filósofo. Mas até ele publicar sua da Teoria da Relatividade Geral (1915 dC), todos acreditavam nisso. Mestra, não posso deixar de lembrar que Einstein provou que o espaço em que vivemos não é euclidiano.
74. Não existe uma prova única de convergência, válida para todos os métodos iterativos. É necessário efetuar uma prova específica para cada método. Em particular, a prova de convergência do método de Newton-Rhapson pode ser encontrada em diversos livros de Cálculo/Análise Numérica.
75. Logicamente NÃO, Loirinha. A convergência só é garantida quando você consegue exibir um valor de N tal que , > ⇒ – < , para cada valor escolhido da precisão . Não apenas para = 0.5 × 10−7. Mas Mestre, quando obtenho numericamente, que | +1 − | < 0.5 × 10−7, para algum valor de k, já não garanti a convergência?
76. Para cada caixinha que a Mestra escolher, por minúscula que seja, você sempre conseguirá guardar dentro dela a sequência todinha, exceto alguns termos. Repita a frase do Mestre de forma mais saborosa, Sherlock.
77. 1. Ao perceber um comportamento indicativo de convergência, acreditamos que a sequência é convergente (logo é Cauchy). 2. Para cada valor de n calculamos a diferença |+1 − |. 3. Paramos quando conseguimos +1 − < e | +1 | < para algum valor escolhido da precisão . 4. Assumimos +1 como aproximação ∗ para r. Na realidade, na prática, fazemos o seguinte: O passo 1 da lista não é matemática, apenas intuição. O passo 3 é passível de contra-exemplos ...
78. Essa receita do Mestre não é respeitável. Quem diria! Mas é o que há, meu jovem. A própria Ciência não se garante com o Princípio da Indução. Procure descobrir o que falaram sobre o tema filósofos como David Hume, Thomas Kuhn, Karl Popper e outros.
79. A partir de agora usem o método de Newton da SciPy.
80. O resto das informações!
81. Fiz um programa para usar o método de Newton da Scipy. Vou usá-lo para achar uma raiz da equação − cos = 0. Loirinha, use-o para calcular 3.
82. Marquei a chamada do newton(...)
83. Loirinha, 3 é o número ∈ ℝ para o qual 2 = 3. Portanto você tem que resolver a equação 2 − 3 = 0. Então Mestra usei o programa com = 2 − 3, 0 = 3 e, naturalmente, = 2.
84. A associação entre reta tangente e reta secante se dá através do quociente de Newton. E o quociente de Newton fornece o coeficiente angular da reta secante, uma aproximação para o valor do coeficiente angular da reta tangente. Sherlock, detalhe por que o método da secante está junto com o de Newton-Rhapson.
85. Você já ouviu falar em fractais? Vamos te mostrar uma!
86. Vamos construir fractais usando o Método de Newton-Raphson e raízes (complexas) da unidade. Não lembro mais o que são raizes da unidade, Mestre.
87. ℐ ℛ 0 = 1 1 2 3 4 5 Elas são as raízes (complexas) da equação 6 = 1. São os números complexos dados por = 2 /6, para = 0,1, ⋯ , 5.
88. Cacilda! Quando eu crescer quero ser como você, Mestre. Lembre-se, Surfista, que = cos + sen(). Então, para = 2 /, com > 0 e = 0,1, ⋯ , − 1, ambos inteiros, temos: ( 2 / ) = 2 = = cos 2 + sen 2 = 1.
89. Este programa mostra as propriedades das raízes da unidade.
90. Confira: ℐ ℛ 0 = 1 1 2 3
91. Novamente: ℐ ℛ 0 = 1 1 2 3 4 5
92. Vamos construir uma linda fractal pintando o quadrado [0,1]x[0,1] do plano complexo com 6 cores. Uma cor para cada raiz da unidade. Agora, vamos à aplicação prometida.
93. Usaremos estas cores.
94. Cada um deles receberá a cor corresponde à raiz para qual o método convergir, graduada pelo número de iterações em tons de cinza. Limitaremos a 40 o número de iterações. Dividiremos o quadrado complexo em 500x500 pixeis. Cada pixel será um chute inicial para o método de Newton-Raphson, assim teremos 250.000 chutes iniciais.
95. O código do programa é o seguinte:
96. Continuação do código: Na última linha estamos medindo o tempo de execução do código.
97. A fractal das raízes triplas da unidade.
98. A fractal das raízes quádruplas da unidade.
99. A fractal das raízes quíntuplas da unidade.
100. A fractal das raízes sextuplas da unidade.
101. No livro Chaos and Fractals, New Fontiers of Science de Peitgen, Jürgens & Saupe há muitos exemplos de fractais, com código em Basic. Cabelos de Fogo e Surfista, passem alguns desses códigos para Python/Scipy. Antes definam precisamente o que é uma fractal.
102. Lembrem-se marcamos um ponto com vermelho quando, a partir dele, o método de Newton-Rhapson converge para a “raiz vermelha”. Definam agora, na figura, o conjunto constituído pelas regiões pintadas de vermelho ... Estes exemplos de fractais mostram, de forma artística e fantástica, a instabilidade do método de Newton- Rhapson com relação ao “chute inicial”.
103. Loirinha e Surfista, procurem examinar também os outros métodos desta lista. Por ex. os métodos de Brent e Ridder.
104. Tchau, até a próxima aula!