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Guía de secciones cónicas

Guía de secciones cónicas

Paula Rendon

July 02, 2012
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  1. SECCIONES CÓNICA Paula Andrea Rendón Mesa Docente 2 LAS SECCIONES

    CÓNICAS 1. Justificación Una cónica es la curva que se obtiene como intersección de una superficie cónica con un plano y una superficie cónica es la engendrada por una recta, llamada generatriz, que gira alrededor de otra fija, llamada eje, a la que corta en un punto. El punto de corte se llama vértice. Podemos obtener cuatro cónicas distintas según sea la posición del plano con respecto a la superficie cónica: 1. Si el plano secante es perpendicular al eje de la superficie cónica y no pasa por el vértice, la intersección es una CIRCUNFERENCIA. 2. Si el plano secante es oblicuo al eje y paralelo a una generatriz, la intersección es una curva abierta denominada PARABOLA 3. Si el plano secante es oblicuo al eje de la superficie cónica, corta a todas sus generatrices y no pasa por el vértice, la intersección es una curva cerrada que recibe el nombre de ELIPSE. 4. Si el plano secante es paralelo al eje de la superficie cónica, la intersección de denomina HIPERBOLA, y es una curva que consta de dos partes, una en cada una de las hojas de la superficies cónica. El estudio de las secciones cónicas se remonta a la edad de oro de las matemáticas griegas en el siglo III. Apolonio de Perga recordado como "el gran geómetra", se preocupó de llevar a una perfección definitiva las matemáticas helénicas, especialmente la Geometría. Su obra fundamental son ocho famosos libros sobre las secciones cónicas que elevaron el estudio de las curvas de segundo grado a una perfección no superada durante siglos. En lo referido al aprendizaje con las cónicas siempre surge el interrogante ¿Cuál es el motivo principal de que las secciones cónicas ocupen un lugar tan importante entre todas las posibles curvas?, comprobando que las órbitas de los planetas y las trayectorias de los cuerpos pesados son curvas de este tipo. Pero esto no es todo, la importancia fundamental de las cónicas reside en el aparato sensitivo del hombre mismo. Su capacidad de percepción depende principalmente del ojo y toda imagen de la realidad óptica, toda perspectiva, toda proyección, se presenta bajo forma de una sección cónica. Por tanto, no es exagerado calificar a nuestro mundo como "mundo de las secciones cónicas". INSTITUCIÓN EDUCATIVA PEDRO LUIS ÁLVAREZ CORREA GUIA DE ACTIVIDADES. GRADO 11 PROFESORA: PAULA ANDREA RENDÓN M. ([email protected] )
  2. SECCIONES CÓNICA Paula Andrea Rendón Mesa Docente 3 2. Propósitos

    Con el desarrollo de esta guía se pretende que cada estudiante: 2.1. Comprenda la definición de circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. 2.2. Reconozca los elementos de cada una de las secciones cónicas 2.3. Halle la ecuación canónica y general de cada una de las secciones cónicas 2.4. Represente gráficamente cada una de las secciones cónicas 2.5. Analice la ecuación general de segundo grado e identifique la cónica a la que le corresponde. 2.6. Resuelva problemas reales que involucran las cónicas en diferentes contextos. 3. Mapa guía para el desarrollo del tema
  3. SECCIONES CÓNICA Paula Andrea Rendón Mesa Docente 4 4. Autoevaluación

