Гипотеза Римана

Выползов Александр

Transcript

2. Математика… самая красивая наука, не правда ли? В ней всѐ так точно, логично и лаконично. Иногда просто удивляешься, что все эти теоремы и формулы выводят обычные люди, а не некие мифологические всезнающие существа. Однако наряду со всей этой красотой в математике есть достаточно много белых пятен, несмотря на то, что математика – одна из самых наиболее изученных наук. В ряде этих белых пятен наиболее известными и значимыми являются «7 проблем тысячелетия», за решение каждой из которых Математический Институт Клэя (Clay Mathematics Institute) выплатит награду в 1 000 000$ США.
3. Георг Фридрих Бернхард Риман (17 сентября 1826г. - 20 июля 1866г.) — немецкий математик, механик и физик. За свою короткую жизнь (всего 10 лет трудов) он преобразовал сразу несколько разделов математики. Наклонности к этой науке проявлялись у молодого Римана ещѐ в детстве, но, уступая желанию отца, в 1846 году он поступил в Гѐттингенский университет для изучения филологии и богословия. Однако здесь он слушает лекции К. Ф. Гаусса и принимает окончательное решение стать математиком. Исследования Римана относятся к теории функций комплексного переменного, геометрии, математической и теоретической физике, теории дифференциальных уравнений, а его главная заслуга связана с теорией чисел и теорией функций.
4. «Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную ½». Чтобы понять смысл этого выражения, необходимо ознакомиться с основными понятиями: Простое число – число, которое делится только на само себя и на единицу. (2,3,5,7,11,13…) Перед математиками встали такие вопросы: как распределяются простые числа? Сколько простых чисел лежат в каком- либо числовом промежутке? Существует ли точный закон нахождения этих простых чисел?
5. Чтобы как-то приблизиться к ответам на эти вопросы, математиками была придумана функция распределения простых чисел. Для того чтобы понять, что это такое, рассмотрим числовую последовательность: 1-10: 2,3,5,7 => 4 1-100: 11,13,…,89,97 => 25 1-1000: 101,103,…,991,997 => 168 1-10000: 1009,1013,…,9967,9973 => 1229 Построим график функции (x), взяв по оси OY количество простых чисел, а по оси OX – диапазон целых чисел, среди которых эти простые числа расположены. Таким образом, функция распределения простых чисел – это функция (x), равная числу простых чисел, меньше либо равных действительно му числу X. Как известно, не существует простой закономерности, описывающей распределение простых чисел среди натуральных. Риман обнаружил, что число (x) простых чисел, не превосходящих x, выражается через распределение нетривиальных нулей дзета-функции.
6. Вторым понятием, необходимым для понимания гипотезы Римана, является числовой ряд. Пусть задана какая-нибудь числовая последовательность, например: 3,5,7,9… Данная последовательность задаѐтся по закону 2n+1, где n – натуральное число. Если между членами этой последовательности поставить знак «+», то это выражение будет называться числовым рядом. И чему же равна такая бесконечная сумма? Первое, что приходит на ум, – бесконечность. Это отчасти верно, и у таких рядов есть своѐ название – расходящиеся, то есть ряды, сумма которых устремляется в бесконечность. Но также существуют и другие ряды. Для наглядности возьмѐм следующий ряд: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … Таким образом, мы всѐ ближе и ближе подходим к значению 2. В этом случае говорят, что числовой ряд сходится.
7. Теперь нас интересует ряд вида: 1 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ По оси OX лежат значения S, а по оси OY – значения, в которых данный ряд сходится. Этот график и есть график «дзета- функции» (ζ- функция).
8. ζ-функция связана с функцией распределения простых чисел следующим образом: ln ζ (s) = s∗ ∗ ( − 1) ∞ 2
9. Сам по себе график дзета-функции не представляет особого интереса, но если взять значение S<1 (где s − комплексное число S=x+iy), то данная функция очень преображается: Проблема, кажется, решена, но нули функции, отмеченные красным – тривиальные, а нам нужны нетривиальные…
10. Таким образом, «нетривиальные нули» дзета-функции заключены в интервале (0,1), и лежат симметрично относительно так называемой «критической линии»: ½ + it (где t – действительное число). Но при вещественных s=(0,1): ζ(s) ≠ 0, поэтому Риман предположил, что все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами, причем их действительная часть
11. Ученый был нацелен на теорему о распределении простых чисел. Его точная формула предлагала верный путь к этому достижению: нужно было разобраться в нулях дзета-функции. Полная риманова гипотеза для этого не нужна, достаточно доказать, что у всех нетривиальных нулей дзета- функции действительная часть лежит в промежутке от 0 до 1, т. е. что сами комплексные корни лежат на расстоянии не более 1/2 от римановой критической линии — в так называемой критической полосе. Это свойство нулей подразумевает, что сумма по всем нулям дзета- функции, представляет собой конечную константу.
12. В 1859 г. Риман собрал все свои мысли о дзета-функции в одну статью, заголовок которой можно перевести как «О количестве простых чисел, не превышающих заданной величины». В ней он привел полную и точную формулу (х). Были экспериментально доказаны частные случаи гипотезы Римана, однако это не считается доказательством. Но если она всѐ-таки верна, тогда мы получим точный закон распределения простых чисел, который выведет криптографию на сверхновый уровень. Большинство математиков верят, что гипотеза верна. На 2004 год проверены более 1013 первых решений. Высокую степень важности работ Римана можно осознать, вспомнив знаменитый ответ Давида Гильберта на вопрос: «Каковы будут ваши действия, если Вы по какой-либо причине проспите 500 лет, а затем вдруг проснѐтесь?» Математик ответил: «Первым делом я спрошу, была ли доказана гипотеза Римана.»