LCP_6_geometry_and_degree_theory_2

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1. 2020/7/11 1 線形相補性問題ゼミ⑥ 線形相補性問題ゼミ ６章 幾何学と次数理論 中編 せい@seytwo https://epubs.siam.org/doi/book/10.1137/1.9780898719000?mobileUi=0 一人輪読
2. 教科書の目次 1. Introduction 2. Background 3. Existence and Multiplicity 4. Pivoting Methods 5. Iterative Methods 6. Geometry and Degree Theory 7. Sensitivity and Stability Analysis 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 2 導入
3. ６章の目的 ⚫ 目的 − 行列やアルゴリズムを幾何的に解釈 − ➡解やアルゴリズムの特徴を理解 • 代数的な考察だけでは分からないこともある 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 3 導入 代数的特徴 幾何的特徴 解・アルゴリズムの特徴 行列の特徴 （行列式） 相補錐の特徴 （指数・次数） 解の存在性・数の偶奇 アルゴリズムの収束性・単調性
4. 前回の内容 1. Global Degree and Degenerate Cones 2. Facets 3. The Geometric Side of Lemke’s Method 4. LCP Existence Theorems 5. Local Analysis 6. Matrix Classes Revisited 7. Superfluous Matrices 8. Bounds on Degree 9. Q0-Matrices and Psudomanifolds 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 4 導入
5. 前回の内容 ⚫ 主定理 − 強退化な相補錐で分けられる連結な空間内では， 解の個数の偶奇は等しい ⚫ 幾何的特徴 − 解の個数 = を含む相補錐の個数 − 解の個数は相補錐のファセット上で変化 − 強退化な相補錐のﾌｧｾｯﾄ以外では偶奇に変化なし 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 5 導入 1 1 1 0 2 2 2 0 偶 奇 奇 奇 偶 偶 偶 偶 強退化な相補錐
6. 本日の内容 1. Global Degree and Degenerate Cones 2. Facets 3. The Geometric Side of Lemke’s Method 4. LCP Existence Theorems 5. Local Analysis 6. Matrix Classes Revisited 7. Superfluous Matrices 8. Bounds on Degree 9. Q0-Matrices and Psudomanifolds 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 6 導入
7. 本日の内容 ⚫ 目的 − レムケ法を幾何的に解釈 − アルゴリズムの特徴を理解 • 解への収束性 • 挙動の単調性 − 解への収束性からQ行列の十分条件を得る 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 7 導入
8. 本日の目次 1. レムケ法 1. 代数的解釈 2. 幾何的解釈 2. レムケ法の特徴と幾何学 1. 次数理論 2. レムケ法の特徴 1. 解への収束性 2. 挙動の単調性 3. 解への収束性の深堀り 1. 余剰行列 2. 次数の最大値 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 8 目次
9. 本日の目次 1. レムケ法 1. 代数的解釈 2. 幾何的解釈 2. レムケ法の特徴と幾何学 1. 次数理論 2. レムケ法の特徴 1. 解への収束性 2. 挙動の単調性 3. 解への収束性の深堀り 1. 余剰行列 2. 次数の最大値 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 9 目次