    INSTITUCIÓN EDUCATIVA PEDRO LUIS ALVAREZ CORREA AÑO LECTIVO 2012 AUTOEVALUACIÓN FORMATIVA AREA MATEMÁTICAS DOCENTE: PAULA ANDREA RENDÓN MESA ESTUDIANTE: GRUPO: PERIODO II Apreciado estudiante: Es muy importante que evalúes de manera consciente, responsable y honesta el proceso que lleva en esta asignatura. Diligencie el siguiente formato teniendo en cuenta la escala de valoración propuesta a continuación. NUNCA 1.0 CASI NUNCA 2.0 – 2.5 ALGUNAS VECES 2.6 – 3.5 FRECUENTEMENTE 3.6 – 4.0 SIEMPRE 5.0 Defina una valoración correspondiente en cada casilla, que corresponde la clase evaluada DESEMPEÑO SEM 3 a SEM 6 SEM 9 a SEM 12 COMPETENCIAS PERSONALES  Realizo tareas, talleres, consultas y actividades de forma responsable y en el tiempo estipulado para ello.  Llego puntual a clase y a las actividades programadas en la misma.  Promuevo el buen desarrollo de las clases con mi actitud y escucha atenta  Atiendo y muestro interés por las explicaciones de las clases permitiendo que estas se desarrollen con normalidad y al momento de intervenir lo realizo de forma lógica y organizada.  Me responsabilizo de las actividades asignadas por el docente durante y fuera de la clase y no requiero supervisión, ya que cumplo con las indicaciones dadas.  Justifico con el acompañamiento de mis padres las faltas de asistencia.  Contribuyo de manera positiva con el cuidado del medio ambiente. DEFINITIVA POR SEMANA COMPETENCIAS SOCIALES  Participa activamente en los trabajos grupales, generando aportes y cumpliendo con los tiempos estipulados.  Reconozco al otro(as) con sus individualidades y admito la diversidad de sus manifestaciones.  Comparto mis saberes con mis compañeros, valorando las ideas de los demás.
  4. SECCIONES CÓNICA Paula Andrea Rendón Mesa Docente 5  Demuestro

    capacidad de liderazgo evidenciado en la generación de propuestas que conducen al mejoramiento continuo del grupo.  Me acojo a las normas sociales pactadas para el mejoramiento del ambiente de trabajo, sustentadas desde el manual de convivencia.  Respeto las intervenciones de mis compañeros(as), enriqueciendo la dinámica grupal.  Soy responsable a nivel grupal frente al problema ambiental institucional y lo reflejo con el adecuado manejo de los residuos sólidos y evitando generar ruido. DEFINITIVA POR SEMANA PLAN DE MEJORAMIENTO FECHA DE AUTO- EVALUACION OBSERVACIONES DEL ESTUDIANTE OBSERVACIÓN DEL DOCENTE
  5. SECCIONES CÓNICA Paula Andrea Rendón Mesa Docente 6 EXPLORACIÓN ACTIVIDAD

    1: Después de la actividad de la plastilina y el doblado de papel, busque 10 imágenes de objetos que contengan curvas, resáltelas con marcador y defina que curva es. ACTIVIDAD 2: Realice una consulta sobre las cónicas y subraye todas las palabras desconocidas, busque su definición para iniciar un glosario sobre la temática. ACTIVIDAD 3: Construya una tabla donde determine diferencias y semejanzas de cada cónica de acuerdo a lo comprendido de cada curva. CONCEPTUALIZACIÓN La circunferencia: es la curva que está a una distancia siempre igual de un punto fijo llamado centro. La distancia de cada punto de la circunferencia al centro es denominada radio. En la ecuación de una circunferencia se reconocen tres características:  Las variables X y Y son positivas.  Las variables X y Y están elevadas al cuadrado.  Cuando la ecuación está igualada a cero aparecerá una constante negativa, si aparece después del igual será positivo, definida como el radio al cuadrado (r2). La circunferencia de radio r, y centro C (0,0) tiene por ecuación canónica la expresión: x2 + y2 = r2. Cuando la circunferencia tenga por centro un punto diferente al origen, en C (h, k) (donde h, k son cualquier números), tiene como ecuación canónica de la circunferencia es: (X ± h)2 + (y-k)2 = r2 Cuando en la ecuación (X ± h)2 + (y-k)2 = r2 se desarrollan las operaciones indicadas, se obtiene x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0; entonces si llamamos -2h = D; -2k = E y h2 + k2 – r2 = F, entonces la ecuación anterior se definirá como: x2 + y2 +Dx +Ey +F = 0, que corresponde a la ecuación general de la circunferencia.
  6. SECCIONES CÓNICA Paula Andrea Rendón Mesa Docente 7 EJERCITACIÓN Realice

