組合せ最適化による問題解決の実践的アプローチ

2024/05/29実施の、人工知能学会全国大会オーガナイズドセッションで発表した、梅谷の資料です。

Transcript

1. 組合せ最適化による 問題解決の実践的アプローチ JSAI2024 オーガナイズドセッション「AIと制約プログラミング」 2024/5/29 株式会社リクルート データ推進室 アドバンスドテクノロジーラボ部 梅谷 俊治
2. 自己紹介 • 梅谷 俊治 (うめたに しゅんじ) • 現職（2023/10〜） 株式会社リクルート アドバンスドテクノロジーラボ シニアリサーチャー • 前職 (〜2023/9) 大阪大学 大学院情報科学研究科 数理最適化寄附講座教授 • 専門分野 数理最適化 (組合せ最適化)、アルゴリズム、離散数学など • 研究テーマ ü 大規模かつ汎用的な組合せ最適化問題に対するアルゴリズムの開発 ü データ分析にもとづく組合せ最適化アルゴリズムの自動構成 ü 最適化モデルとアルゴリズムの現実問題への応用 • 著書 ü 『しっかり学ぶ数理最適化：モデルからアルゴリズムまで』講談社（2020） ü 『応用に役立つ50の最適化問題』朝倉書店（2009）
3. 『しっかり学ぶ数理最適化』 • 2020年10月に講談社から出版。 • 1章：数理最適化入門 • 2章：線形計画 線形計画問題の定式化、単体法、 緩和問題と双対問題 • 3章：非線形計画 非線形計画問題の定式化、 制約なし最適化問題、制約つき最適化問題 • 4章：整数計画と組合せ最適化 整数計画問題の定式化、 アルゴリズムの性能と問題の難しさ、 効率的に解ける組合せ最適化問題、 分枝限定法と切除平面法、近似解法、 局所探索法、メタヒューリスティクス 最適化問題の定式化からアルゴリズムまで幅広い内容を解説
4. 数理最適化による問題解決 • 「AIで問題解決しました」というプレスリリースの実態は？ • 数理科学 (数理工学)：現実問題を数理モデルに定式化し、数学的・科学 的手法により解析することで問題解決を実現する。 • 問題解決では、記述的段階 (データ取得)、予測的段階 (データ分析)、 処方的段階 (計画作成)の手順を踏む。 • 数理最適化による問題解決を実現するためには「最適化問題の定式化」 と「アルゴリズムの開発 (もしくは利用)」が必要。 AIと一口には 言うものの ビッグデータ AI(機械学習) 数理最適化 現状把握・可視化 Description(記述) 要因・予測分析 Prediction(予測) 意思決定・計画作成 Prescription(処方) 人気商品に偏ってない？ 予算内に収められる？ 多様な制約を満たせる？ 数百万の顧客に推薦する 商品の割当てを求める 超大規模な最適化問題 機械学習で個別の割当の 期待利得は推定できる クーポン配信の事例
5. 数理最適化による問題解決 • 「AIで問題解決しました」というプレスリリースの実態は？ • 数理科学 (数理工学)：現実問題を数理モデルに定式化し、数学的・科学 的手法により解析することで問題解決を実現する。 • 問題解決では、記述的段階 (データ取得)、予測的段階 (データ分析)、 処方的段階 (計画作成)の手順を踏む。 • 数理最適化による問題解決を実現するためには「最適化問題の定式化」 と「アルゴリズムの開発 (もしくは利用)」が必要。 現 実 問 題 最 適 化 問 題 ( 近 似 ) 最 適 解 解 決 策 定式化 アルゴリズムの 開発・利用 分析・検証 最適化問題の修正
6. 数理最適化の応用事例 • 製造業、物流業、旅客業、農業、鉱業、石油・化学産業、製紙、鉄鋼、 エネルギー、医療、食品、広告、スポーツなど幅広い分野。 • 自動車船の配船・運航計画、自動車船の積付け計画、カタログレイアウ トの作成、電子ジャーナルの購読計画、対訳文の対応付け、電気自動車 の充放電計画、クーポンの配信計画、宿泊予約システムのリスト作成な ど多数。 広告配信 人員配置 システム運用 物流・配送 生産計画 エネルギー 機械学習 制御 信号処理 待ち行列 シミュレーション 数理最適化 ゲーム理論 現実世界 数理の世界 学術から産業まで幅広い分野の事例が 最適化問題に定式化できる
7. 最適化問題の定式化 • ある飲料メーカーでは、トマト、にんじん、ほうれん草を原料とする 野菜ジュースを製造している。 • 野菜ジュースに含まれる食物繊維、ビタミンC、鉄分、βカロチンの必要 量を満たしつつ、原料費を最小に抑えるための各野菜の購入量は？ • トマト、にんじん、ほうれん草の購入量(kg)を とする。 <latexit sha1_base64="0GihLGpqyVV0S3TzidLkTGtCHpc=">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</latexit> x1, x2, x3 食物繊維 ビタミンC 鉄分 βカロチン 価格(円/kg) トマト 10 15 2 5 400 にんじん 25 5 2 80 250 ほうれん草 30 35 20 40 1000 必要量(単位/2L) 50 60 10 40 → 原料費を最小化 → 食物繊維は50単位以上 → ビタミンCは60単位以上 → 鉄分は10単位以上 → βカロチンは40単位以上 → 各野菜の購入量は非負