10. レムケ法の概要 ⚫ レムケ法 Lemke’s method − ピボット法の一つ − 補助問題を導入し，実行可能な初期解を得る − 実行可能性と弱相補性を保ったままピボット ⚫ 補助問題 augmented problem − 補助変数 0 ∈ ℝ，被覆ベクトル > 0 ∈ ℝ find 0 , subject to = + 0 + 0 , ≥ 0 ⊤ = 0 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 10 １．レムケ法，１．代数的解釈
11. レムケ法のアルゴリズム 1. 初期化：0 を十分に大きくとる 2. 入変数（値を小さくする）：0 3. do 4. 入変数：出変数の相補対 5. 出変数：minimum ratio test 6. while 出変数 != 0 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 11 １．レムケ法，１．代数的解釈
12. レムケ法の実行例 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 12 １．レムケ法，１．代数的解釈 0 1 2 3 1 -3 1 0 -1 2 -3 2 6 1 2 0 -2 6 3 -1 1 -1 1 0 -1 0 0 0 0 0 1 2 3 1 -3 1 0 -1 2 7 2 6 1 2 0 -2 16 3 -1 1 -1 1 0 9 10 0 0 0 0 1 2 3 1 -3 1 0 -1 2 0 2 6 1 2 0 -2 9 3 -1 1 -1 1 0 2 3 0 0 0 1 1 2 3 0 3 1 0 -1 2 3 2 9 1 2 0 -2 9 3 2 1 -1 1 0 2 0 0 0 0 1 3 2 3 0 3 1 0 1 -2 3 2 13 3 -2 5 -8 13 1 2 1 -1 2 -2 2 0 0 0 0 1 3 2 1 0 1 0 1 -1 1 1 2 5 -1 2 -3 3 5 3 1 1/2 -1/2 1 -1/2 1 0 0 0 0 2 3 2 1 0 1 0 1 -1 1 1 1 5 -1 2 -3 4 5 3 7/2 -1/2 1/2 -1/2 3/2 7/2 0 0 0 0 2 3 0 1 2 1 0 1 -1 1 1 1 2 -1 -1 3 1 2 3 3 -1/2 0 1/2 1 3 0 0 0 0
13. 本日の目次 1. レムケ法 1. 代数的解釈 2. 幾何的解釈 2. レムケ法の特徴と幾何学 1. 次数理論 2. レムケ法の特徴 1. 解への収束性 2. 挙動の単調性 3. 解への収束性の深堀り 1. 余剰行列 2. 次数の最大値 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 13 目次
14. レムケ法の幾何的解釈 ⚫ アイデア − 補助問題を = + 0 + = ′ + とすれば，相補錐上に ′ の半直線が書ける − 半直線の先から に近づけていく 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 14 １．レムケ法，２．幾何的解釈
15. レムケ法の幾何的解釈 ⚫ 挙動の幾何的解釈 − 初期解：0 を十分に大きくすれば，自明な相補 錐 ∅ に入る − ピボット：′ を移動させ，あるファセット上で 相補錐から出る場合に，その相補錐の隣の相補 錐に入る 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 15 １．レムケ法，２．幾何的解釈
16. レムケ法の幾何的解釈 ⚫ 挙動の幾何的解釈 − 初期解：0 を十分に大きくすれば，自明な相補 錐 ∅ に入る − ピボット：′ を移動させ，あるファセット上で 相補錐から出る場合に，その相補錐の隣の相補 錐に入る 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 16 １．レムケ法，２．幾何的解釈
17. ピボットの分類 ⚫ ピボットは３パターン − proper：ピボット前後で 0 の増減が変わらない − reflecting：ピボット前後で 0 の増減が変わる − absorbing：ファセット上に収束 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 17 １．レムケ法，２．幾何的解釈 proper reflecting absorbing
18. 本日の目次 1. レムケ法 1. 代数的解釈 2. 幾何的解釈 2. レムケ法の特徴と幾何学 1. 次数理論 2. レムケ法の特徴 1. 解への収束性 2. 挙動の単調性 3. 解への収束性の深堀り 1. 余剰行列 2. 次数の最大値 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 18 目次