    los ejercicios,, de forma individual, iniciando la preparación para las actividades evaluativas. 1. Escribir la ecuación canónica y general correspondiente a cada gráfica, además de determinar el centro y el radio. 2. Definir la ecuación general de la circunferencia que satisfaga las condiciones dadas. Calcular el área y perímetro de cada circunferencia. 2.1. (x – 3)2 + (y + 5)2 = 8 2.2. C (1, 3); r = 2 2.3. C ) 3 , 5 2 ( ; r = 5 2 2.4. (y – 3)2 + (x – 2)2 = 36 2.5. (x – 5)2 + (y + 8)2 = 16 2.6. C ) 3 4 , 5 3 (   ; r = 2 2.7. (x – 7 4 )2 + (y + 9)2 = 20 2.8. C (-7, -2); r = 3 2.9. (x – 6 5 )2 + (y + 4 1 )2 = 20 2.10. C (4, 1); r = 10 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.
  7. SECCIONES CÓNICA Paula Andrea Rendón Mesa Docente 8 2.11. Los

    extremos de un diámetro son (-1, 2) y (7, 2) 2.12. Los extremos de un diámetro son (0, 8) y (0, -2) 3. Escribir la ecuación general de cualquier circunferencia que cumpla con las condiciones planteadas. 3.1. La gráfica de la circunferencia está ubicada en el segundo cuadrante del plano cartesiano. 3.2. La gráfica de la circunferencia está ubicada en el cuarto cuadrante del plano cartesiano. 4. Una pista de automovilismo es de forma circular. La ecuación que describe la circunferencia de la pista está dada por la ecuación + = 6.400 donde el radio está medido en metros. ¿Cuántas vueltas debe recorrer un auto para cubrir 10.048 metros? CONCEPTUALIZACIÓN La parábola: es la curva en la cual la distancia de un punto que pertenece a ella (P) al foco es igual a la distancia del mismo punto (P) a una recta fija llamada directriz. La parábola de V (0,0) puede tener por ecuación las expresiones: x2 =±4py y la coordenada para el foco será F (0, p) si esta abre sobre el eje y, ya sea hacia arriba o abajo o y2= ±4px y la coordenada para el foco será F (p, 0) si se abre sobre el eje x, ya sea a la izquierda o derecha. El foco estará definido como Cuando la parábola tiene vértice en (h k), es decir en un punto diferente del origen, las ecuaciones canónicas serán (y – k)2 = 4p (x – h) si abre sobre el eje x y para esta el foco tendrá por coordenada F (h + p, k), en cambio cuando la parábola abre sobre el eje y la ecuación será (x – h) 2 = 4p (y – k) y la coordenada del foco se definirá como: F (h, k + p), En la ecuación de una parábola se reconocen tres características:  Las variables X y Y pueden ser positivas o negativas  Solamente una de las variables X y Y están elevada al cuadrado.  Aparecerá un término o constante multiplicando a la otra variable que no esta elevada al cuadrado, éste número hará las veces de 4p. La parábola tiene varios elementos:  Eje foca o de simetría: Es el eje en el cual la parábola tiene el vértice y el foco.  Vértice (V): Es el punto de donde parte la parábola se intercepta con un eje. En nuestro caso siempre será V (0,0) o V(h, k)  Foco: Es el punto que esta sobre uno de los ejes y tiene una distancia p del vértice.  Directriz: Es la recta que está detrás de la parábola a una distancia p del vértice.
  8. SECCIONES CÓNICA Paula Andrea Rendón Mesa Docente 9 EJERCITACIÓN 1.