8. 最適化問題の定式化 • ある飲料メーカーでは、トマト、にんじん、ほうれん草を原料とする 野菜ジュースを製造している。 • 野菜ジュースに含まれる食物繊維、ビタミンC、鉄分、βカロチンの必要 量を満たしつつ、原料費を最小に抑えるための各野菜の購入量は？ • トマト、にんじん、ほうれん草の購入量(kg)を とする。 <latexit sha1_base64="0GihLGpqyVV0S3TzidLkTGtCHpc=">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</latexit> x1, x2, x3 食物繊維 ビタミンC 鉄分 βカロチン 価格(円/kg) トマト 10 15 2 5 400 にんじん 25 5 2 80 250 ほうれん草 30 35 20 40 1000 必要量(単位/2L) 50 60 10 40 最適値：1600 最適解：
9. 最適化問題の定式化 • ある飲料メーカーでは、 種類の野菜を原料とする野菜ジュースを製造 している。野菜ジュースに含まれる 種類の栄養素の必要量を満たし つつ、製造に要する原料費を最小化するには、どの野菜をどれだけ購入 すれば良いのだろうか？ と書くことも多い 野菜 に含まれる栄養素 の量(定数) 栄養素 の必要量(定数) 野菜 の単位量当たりの値段(定数) 野菜 の購入量(変数) 最適化問題 入力 出力 定数 変数 目的関数 制約条件
10. 代表的な最適化問題 • 連続最適化問題：変数が実数値のような連続的な値を取る最適化問題。 • 組合せ最適化問題：変数が整数値や{0,1}の2値のような離散的な値を 取る最適化問題や、最適解を含む解の集合が順列やネットワークなど 組合せ的な構造を持つ最適化問題。 線形計画問題 凸2次計画問題 非線形計画問題 混合整数計画問題 整数計画問題 ネットワーク最適化問題 連続最適化問題 離散最適化問題 (組合せ最適化問題)
11. 代表的な最適化問題とアルゴリズム 連続最適化問題 離散最適化問題 (組合せ最適化問題) 線形計画問題 凸2次計画問題 (半正定値計画問題，2次錐計画問題) 制約なし非線形計画問題 整数計画問題 資源配分問題，最小全域木問題など 貪欲法 ナップサック問題，資源配分問題， 最小費用弾性マッチング問題など 動的計画法 最大流問題，最小費用流問題， 最大マッチング問題，割当問題など 増加路法，負閉路消去法，最短路繰り返し法， (ハンガリー法) 最短路問題 ダイクストラ法，ベルマン・フォード法， フロイド・ウォーシャル法 分枝限定法，切除平面法，(分枝カット法) ビンパッキング問題，最大カット問題， 巡回セールスマン問題，頂点被覆問題， ナップサック問題など 性能保証付き近似解法 さまざまなNP困難問題 発見的解法，局所探索法，メタヒューリスティクス， (分枝カット法) 単体法，(内点法) 有効制約法，(内点法) 制約つき非線形計画問題 最急降下法，ニュートン法，準ニュートン法 ペナルティ関数法，拡張ラグランジュ関数法， 内点法，逐次２次計画法 梅谷俊治，しっかり学ぶ数理最適化，講談社，2020．
12. 事例：電子ジャーナルの購読計画 • 電子ジャーナルの価格高騰による包括契約からタイトル毎の個別契約 への移行により生じる諸問題の解決。 • 限られた予算の下で購読誌を決定する問題を整数計画問題に定式化。 最小充足率の最大化で分野による偏りのない現実的な購読計画案を実現。 • 全体の充足率が66.05%→70.50%に向上。 • 最小充足率も68.87%と分野による偏りを大幅に軽減。 0% 20% 40% 60% 80% 100% Veterinary Science and Veterinary… Social and Behavioral Sciences Physics and Astronomy Pharmacology, Pharmaceutical Science… Nursing Neuroscience Medicine Mathematics Materials Science Life Sciences Health Professions Environmental Sciences Engineering, Energy and Technology Economics, Business and Management Earth and Planetary Sciences Dentistry Computer Science Chemistry and Chemical Engineering