19. 次数理論の導入 ⚫ 本日の目的（再掲） − レムケ法の幾何的特徴から，代数的には見えて こないレムケ法の特徴を見出すこと ⚫ 次数理論の役割 − 代数的な特徴と幾何的な特徴をつなげる役割 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 19 ２．レムケ法の特徴と幾何学，１．次数理論 代数的特徴 幾何的特徴 解・アルゴリズムの特徴 行列の特徴 （行列式） 相補錐の特徴 （指数・次数） 解の存在性・数の偶奇 アルゴリズムの収束性・単調性
20. 区分線形関数の定義 ⚫ 定義：LCPの区分線形関数 − ∶ ℝ → ℝ − = + − − • + = max 0, • − = max 0, − 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 20 ２．レムケ法の特徴と幾何学，１．次数理論 pos pos − pos ∈ pos ⇒ ∈ pos − ∈ pos ⇒ = −
21. 指数の定義 ⚫ 定義：指数 index − 個別の相補錐の特徴を表す数 − ind : ℝ → +1, −1 − ⊆ 1, … , ： が pos の内点 − ind = sgn det = ind 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 21 ２．レムケ法の特徴と幾何学，１．次数理論 pos − pos pos +1 +1 +1 −1
22. 局所次数の定義 ⚫ 定義：局所次数 local degree − 特定の を含む相補錐全体の特徴 − deg : ℝ → ℤ+ − deg = σ ∈ −1 ind 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 22 ２．レムケ法の特徴と幾何学，１．次数理論 pos pos − pos +1 +1 +1 −1 0 0 0 0
23. 大域次数の定義 ⚫ 定義：大域次数 global degree − 相補錐全体の特徴を表す数 − 任意の で局所次数が等しい場合に定義可能 − deg : ℝ× → ℤ+ 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 23 ２．レムケ法の特徴と幾何学，１．次数理論 pos 0 0 0 0 pos 1 1 1 0
24. 次数と解の個数の特徴 ⚫ 補題： − 強退化な相補錐が存在しない − ⇔大域次数が定義可能 • すべての で局所次数が等しい ⚫ 定理： − 次数の偶奇と解の個数の偶奇は等しい ⚫ 定理： − ∀ ∈ ℝ, deg ≤ SOL , ⚫ 系： − deg ≥ 1 ⇒ 行列 はQ行列 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 24 ２．レムケ法の特徴と幾何学，１．次数理論 1 1 1 0
25. ピボットの分類（再来） ⚫ ピボットの分類 − proper：ind × ind = +1 − reflecting：ind × ind = −1 − absorbing：pos が強退化 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 25 ２．レムケ法の特徴と幾何学，１．次数理論 ピボット前：pos ピボット後：pos proper reflecting absorbing +1 −1 +1 +1
26. の増減 ⚫ 定理： − ピボット後の相補錐の指数が +1 / -1 − ⇒ 0 は減少／増加する ⚫ 証明 − 初期相補錐は pos ∅ で指数は +1 − 最初のステップで 0 は必ず減少 − 指数が変わると増減も変わる − 移動後の相補錐の指数の符号と 0 の増減は同期 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 26 ２．レムケ法の特徴と幾何学，１．次数理論
27. 次数理論の導入（再掲） ⚫ 本日の目的 − レムケ法の幾何的特徴から，代数的には見えて こないレムケ法の特徴を見出すこと ⚫ 次数理論の役割 − 代数的な特徴と幾何的な特徴をつなげる役割 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 27 ２．レムケ法の特徴と幾何学，１．次数理論 代数的特徴 幾何的特徴 解・アルゴリズムの特徴 行列の特徴 （行列式） 相補錐の特徴 （指数・次数） 解の存在性・数の偶奇 アルゴリズムの収束性・単調性
28. 本日の目次 1. レムケ法 1. 代数的解釈 2. 幾何的解釈 2. レムケ法の特徴と幾何学 1. 次数理論 2. レムケ法の特徴 1. 解への収束性 2. 挙動の単調性 3. 解への収束性の深堀り 1. 余剰行列 2. 次数の最大値 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 28 目次