    Escribir la ecuación canónica y general correspondiente a cada gráfica. 2. Completar la tabla de modo que determine los elementos de cada parábola, es decir, el eje focal, vértice, foco y directriz de la parábola. Graficar cada caso. COORDENADA DEL VERTICE COORDENADA DEL FOCO p DIRECTRIZ ECUACIÓN GENERAL (0,0) Y = - 2 (1, 3) (1, 6) Y2 = - 12x (3, -2) X = 5 (0,0) (4, 0) (9/2, 2) (3, 2) 1.1. 1.4. 1.3. 1.2.
  9. SECCIONES CÓNICA Paula Andrea Rendón Mesa Docente 10 3. Relacionar

    la ecuación canónica de cada parábola dada en la parte de arriba, con su correspondiente ecuación general en la parte de abajo. Graficar la curva. 8.1. ( − 2) = 10( − 3) 8.2. ( − 1) = 2( + 1) 8.3. (x − 3) = −12(y + 1) ( ) + 2 − 2 − 1 = 0 ( ) − 6 + 12 + 21 = 0 ( ) − 4 + 10 + 34 = 0 CONCEPTUALIZACIÓN La elipse es un conjunto de puntos del plano tales que la suma de las distancias de un punto a los focos es constante y está representada por 2a. La elipse con C (0,0) puede tener por ecuación las expresiones: 1 = b y + a x 2 2 2 2 si está sobre el eje x o 1 = a y + b x 2 2 2 2 si está sobre el eje y. Cuando el centro es C (h, k) las ecuaciones serán 1 ) ( ) ( 2 2 2 2     b k y a h x , si abre sobre el eje x y 1 ) ( ) ( 2 2 2 2     a k y b h x , si abre sobre el eje y. En dicha ecuación se reconocen varias características:  Las variables X y Y están elevada al cuadrado y aparecen sumando.  Cada una aparece con un denominador (un número que las divide) que está elevado al cuadrado y el mayor denominador será siempre a2 y la variable (x o y) que está encima indica sobre el eje que se alarga la elipse (eje mayor).  La ecuación canónica siempre estará igualada a 1. La elipse tendrá varios elementos:  Eje focal: Es el eje en el cual la elipse tiene los focos.  Los vértices ( 2 1 V y V ): Son los dos puntos en los que la elipse corta al eje focal. Siempre estarán a una distancia a ± = 2 a ± .  Foco (F1 y F2 ): Son los puntos que están sobre el eje focal a una distancia c del centro, donde 2 2 b a ± = c - .  Centro (C): Es el punto que está en la mitad de los dos focos, es decir, si se unen los dos focos con una línea, el centro será el punto medio del segmento.  Interceptos (B1 y B2 ): Son los otros dos puntos en los que la elipse corta al otro eje que no es eje focal. Siempre estarán a una distancia b ± = 2 b ± .  Eje mayor: Es el segmento que une los vértices. Su distancia es igual a 2a.  Eje menor: Es el segmento que une los intercepto. Su distancia es igual a 2b. La hipérbola: es el lugar geométrico de los puntos tales que la diferencia de sus distancias a los focos es una constante positiva igual a 2a.
  10. SECCIONES CÓNICA Paula Andrea Rendón Mesa Docente 11 La hipérbola