Arts and Humanities Agricultural and Biological Sciences 0% 20% 40% 60% 80% 100% Veterinary Science and Veterinary… Social and Behavioral Sciences Physics and Astronomy Pharmacology, Pharmaceutical Science… Nursing Neuroscience Medicine Mathematics Materials Science Life Sciences Health Professions Environmental Sciences Engineering, Energy and Technology Economics, Business and Management Earth and Planetary Sciences Dentistry Computer Science Chemistry and Chemical Engineering Arts and Humanities Agricultural and Biological Sciences 梅谷俊治，電子ジャーナル購読計画の効率的な作成，OR学会九州支部講演会，2016/3/26．
13. 事例：カタログレイアウトの作成 • 週次で商品カタログを配布し、顧客から注文を受けた商品を配送する 宅配事業会社にて、1000点以上の商品を掲載する50〜100ページの カタログレイアウトを自動作成する。 • 同種の商品を互いに近くに配置するレイアウトを自動作成する問題を (1)長方形詰込み問題、(2)割当問題の2通りに定式化した。 • コマ割りのテンプレートを用意し、1ページあたり約1秒で実用的な レイアウトを作成するメタヒューリスティクスを開発。 梅谷俊治，カタログレイアウトの自動生成，OR学会秋季研究発表会，2018/9/6．
14. 事例：自動車船の配船・運航計画 • 世界各地を航海する約100隻の自動車船に4ヶ月分の約200ブッキング (約130万台)を割り当てる。 • 各船の航海パターン候補を列挙した後に、全てのブッキングを充足する 航海パターンの組合せを求める整数計画問題に定式化する。 • 整数計画ソルバーにより3分で実用的なスケジュールを作成。 商船三井，自動車船の配船計画支援システムの運用を開始しDXを加速，プレスリリース， 2021/5/21．https://www.mol.co.jp/pr/2021/21046.html Booking1 5000台 Booking2 3000台 Booking3 4000台 Booking4 4500台 Booking5 2500台 貨物船2:3000台 貨物船1:5000台 <latexit sha1_base64="tI4NbA88wk3UGDXGY96Hwj3VUrI=">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</latexit> <latexit sha1_base64="TvN/BVfDctszjWwBRC5rFEyjDRI=">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</latexit> <latexit sha1_base64="htk3V/2aYntsWzUxyIJ36MHWJ7U=">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</latexit> <latexit sha1_base64="wD8k2qTn7FJZuCWfggfI0/NHryM=">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</latexit> <latexit sha1_base64="0c977q0VdlK7Tvfijp+fdA27RJs=">AAACrHichVE9S8NQFD3Gr1o/WnURXMRScSo3oihOBRfH1tpaqKUk8bWGpklI0qIW/4DgagcnBQfxZ7iIu0N/gjgquDh4mwaKFut9vLzzzrvnvvNyVdvQXY+oPSQNj4yOjYcmwpNT0zOR6OxczrXqjiaymmVYTl5VXGHopsh6umeIvO0IpaYa4kCt7nTODxrCcXXL3PdObVGsKRVTL+ua4jGVOSltlKIxSpAfS/1ADkAMQaSs6DMOcQQLGuqoQcCEx9iAApdHATIINnNFNJlzGOn+ucA5wqytc5bgDIXZKn8rvCsErMn7Tk3XV2t8i8HTYeUS4vRC9/ROT/RAr/T1Z62mX6Pj5ZRXtasVdilysZD5/FdV49XDcU810LOHMrZ8rzp7t32m8wqtq2+ctd4z23vx5grd0hv7v6E2PfILzMaHdpcWe9cD/Kjs5e8/1mSu3HPLbZR/N60f5NYSMiXk9HosuR40NIRFLGOVu7aJJHaRQpZvqeASV2hJCWlfKkjFbqo0FGjm8SOk8jdKaZlK</latexit> <latexit