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形式手法特論:位相空間としての並行プログラミング #kernelvm / Kernel VM ...

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August 09, 2025

形式手法特論:位相空間としての並行プログラミング #kernelvm / Kernel VM Study Tokyo 18th

Kernel/VM 探検隊@東京 No.18 で使用したスライドです。

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August 09, 2025
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Transcript

  1. 排他制御の仕様 • いくつかの仕様が考えられる ◦ 二つのスレッドが同時に排他区間に入らない ◦ スレッド 1 も 2

    も、いつかは排他区間に入れる ◦ スレッド 1 と 2 が、必ず交互に排他区間に入る • それぞれの仕様はなんとなくタイプが異なる ◦ 本質的な違いや相互関係について分析したい
  2. 安全性と活性 • 安全性 (safety) ◦ 「悪いことが決して起こらない」タイプの仕様 ◦ 例:二つのスレッドが同時に排他区間に入らない • 活性

    (liveness) ◦ 「いつか必ず良いことが起こる」タイプの仕様 ◦ 例:スレッド 1 も 2 も、いつか排他区間に入れる
  3. 閉集合の例、閉集合でない例 • A = { x : 0 ≤ x

    ≤ 1 } は閉集合 ◦ 0 未満の x の十分近くは 0 未満 • A = { x : 0 < x < 1 } は閉集合ではない ◦ 0 自身は A に属さないが、 0 のどんなに近くの点を考えても プラス側が A にかぶってしまう 0 0 - ε 0 + ε A 0 x - ε A x - ε x
  4. 稠密集合の例 • A = { x : x は有理数 }

    は稠密集合 ◦ どんな実数を取ってきても、小数点 N 桁までの 近似値を考えれば、どこまでも近い有理数が存在 • A = { x : x は i / 2^j の形の分数 } は稠密集合 ◦ 有理数の中でも限られた形の分数しか取れないが、 分母 2^j はどこまでも細かく刻める
  5. 振る舞い同士の距離 • 状態列が 2 つあるとき、その「近さ」が定義できる ◦ 冒頭部分が長く一致するほど「近い」とする ◦ N 個目まで一致するなら「レベル

    N」の近さ • 数直線上の通常の距離と同じような扱いができる ◦ 数学的にいえば位相空間(特に距離空間)になる ◦ 閉集合や稠密集合を考えることが可能
  6. 振る舞い同士の距離の例 … … … … … 1: 2: 3: 4:

    5: • 4-5 はこの中で最も近い (2 個目まで一致) • 1-4 や 1-5 は次点で近い (1 個目まで一致) • 2 や 3 はどれとも遠い (1 個目で既に不一致)
  7. 安全性(位相版) • 安全性 (safety) ◦ 閉集合で表されるタイプの仕様 ◦ 例:無限列のどこにも違反が現れない • 違反の例として、N

    個目で両側が現れる列を取る ◦ その列と「レベル N 以上近い列」は全部両側を持つ ◦ 違反に十分近い点は違反:閉集合の特徴
  8. 活性(位相版) • 活性 (liveness) ◦ 稠密集合で表されるタイプの仕様 ◦ 例:無限列のどこかで最低一回左側と右側が現れる • 任意の列と、十分大きい

    N を選ぶ ◦ 列の N + 1 個目から先を交互に排   で置き換え ◦ 元の列の「レベル N 近似」が可能:稠密集合の特徴 …
  9. 安全性 - 活性分解定理 任意の仕様 P が与えられたとき、ある安全性 S と活性 L が

    存在して P = S ∩ L という分解が成り立つ 定理 (Alpern-Schneider, 1985) • 任意の仕様を安全性と活性に分解できる広範な主張 • 定式化の勝利で、位相空間の初歩のみで証明可能 https://doi.org/10.1016/0020-0190(85)90056-0