    con C (0,0) puede tener por ecuación las expresiones: 1 = b y a x 2 2 2 2 - si esta abre sobre el eje x o 1 - 2 2 2 2  b x a y si esta abre sobre el eje y. Cuando el centro es C (h, k) las ecuaciones serán 1 ) ( - ) ( 2 2 2 2    b k y a h x , si abre sobre el eje x o 1 ) ( - ) ( 2 2 2 2    b h x a k y si abre sobre el eje y. En dicha ecuación se reconocen varias características:  Las variables X y Y están elevada al cuadrado y aparecen restando.  Cada una aparece con un denominador (un número que las divide) que está elevado al cuadrado y siempre el primer denominador será a2 y estará debajo del eje sobre el cual se abre la hipérbola.  La ecuación canónica siempre estará igualada a 1. La hipérbola tendrá varios elementos:  Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.  Los vértices ( 2 1 V y V ): Son los dos puntos en los que la hipérbola corta al eje focal. Siempre estarán a una distancia a ± = 2 a ± .  Foco (F1 y F2 ): Son dos puntos fijos del plano que están a una distancia c del centro, donde 2 2 b + a ± = c .  Centro (C): Es el punto que está en la mitad de los dos vértices, es decir, si se unen los dos vértices con una línea, el centro será el punto medio del segmento.  Asíntotas: Son dos rectas a las cuales se aproxima la hipérbola pero que nunca la toca. Estas líneas pueden extenderse indefinidamente, siempre pasarán por el punto ) , ( b a   . EJERCITACIÓN 1. Hallar la ecuación canónica y general de la elipse e hipérbola, según el caso, que cumple las condiciones dadas. Graficar cada curva con sus elementos. 1.1. Tiene centro en (0,0), la longitud del eje mayor es 10 en x y la longitud del eje menor es 6 en y. 1.2. Centro en (0,0), Foco en (  6, 0) y a = 4. 1.3. Focos en (6,  1) y longitud del eje mayor es 16. 1.4. Vértices en (-3, 1) y en (5, 1) y un punto de la asíntota es (5, 3) 1.5. Tiene centro en (2, 2) y la longitud del eje menor en y es 6 y el eje mayor es el doble del menor. 2. Consultar como se construye con regla y compás la elipse y la hipérbola, entregar este proceso describiendo paso a paso la elaboración.
  11. SECCIONES CÓNICA Paula Andrea Rendón Mesa Docente 12 3. Dadas

    las siguientes gráficas determinar las ecuaciones canónicas y generales. Ubicar en la gráfica los elementos faltantes. 4. Dadas las siguientes ecuaciones canónicas determinar los elementos de cada curva y graficarlas. a. 1 25 ) 4 ( 4 ) 1 ( 2 2     x y b. 1 49 ) 7 ( 36 ) 8 ( 2 2     y x c. 1 9 16 2 2   y x d. 1 10 ) 7 ( 6 ) 2 ( 2 2     y x e. 1 9 ) 1 ( 20 ) 3 ( 2 2     y x f. 1 81 4 2 2   y x a. c. e. b. d. f.
  12. SECCIONES CÓNICA Paula Andrea Rendón Mesa Docente 13 ACTIVIDADES DE

    AMPLIACION a) Cuando tenga claridad sobre los elementos y características de cada cónica, investigue en que situaciones de la vida diaria esta curva tiene utilidad y cite todos los ejemplos posibles. Seleccione 3 de estas situaciones, tome fotos o busque imágenes de los objetos seleccionados. Invente situaciones reales con ellos y resuélvalas posicionándolos sobre un plano, utilizando escalas para trabajar con las medidas reales, y empleando las ecuaciones de cada una. b) Explore en internet o en otros medios, las formas existentes para construir las cónicas y replique los procedimientos, indicando los pasos seguidos. Sea creativo y utilice los materiales que considere más apropiados. c) El hilorama es una creación con puntos, rectas y planos de hilo o lana. Consiste en realizar el diseño en papel regla y luego se construyen tableros de madera, algunos de forma cuadrada, con diferentes figuras “trazadas” con clavos, de cabeza plana, distribuidos regularmente. Basado en las cónicas elabore un cuadro en esta técnica. FASE DE PROYECTO FINAL DE SÍNTESIS a) Explore páginas de internet que muestres las cónicas en el espacio y justifique porque y para qué son importantes. b) Teniendo presente todo lo investigado en las fases anteriores, seleccione un objeto o artefacto que tenga en su diseño curvas cónicas y prepare una presentación donde defina: Introducción, objetivos, utilidad del objeto elaborado, relación con el contexto, estructura del diseño (¿Qué cónicas componen el objeto?), la matematización (ecuaciones de las curvas) y por último las conclusiones sobre todo el trabajo desarrollado. Esta actividad será abordada en grupos de tres compañeros definidos en clase con acompañamiento de la profesora. 5. Bibliografía [1] Stewart, J. Matemáticas previas al Cálculo. Segunda Edición. Thompson, México, 2005. [2] Larson, R. Hostetler, R., Edwards, B. Cálculo. Octava Edición, McGraw Hill, 2006. [3] Zill, D, Dewar J. Algebra y trigonometría. Segunda Edición. McGraw Hill, 2002