sha1_base64="htbl/5wnPsioSaE2iOfxBj35DGc=">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</latexit> <latexit sha1_base64="mhFnBiJ3ht41i33JOJyqPTOG7LY=">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</latexit> 航海パターン候補は 約200万通り 双対問題を利用して 候補数を大幅に削減 4ヶ月間の航海数は 約200航海 4ヶ月間の荷量は 約130万台 船舶数は約100隻 (約50万台の輸送能力)
15. 事例：自動車船の積付け計画 • 複数の積み港から複数の揚げ港に運航する自動車船で、複数の車種から 構成される約20ブッキングを自動車船内の約40区画に割り当てる。 • 寄港時の車両の搬入出経路の確保など多様な条件を考慮し、ブッキング を自動車船内の区画に割り当てる整数計画問題に定式化。 揚げ港 X港 Y港 Z港 A港 100 200 2200 積み港 B港 300 2000 300 C港 1300 600 100 寄港順は A→B→C→X→Y→Z ホールド1 ブッキングの概要 ホールド2 ホールド3 ホールド4 ホールド5 自動車専用船の概要 積付けの例 商船三井，自動車船業務DX推進プロジェクト「数理最適化」活用第2弾！，プレスリリース，2021/9/21． https://www.mol.co.jp/pr/2021/21081.html
16. 事例：クーポン配信計画 • 一部の人気商品に偏らない、各顧客への配信数の上限を満たすなど多様 な制約の下で、期待利得の合計を最大化するクーポン配信計画を求める 問題を整数計画問題に定式化。 • 約500商品、約300万顧客の超大規模な最適化問題に対して、実用的な 配信計画を1時間で作成するメタヒューリスティクスを開発。 T.Kan, S.Umetani, H.Morita, A weighting local search algorithm for huge assignment problem in item recommendation, ISMP2018, 2018/7/1. 人気商品に偏ってない？ 予算内に収められる？ 多様な制約を満たせる？ 機械学習で個別の割当の 期待利得は推定できる 顧客数が300万人以上の 超大規模な最適化問題 広告主 広告企業 クーポン配布 商品購入 顧客 最低限の利益保証
17. 事例：宿泊予約システムのリスト作成 • ユーザーが入力するキーワードに関連する商品をリストに表示する。 • 類似した商品を続けて表示すると期待利得の伸びが鈍くなる。 • 多様性を考慮したリスト作成は2次割当問題に定式化できるが、汎用の 数理最適化ソルバーでは30個ぐらいの商品しか並び替えできない。 • リスト上位のk個の商品のみ多様性を考慮する2段階法を採用。 • 1段階目を(線形)割当問題に定式化することで計算時間を大幅に削減。 … step1 step2 … … … … … 1. C, North, City hotel 2. B, North, City hotel 3. A, North, City hotel 4. D, North, City hotel 5. E, North, Budget hotel 6. H, South, Budget hotel 7. F, South, Budget hotel 8. G, South, Budget hotel … 1. B, North, City hotel 2. G, South, Budget hotel 3. A, North, City hotel 4. E, North, Budget hotel 5. H, South, Budget hotel 6. C, North, City hotel 7. F, South, Budget hotel 8. D, North, City hotel … 類似したホテルばか りで参考にならない 色々なホテルが掲載 されて参考になる リスト先頭のk個 のみ多様性を考慮 A.Shigematsu, S.Umetani, N.Nishimura, Optimizing the ordered recommendation list in E-commerce site via quadratic assignment problem, INFORMS Annual Meeting, 2019/10/21.
