数学の世界~フラクタル~(社内勉強会1002)

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1. 勉 強 会 1 0 / 0 2 ~ 数 学 の 世 界 ( フ ラ ク タ ル ) ~
2. 『 数 学 』 っ て 聞 く と ど ん な イ メ ー ジ で す か ？ 難しそう つまらない 眠くなる ということで 今日は少しでも『数学』を 面白い 楽しい 興味でた となって もらえたらいいな
3. 数学の種類 • 代数学 • 幾何学 • 解析学 • 集合論 • 統計学 とか色々(他にも)ある
4. 幾何学って？ 簡単に言うと... 図形や空間の性質を扱う分野 つまり、目に見えやすく、なんとな〜く理解しやすそう！ そんな中でも今日は、 フラクタル
5. フ ラ ク タ ル っ て な ん ぞ ？
6. フラクタル(図形)とは... 図形の部分と全体が自己相似になっているもの などをいう。 ※出典 wikipedia イマイチワカラナイ。。。
7. フラクタル(図形)とは... (他の説明 縮尺を変えてもいつまでも同じ形が 規則的に続いていく図形 ※出典 宇宙一わかりやすい科学の教科書 ちょっとわかってきたような気もする(?)。 一部を切り取っても全体や別の一部と同じような形 が現れる図形 同じ様な形を繰り返して描かれる図形
8. ち ょ っ と 自 分 で 書 い て み よ う
9. 実は、フラクタル(図形)は プログラミングと相性がいい！ 理由は、 「同じ図形を繰り返して書かれる図形」 であるから
10. 問題１ 直線を３等分して真ん中の１本を消す操作 を繰り返すフラクタル図形を描画せよ <ヒント> - リカーシブを使うと簡単 - その場合、描画の処理は、一箇所で大丈夫 - 書いて消すというよりは、書くべき線を特定して書くという処理にしたほうが楽 - どんどん増えていく線ではなく、その1つに着目するとよい。
11. フラクタル図形は、 繰り返すことで少しずつ形が変わっていく 繰り返す回数やそれによってできる図形を 『世代(ジェネレーション)』とも呼び、 スタートは0世代と呼ばれる。 問1のフラクタル図形が、世代が進むごとに どの様に変化していくか確認してみよう！
12. あれ...？ 後半の世代、変わっていない気が... 今回は、画像上にきれいに描画するために 計算して出てきた座標を整数化しているので、 三等分が0以下になると変化がなくなる...
13. フラクタル図形 わかりましたか？ 図形と言っても１次元の図形 なのであんまりわからないかも... ということで、 ２次元図形のフラクタルを書いてみよう
14. 問題２ 直線を３等分して、その1本分の長さの辺を持つ正三角形 を真ん中に生やす操作を繰り返すフラクタル図形を描画せよ <ヒント> - 問1の進化版と捉えると良い。 ？
15. ちなみに、正三角形の頂点は、 点の回転として考えると以下の式で求められる。 A (! , ! ) B (" , " ) C (# , # ) # = $ − % cos 60 − $ − % sin 60 + % # = $ − % sin 60 + $ − % cos 60 + % ただし、 数学の平面とプログラミングでの画像の増加方向の違いに注意
16. ちょっとおもしろい形になっていませんか？ この図形には、名前が付いています。 その名も、 コッホ曲線
17. ん？ 直線なのに曲線？ コッホ曲線は、その長さが 世代が進んでいくことで、無限に伸びていき 複雑な線になるため、 曲線という名前になった (らしい 問2のコッホ曲線が、世代が進むごとに どの様に変化していくか確認してみよう！
18. コッホ曲線の長さが無限になることの 確認をしてみましょう。 コッホ曲線の長さは、1つ世代が進むことで、 & ' 倍されていきます。 つまり、n世代のときの長さは、 最初の長さをℒとすると & ' ( ℒ となる。 これの極限は、 lim (→* 4 3 ( ℒ = ∞
19. そんなコッホ曲線は、更に、 応用した形で面白い図形が描ける。
20. 問題３ コッホ曲線を3つ使い、スタートを正三角形にした 図形を描画せよ ？ ？
21. 何か思い浮かぶものがありませんか？ この図形にも、名前が付いています。 その名も、 コッホ雪片
22. コッホ雪片は、 コッホ曲線から成るのでコッホ曲線同様に、 その周囲の長さは、無限に発散します。 ですが、もう一つ面白い性質があります。 それは、面積です。
23. コッホ雪片の面積( の極限がどうなるか 確認をしてみましょう。 0世代は正三角形のため、1辺の長さをとすると + = ' & ,となる。 以降は世代が進むごとに、1辺の長さが - ' ( の 正三角形3 5 4(.-分ずつ面積が増えていきます。 これの極限は、 lim (→* ( = 2 3 5 , ( = - + 8 /0- (.- 3 3 16 , 4 9 ( つまり、
24. つまりコッホ雪片の面積は、 ある値に収束するのです。 具体的には、 最初の正三角形の面積が1であった場合、 1.6に収束します。 図形の長さは、無限に発散するのに、 それによって作られる面積は、収束する なんて面白いですよね。
25. 他 に ど ん な フ ラ ク タ ル が あ ん の ？
26. 有名なフラクタル ① 参考動画：https://www.youtube.com/watch?v=9G6uO7ZHtK8 等 マンデルブロ集合
27. 有名なフラクタル ② 参考動画：https://www.youtube.com/watch?v=QsMvoui5WlQ (画質粗い...) 等 シェルピンスキーの ギャスケット
28. 有名なフラクタル ③ 参考動画：https://tomari.org/main/java/kyokusen/sierpinski_carpet.html 等 シェルピンスキーの カーペット
29. 有名なフラクタル ④ 参考動画：https://tomari.org/main/java/kyokusen/sierpinski_carpet.html 等 メンガーの スポンジ
30. 現実のフラクタル① 雪の結晶
31. 現実のフラクタル② 植物の根
32. 現実のフラクタル③ 海岸
33. 現実のフラクタル④ ロマネスコ
34. 現実のフラクタル⑤ 雲
35. 他にも、雷や樹木や葉脈等、 たくさん挙げられます 世の中は、フラクタルが溢れている よかったら探してみてくださいね！ 色々まとめているサイトも有る！ https://gigazine.net/news/20121225-best-of-fractals/ https://www.buzzfeed.com/jp/terripous/fractal-nature-photos-1 以上！