29. レムケ法の特徴 ⚫ 収束性 − 非退化行列⇒「解あり」か「解なし」に収束 ⚫ 解への収束性 − R0行列 + α ⇒「解あり」に収束 • 「R0行列 + α ⇒ Q行列」と同値 • Q行列の十分条件をアルゴリズム・幾何的に解明 − 深堀り：余剰行列，次数の最大値 ⚫ 挙動の単調性 − P0行列⇒ 0 が単調減少 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 29 ２．レムケ法の特徴と幾何学，２．レムケ法の特徴
30. 本日の目次 1. レムケ法 1. 代数的解釈 2. 幾何的解釈 2. レムケ法の特徴と幾何学 1. 次数理論 2. レムケ法の特徴 1. 解への収束性 2. 挙動の単調性 3. 解への収束性の深堀り 1. 余剰行列 2. 次数の最大値 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 30 目次
31. P0行列の定義 ⚫ 定義：P0行列 − P0行列⇔ ∀ ⊆ 1, … , , det ≥ 0 ⚫ 性質： − P0行列⇔ ∀ ∈ ℝ, ind = +1 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 31 ２．レムケ法の特徴と幾何学，２．レムケ法の特徴，２．挙動の単調性 pos pos − pos +1 +1 +1 +1
32. 挙動の単調性 ⚫ 定理： − 行列 ∈ ℝ× はP0行列⇒ 0 は単調減少 ⚫ 証明： − P0行列⇒すべての相補錐の指数はプラス − ピボット後の相補錐の指数がプラス⇒ 0 は減少 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 32 ２．レムケ法の特徴と幾何学，２．レムケ法の特徴，２．挙動の単調性 pos pos − pos +1 +1 +1 +1
33. 本日の目次 1. レムケ法 1. 代数的解釈 2. 幾何的解釈 2. レムケ法の特徴と幾何学 1. 次数理論 2. レムケ法の特徴 1. 解への収束性 2. 挙動の単調性 3. 解への収束性の深堀り 1. 余剰行列 2. 次数の最大値 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 33 目次
34. R0行列の定義と性質 ⚫ 定義： − 行列 ∈ ℝ× はR0行列 − ⇔ SOL 0, = 0 ⚫ 補題： − 行列 ∈ ℝ× はR0行列 − ⇔強退化な相補錐は存在しない 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 34 ２．レムケ法の特徴と幾何学，２．レムケ法の特徴，１．解への収束性 not R0 R0
35. R行列の定義と性質 ⚫ 定義： − 行列 ∈ ℝ× はR行列 − ⇔ ∃ > 0 ∈ ℝ, ∀0 ≥ 0, SOL 0 , = 0 ⚫ 補題： − 行列 ∈ ℝ× はR行列 − ⇒ pos ∅ と交差する相補錐は存在しない 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 35 ２．レムケ法の特徴と幾何学，２．レムケ法の特徴，１．解への収束性 補題：R⇒R0 not R R
36. R行列の解への収束性 ⚫ 定理： − 行列 ∈ ℝ× がR行列 − ⇒レムケ法は「解あり」に収束 ⚫ 証明： − R行列⇒R0行列⇒強退化な相補錐は存在しない − 対偶を証明 • 解に収束しない⇒ 0 = ∞ に収束 • 最後の相補錐の指数はマイナス • pos ∅ でない相補錐が存在 • R行列ではない 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 36 ２．レムケ法の特徴と幾何学，２．レムケ法の特徴，１．解への収束性
37. R0行列 + α の解への収束性 ⚫ 定理： − 行列 ∈ ℝ× が以下を満たす • R0行列 • ∃ > 0, ∄ ⊆ 1, … , , ∈ pos , ind = −1 − ⇒レムケ法は「解あり」に収束 ⚫ 証明： − R行列の証明の流れと同じ − 戻ってくる相補錐が 存在しなければ良いだけ 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 37 ２．レムケ法の特徴と幾何学，２．レムケ法の特徴，１．解への収束性