18. 事例：平準化を考慮した商品推薦 • スコアが高い商品ばかりを推薦すると大きな偏りが生じる。 • 事前に定めた目標を達成する商品数を最大化する割当問題。 → 最適化問題をリアルタイムに求解するのは現実的ではない → 新規ユーザにも適切な商品を推薦したい • スコア×調整係数で推薦する商品を決定する。 • ユーザ×商品の割当を求めた後に、割当結果を可能な限り再現する 調整係数を求める2段階法を提案。 ユーザ 推薦システム スコア 逐次的な訪問 リアルタイム推薦 最適化システム 調整係数 × 効果 スコア順推薦 提案手法 (調整係数=1) 提案手法 (調整係数>1) 調整係数 濱田賢吾，西村直樹，梅谷俊治，アイテム推薦における公平性考慮のための二段階最適化， OR学会春季研究発表会，2023/3/8．
19. 研究：ビットマップ図形の詰込み • 高解像・任意形状の図形を効率的に詰め込む最適化問題。 • ビットマップ図形を隙間なく詰め込む問題に対して局所探索法を開発。 • ビットマップ図形を水平・垂直方向に走査して2種類のスキャンライン 図形を作成した上で、ミンコフスキー差と呼ばれる補助データ構造から 各図形対の重なり度を高速に計算する方法を提案。 • 1次元探索を繰り返し適用するメタヒューリスティクスを開発して、 ベンチマーク問題例に適用。 S.Umetani, S. Murakami, Coordinate descent heuristics for the irregular strip packing problem of rasterized shapes, European Journal of Operational Research, 303 (2022), 1009-1026. 2048pixel Profiles2(75.9%) Profiles9(55.3%) Swim(72.7%) Mao (83.6%)
20. 研究：大規模な2値整数計画問題 • 複数の変数を同時に反転する近傍操作による重み付き局所探索法を提案。 • 入力データから変数間の関係を取出して探索空間を絞り込む。 • 適応的なペナルティ重みの調整による実行可能解の探索。 • 補助記憶を利用した評価関数の効率的な計算。 • 約256万変数の大規模な集合分割問題に対して質の高い近似解を求解。 同じ制約条件に同時に 現れる頻度が高い 変数間の関係を表すk-近傍グラフ x1 x98 x809 x701 x141 x765 x749 x784 x365 x662 x2 x186 x810 x99 x303 x275 x291 x247 x204 x766 x825 x750 x785 x142 x663 x148 x702 x241 x1040 x417 x3 x100 x811 x304 x187 x78 x143 x703 x891 x767 x826 x751 x786 x418 x657 x205 x292 x276 x995 x391 x166 x682 x4 x79 x491 x85 x1064 x101 x658 x167 x188 x392 x833 x426 x368 x463 x775 x10 x398 x689 x173 x382 x160 x758 x1186 x144 x704 x892 x665 x5 x102 x813 x705 x492 x369 x893 x828 x769 x753 x788 x145 x659 x427 x834 x997 x6 x493 x1066 x731 x208 x777 x428 x162 x760 x685 x394 x7 x494 x309 x104 x86 x370 x429 x475 x424 x707 x395 x170 x11 x690 x174 x8 x495 x87 x105 x708 x83 x430 x371 x476 x642 x1127 x12 x175 x668 x691 x896 x310 x171 x396 x461 x192 x9 x496 x311 x106 x193 x84 x431 x372 x477 x643 x267 x381 x709 x1014 x254 x283 x298 x210 x664 x688 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x722 x837 x450 x877 x1147 x1037 x913 x1161 x27 x723 x120 x330 x288 x386 x679 x677 x1148 x451 x1019 x914 x1162 x467 x28 x289 x331 x915 x948 x453 x1150 x839 x29 x121 x290 x726 x686 x389 x30 x122 x846 x520 x727 x339 x390 x994 x917 x455 x1164 x647 x681 x687 x31 x847 x728 x1091 x123 x221 x408 x1158 x791 x803 x521 x32 x124 x222 x522 x1092 x729 x1166 x919 x457 x584 x33 x125 x730 x523 x342 x223 x684 x393 x458 x920 x1160 x1016 x464 x849 x36 x527 x128 x226 x345 x734 x588 x851 x654 x807 x37 x129 x736 x1099 x227 x926 x1173 x399 x38 x1102 x130 x532 x214 x797 x738 x402 x470 x39 x739 x1103 x853 x131 x176 x692 x403 x215 x533 x798 x348 x40 x534 x740 x132 x349 x854 x472 x404 x799 x693 x230 x367 x471 x1165 x41 x741 x1105 x350 x855 x133 x694 x405 x217 x535 x800 x231 x42 x134 x856 x351 x742 x179 x1167 x232 x473 x294 x695 x43 x135 x858 x353 x743 x538 x234 x1169 x802 x1170 x44 x744 x136 x1109 x354 x539 x235 x178 x181 x804 x1000 x1034 x859 x409 x1171 x1048 x596 x45 x355 x137 x860 x540 x236 x1110 x182 x745 x974 x410 x478 x1172 x1015 x1049 x805 x46 x138 x861 x356 x746 x237 x183 x699 x696 x47 x238 x139 x862 x543 x1112 x413 x357 x747 x806 x480 x1174 x48 x748 x140 x863 x358 x239 x1038 x49 x302 x481 x50 x1072 x656 x77 x51 x360 x483 x1041 x629 x482 x1073 x52 x419 x305 x884 x484 x503 x812 x53 x362 x631 x990 x1043 x306 x485 x54 x146 x263 x421 x660 x1137 x886 x307 x486 x1076 x55 x771 x264 x755 x1138 x887 x147 x265 x889 x1139 x488 x489 x1012 x57 x266 x890 x366 x619 x490 x248 x606 x1140 x149 x249 x1141 x340 x554 x59 x150 x268 x312 x250 x608 x206 x1123 x555 x60 x1082 x269 x1124 x1031 x61 x151 x270 x667 x895 x1145 x641 x314 x62 x152 x1085 x1018 x315 x271 x515 x1191 x780 x63 x781 x1086 x838 x560 x64 x273 x434 x257 x1149 x899 x1054 x628 x65 x1055 x442 x246 x374 x1120 x423 x308 x66 x443 x1056 x670 x67 x1057 x1122 x607 x1042 x68 x1058 x377 x872 x69 x1059 x156 x207 x673 x70 x447 x379 x674 x327 x512 x71 x1062 x252 x380 x1126 x313 x1013 x72 x1063 x159 x757 x328 x73 x1128 x567 x74 x161 x759 x255 x878 x819 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x541 x225 x962 x963 x964 x580 x634 x933 x645 x569 x875 x599 x916 x609 x610 x939 x616 x947 x661 x1060 x1084 x1192 x1088 x815 x1183 x778 x820 x1083 x1189 x1090 x842 x1093 x1094 x1096 x1097 x1100 x1101 x852 x1163 x1108 x808 x1175 x881 x988 x1071 x1089 x1107 x1144 x1176 x1181 x1182 <latexit sha1_base64="tZlPWjpLmcLj2BkCO+h3rpF1oek=">AAACXnichVBNT8JAEH1URUQR1AuJFyIx8URaQvBK4sUjRvlIlDRtHXClX7ZblRD+gDevevJnefNfeHVamxAh6myy+2bee7O7Y/q2CKWqvmeUldW17HpuI7+5VdgulnZ2u6EXBRZ1LM/2gr5phGQLlzpSSJv6fkCGY9rUM8cnMd+7pyAUnnshJz4NHGPkiqGwDMml3qM+vdW1mV6qqjU1icoy0FJQRRptr/SGK1zDg4UIDgguJGMbBkJelxgyJtxxfYApVwPmRaIgzJBnd8Q6gs+chTHvI85ipZN0mPBpsrKCQ/L14lP5/PNfl8OnxM3c9Ycj5BfO9bEuSH5BeGCdx1zMuvzHKXPD5AbBr59whZI84kyyN+bjbov13+82uRfzPHRtccTLoFuvac1a86xRbdXT8eewjwMcQcMxWjhFG52k/zNe8Jr5ULJKQSl+S5VM6tnDj1DKX5llfos=</latexit> xj1 <latexit 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21. 