38. 解への収束性の一般化 ⚫ 定理： − 行列 ∈ ℝ× が以下を満たす • R0行列 • ∃ ∈ ℝ, ∃ ∈ +1, −1 , ∄ ⊆ 1, … , , ∈ pos , ≠ ind − ⇒レムケ法は「解あり」に収束 ⚫ 証明： − R行列の証明の流れと同じ − の正の条件を取った場合， 指数の条件は＋ではなく， 最初の相補錐と等しいこと 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 38 ２．レムケ法の特徴と幾何学，２．レムケ法の特徴，１．解への収束性
39. 解への収束性／次数／解の個数の関係 ⚫ 系： − 以下は同値： • ∃ ∈ ℝ, ∃ ∈ +1, −1 , ∄ ⊆ 1, … , , ∈ pos , ≠ ind • ∃ ∈ ℝ, deg ≠ 0, deg = SOL , ⚫ 注意： − 以下をつなげる定理： • 解への収束性 • 解の個数 • 次数 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 39 ２．レムケ法の特徴と幾何学，２．レムケ法の特徴，１．解への収束性
40. 解への収束性とQ行列の関係 ⚫ 定理： − レムケ法は「解あり」か「解なし」に収束 ⚫ 系： − レムケ法は「解あり」に収束 − ⇔行列 ∈ ℝ× はQ行列 ⚫ 系： − 行列 ∈ ℝ× が以下を満たす • R0行列 • ∃ ∈ ℝ, deg ≠ 0, deg = SOL , − ⇒行列 ∈ ℝ× はQ行列 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 40 ２．レムケ法の特徴と幾何学，２．レムケ法の特徴，１．解への収束性
41. 本日の目次 1. レムケ法 1. 代数的解釈 2. 幾何的解釈 2. レムケ法の特徴と幾何学 1. 次数理論 2. レムケ法の特徴 1. 解への収束性 2. 挙動の単調性 3. 解への収束性の深堀り 1. 余剰行列 2. 次数の最大値 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 41 目次
42. 解への収束条件の疑問 ⚫ R0行列が解に収束しない条件： − ∀ ∈ ℝ, deg ≠ 0 or deg < SOL , ⚫ 疑問： − deg < SOL , となることはあるのか？ − deg ≤ SOL , は自明 − 多くの で deg < SOL , なのは自然 − 少なくとも一つは deg = SOL , では？ − 特に，次数が大きい行列では成り立ちそう ⚫ 本節のゴール： − 具体例が存在することを示す：余剰行列 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 42 ３．解への収束性の深堀り，１．余剰行列
43. 余剰行列の定義 ⚫ 定義：余剰行列 superfluous matrix − 行列 ∈ R0 ⊆ ℝ× は余剰行列 − ⇔ ∀ ∈ ℝ, deg < SOL , ⚫ 注意： − 「任意の で」ではない？ 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 43 ３．解への収束性の深堀り，１．余剰行列 絵を書きたい 低次元では存在しない？
44. 余剰行列の存在性 ⚫ 定理：余剰行列の存在性 − 次数 の行列が存在 − ⇒次数 の余剰行列が存在 ⚫ 証明：あまり美しくない➡整理が必要 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 44 ３．解への収束性の深堀り，１．余剰行列 補題：行列 は余剰行列 = −4 3 3 6 6 3 −4 3 6 6 3 3 −4 6 6 6 6 6 −4 6 6 6 6 6 −4 deg = −1 補題： = SOL , = SOL , × SOL , deg = deg × deg 補題： 次数 の行列 が存在 ⇒次数 − の行列 ഥ が存在 deg ഥ = deg × deg ഥ < , × , ഥ = SOL , ഥ
45. 本日の目次 1. レムケ法 1. 代数的解釈 2. 幾何的解釈 2. レムケ法の特徴と幾何学 1. 次数理論 2. レムケ法の特徴 1. 解への収束性 2. 挙動の単調性 3. 解への収束性の深堀り 1. 余剰行列 2. 次数の最大値 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 45 目次
46. 余剰行列の疑問 ⚫ 余剰行列の存在性： − 次数 の行列が存在⇒次数 の余剰行列が存在 ⚫ 疑問： − 任意の次数の余剰行列が存在するわけではない − deg ≤ SOL , = 2 は自明 − deg = 2 のときには余剰行列は存在しない − 次数には最大値があるはず ⚫ 本節のゴール： − 次数の最大値を見積もる − ただし，次数の最大値は未解決問題 − 次数の最大値の下限値と上限値を示す 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 46 ３．解への収束性の深堀り，２．次数の最大値