組合せ最適化問題の難しさ • NP困難問題：厳密な最適解を求めるのに必要な計算時間が最悪で入力 サイズの指数関数になると多くの研究者が考えている問題。 • 都市をちょうど1回ずつ訪問する最短の巡回路を求める巡回セールス マン問題の解候補を列挙すると(n-1)!/2通り。 Newsweek, July 26, 1954 PCB3038 D15112 都市数 巡回路の総数 計算時間(秒) 6 60 4.32×10-10 8 2520 3.23×10-8 10 1.81×105 3.63×10-6 15 4.36×1010 1.96 20 6.08×1016 4.87×106 約56日 25 3.10×1023 3.88×1013 約122万年 30 4.42×1030 7.96×1020 約25233億年 100TFlopsのコンピュータを用いて 巡回路を列挙したときの計算時間 大規模な巡回セールスマン問題を 解く必要が生じることは少なくない 全ての解を列挙することは現実的には不可能
22. 効率的に解ける組合せ最適化問題 • 巡回セールスマン問題や整数計画問題など、多くの組合せ最適化問題は NP困難で効率的なアルゴリズムは期待できない。 • 特徴的な構造を持つ一部の組合せ最適化問題には効率的なアルゴリズム が存在する。 離散最適化問題 (組合せ最適化問題) 整数計画問題 資源配分問題，最小全域木問題など 貪欲法 ナップサック問題*，資源配分問題， 最小費用弾性マッチング問題など 動的計画法 最大流問題，最小費用流問題， 最大マッチング問題，割当問題など 増加路法，負閉路消去法，最短路繰り返し法， (ハンガリー法) 最短路問題 ダイクストラ法，ベルマン・フォード法， フロイド・ウォーシャル法 分枝限定法，切除平面法，(分枝カット法) ビンパッキング問題，最大カット問題， 巡回セールスマン問題，頂点被覆問題， ナップサック問題など 性能保証付き近似解法 さまざまなNP困難問題 発見的解法，局所探索法，メタヒューリスティクス， (分枝カット法) 効率的なアルゴリズム が存在する 入力データの各要素(荷物の重さ および袋の容量 )が定数長の文字列で表現できるという仮定が必要。 <latexit sha1_base64="S2s8zxNAKBoHM4ccnyh2vCwfeTA=">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</latexit> wi <latexit sha1_base64="WHnSHTXVIojX+lNevFgytTiVrHo=">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</latexit> C
23. 計算困難な組合せ最適化問題 • 厳密解法：任意の入力データに対して最適解を1つ出力するアルゴリズ ム。ただし、多項式時間アルゴリズムではない。 • 近似解法：任意の入力データに対して最適値に対する近似性能を保証 する実行可能解を1つ出力する多項式時間アルゴリズム。 • 発見的解法（ヒューリスティクス）：最適値に対する近似性能が保証 されていない実行可能解を1つ出力するアルゴリズム。 離散最適化問題 (組合せ最適化問題) 整数計画問題 資源配分問題，最小全域木問題など 貪欲法 ナップサック問題，資源配分問題， 最小費用弾性マッチング問題など 動的計画法 最大流問題，最小費用流問題， 最大マッチング問題，割当問題など 増加路法，負閉路消去法，最短路繰り返し法， (ハンガリー法) 最短路問題 ダイクストラ法，ベルマン・フォード法， フロイド・ウォーシャル法 分枝限定法，切除平面法，(分枝カット法) ビンパッキング問題，最大カット問題， 巡回セールスマン問題，頂点被覆問題， ナップサック問題など 性能保証付き近似解法 さまざまなNP困難問題 発見的解法，局所探索法，メタヒューリスティクス， (分枝カット法) 効率的なアルゴリズム が期待できない
24. 現実問題への数理最適化の適用 • 汎用解法：整数計画問題などに定式化して汎用ソルバーを利用する。 • 専用解法：個々の問題の構造を利用した専用ソルバーを開発する。 • 論文の研究成果がそのまま現実問題に適用できることはまれ。 • 整数計画問題に定式化して汎用の数理最適化ソルバーを利用する。 • 大規模・計算困難な問題は専用のアルゴリズムを開発する。 問題の特徴が利用できず高性能な アルゴリズムの実現が困難 アルゴリズムが適用可能な 範囲が狭く汎用性に欠ける 多様な問題に適用可能な 汎用性の高いアルゴリズム 個々の問題の構造を利用した 高性能なアルゴリズム a 整数計画問題 分枝カット法 b c d e 現実世界 a b c d e 現実世界 問題 a 問題 b 問題 e アルゴリズム a アルゴリズム b アルゴリズム e 「汎用的」かつ「高性能」なソルバーの実現は困難
25. 数理最適化を活用した問題解決の実現 • 一度も修正なしに妥当な最適化問題が定式化できることはまずない。 • アルゴリズムの開発・修正には非常に時間がかかる。 • 妥当な最適化問題が定式化できるまでは、汎用の数理最適化ソルバーを 用いて、アルゴリズムの開発・修正に要する手間を削減する。 ソルバーの適用 現 実 問 題 最 適 化 問 題 ( 近 似 ) 最 適 解 解 決 策 定式化 分析・検証 最適化問題の修正 アルゴリズムの 開発と適用 現 実 問 題 最 適 化 問 題 ( 近 似 ) 最 適 解 解 決 策 定式化 分析・検証 汎用の数理最適化ソルバーを用いた実証実験の後に 専用アルゴリズムの開発を検討する
26. 現実問題における課題と対策 • 目標の設定：コストの最小化や利益の最大がだけが目的か？ 計画担当者の自動化・支援を通じて業務プロセスの改革を実現する。 大規模な事業では、意思決定者が増えるため利害の調整が難しくなる。 • データの整備：現場の計画担当者がデータ取得／入力／修正の作業に多 大な時間を要するのは本末転倒。UXは計算時間や解の質だけではない。 • 最適化問題の定式化：最適化問題の定式化に必要な情報の多くは、 業務に従事する計画担当者には改めて話題にするまでもない常識。 インタビューと定式化の再検討の繰り返しが必要。 • システムの運用：多様な状況下でのシミュレーション、意思決定者間の すり合わせに、出力データの検証と入力データの修正を何度も繰り返す。 見積り回答に 数日かかる 顧客 営業 計画担当者 見積り回答が 迅速に！ 計画担当者の 負担を軽減 顧客 営業 計画担当者 システム 計画担当者の 負担が大きい
27. 最適化問題の定式化 • 最適化問題の定式化に必要な情報の多くは、業務に従事している担当者 には改めて話題にするまでもない常識で引き出すことが非常に困難。 • 不完全でも暫定的な計画案を提示することは、計画担当者から必要な 情報を引き出すための手段だと割り切る。 • 簡単な最適化問題から始めて、インタビューと再検討を繰り返しつつ、 最適化問題を完成に近づける。 • 計画担当者が挙げる要件をハード制約とソフト制約に切り分ける。 • 限られた期間で、最適化問題の定式化を繰り返し再検討するためには、 アルゴリズムの開発・修正にかかる手間を減らすことが重要。 現 実 問 題 最 適 化 問 題 ( 近 似 ) 最 適 解 解 決 策 定式化 アルゴリズムの 開発・適⽤ 分析・検証 最適化問題(+アルゴリズム)の修正 何周する予定か事前に 決めると見通しが良い
28. 数理最適化の普及と専門家の育成 • 大学だけではなく企業にも数理最適化のエキスパートを増やしたいが、 研究室から輩出できる学生の数は限られる。 • 大学と共同研究を続けるには企業側にも専門知識を持った人材が必要。 専門教育を併せて実施することで取り組みの継続と拡大が期待できる。 • 数理最適化を活用するにはエキスパートだけを育成すれば良いわけでは ない。Lv1-2の人材を増やし裾野を広げることが普及には不可欠。 Lv1：数理最適化の概要と応用事例が分かる。 Lv2：最適化問題の定式化、数理最適化ソルバーの利用ができる。 Lv3：最適化アルゴリズムの設計・実装ができる。 エンジニア データサイエンティスト コンサルタント Lv2 Lv3 Lv1 営業 マネージャー クライアント 専門教育 共同研究 人事部を巻き込んで継続 開発部門から事業部への拡大 研究者 エキスパート
29. まとめ • 数理最適化による問題解決 →「分析」から「計画」へ • 組合せ最適化とその応用事例 →自動車の配船・運航計画、自動車船の積付け計画、 クーポン配信計画など • 現実問題への数理最適化の適用 →汎用の数理最適化ソルバーを活用したモデリングの効率化 • 現実問題における課題と対策 →目標の設定、データの整備、最適化問題の定式化、システムの運用 • 数理最適化の普及と専門家の育成 →専門教育と共同研究の連動による専門家の育成 現実問題の解決に数理最適化を活用して下さい！
30. 参考文献 • 梅谷俊治，しっかり学ぶ数理最適化，講談社，2020． • 梅谷俊治，組合せ最適化による問題解決の実践的なアプローチ，オペレーショ ンズ・リサーチ，66(2021)，362-366． • 坂本淳子, 大野修平, 永橋幸大, 鈴木保乃加, 梅谷俊治，自動車船の運航業務に数 理最適化を適用するための実践的なアプローチ, オペレーションズ・リサーチ， 66 (2021), 414-421. • S.Umetani, S. Murakami, Coordinate descent heuristics for the irregular strip packing problem of rasterized shapes, European Journal of Operational Research, 303 (2022), 1009-1026. • S.Umetani, Exploiting variable associations to configure efficient local search algorithm, European Journal of Operational Research, 263 (2017), 72-81. • S.Umetani, Exploiting variable associations to configure efficient local search in large-scale set partitioning problems, Proceedings of the 29th AAAI Conference on Artificial Intelligence (AAAI-15), 1226-1232, 2015.