47. 次数の最大値の下限値 ⚫ 定理：次数が大きくなる例 − が奇数 = 2 ⊤ − = 2 − 2 ⋯ 2 2 2 − ⋯ 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 2 2 ⋯ 2 − deg = − 1 − 1 /2 − が偶数 = 2 ⊤ − + 1 = 1 − 2 ⋯ 2 2 1 − ⋯ 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 2 2 ⋯ 1 − deg = − 1 /2 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 47 ３．解への収束性の深堀り，２．次数の最大値 これが最大値であると予想されている
48. 次数の最大値の上限値 ⚫ 定理： − 行列 ∈ ℝ× ≥ 4 がR0行列 − ⇒ deg ≤ 3 × 2−4 = 3/16 × 2 ⚫ 証明： 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 48 ３．解への収束性の深堀り，２．次数の最大値 = ∀ ∈ ℝ: ≥ 0, ≥ 0, ⊤ = 1 ： ҧ -相補性解の数 ：すべての ҧ -相補性解の数 ≤ deg ≤ deg ≤ deg ≤ 2 − 1 − 1 deg ≤ 2−4 4 4 deg ≤ 3 × 2−4 deg ≤ SOL , = ≤ 2 − 1 4 ≤ 12 より大きい でバウンドできれば より厳密な上限値が分かる
49. まとめ 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 49 ３．解への収束性の深堀り，２．次数の最大値 下限値 上限値 解の最大値 1 1 --- 2 2 1 --- 4 4 3 3 16 8 35 48 256 16 6435 12288 65536 32 3.01E+08 8.05E+08 4.29E+09 64 9.16E+17 3.46E+18 1.84E+19 128 1.20E+37 6.38E+37 3.40E+38 256 2.88E+75 2.17E+76 1.16E+77
50. 6. Geometry and Degree Theory 1. Global Degree and Degenerate Cones 2. Facets 3. The Geometric Side of Lemke’s Method 4. LCP Existence Theorems 5. Local Analysis 6. Matrix Classes Revisited 7. Superfluous Matrices 8. Bounds on Degree 9. Q0-Matrices and Psudomanifolds 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 50 まとめ
51. 本日の目次 1. レムケ法 1. 代数的解釈 2. 幾何的解釈 2. レムケ法の特徴と幾何学 1. 次数理論 2. レムケ法の特徴 1. 解への収束性 2. 挙動の単調性 3. 解への収束性の深堀り 1. 余剰行列 2. 次数の最大値 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 51 まとめ
52. ６章の目的 ⚫ 目的 − 行列やアルゴリズムを幾何的に解釈 − ➡解やアルゴリズムの特徴を理解 • 代数的な考察だけでは分からないこともある 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 52 まとめ 代数的特徴 幾何的特徴 解・アルゴリズムの特徴 行列の特徴 （行列式） 相補錐の特徴 （指数・次数） 解の存在性・数の偶奇 アルゴリズムの収束性・単調性
53. 6. Geometry and Degree Theory 1. Global Degree and Degenerate Cones 2. Facets 3. The Geometric Side of Lemke’s Method 4. LCP Existence Theorems 5. Local Analysis 6. Matrix Classes Revisited 7. Superfluous Matrices 8. Bounds on Degree 9. Q0-Matrices and Psudomanifolds 2020/7/11 線形相補性問題ゼミ⑥ 53 まとめ