2022/08/07に開催された第１１回全日本コンピュータビジョン勉強会「CVPR2022読み会」（前編）で発表した資料です。
https://kantocv.connpass.com/event/253622/
第11回全日本CV勉強会 CVPR2022読み会Learning to Solve Hard Minimal Problems2022/08/07 takmin
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自己紹介2株式会社ビジョン＆ITラボ 代表取締役皆川 卓也（みながわ たくや）博士（工学）「コンピュータビジョン勉強会＠関東」主催株式会社フューチャースタンダード 技術顧問略歴：1999-2003年日本HP（後にアジレント・テクノロジーへ分社）にて、ITエンジニアとしてシステム構築、プリセールス、プロジェクトマネジメント、サポート等の業務に従事2004-2009年コンピュータビジョンを用いたシステム/アプリ/サービス開発等に従事2007-2010年慶應義塾大学大学院 後期博士課程にて、コンピュータビジョンを専攻単位取得退学後、博士号取得（2014年）2009年-現在フリーランスとして、コンピュータビジョンのコンサル/研究/開発等に従事（2018年法人化）http://visitlab.jp
紹介する論文3 Learning to Solve Hard Minimal Problems Petr Hruby (ETH Zurich), Timothy Duff (University of Washington),Anton Leykin (Georgia Institude of Technology), Tomas Pajdla (CzechTechnical University in Prague) Best Paper 選んだ理由：
概要4 ５点アルゴリズムやScrantonアルゴリズムなどでカメラの姿勢推定を行うには、複数の偽の解をもつ連立方程式を解かなければならない。 RANSACの場合、１回のサンプリングごとに問題を解く 本手法では、以下の方法によって偽の解を避けて、高速に(１つの問題を70μs以下で)解くことが出来る1. 問題/解のペアを学習2. 入力となる問題から、近い問題と解のペアを識別問題として解く3. 上記の問題/解のペアを始点として、問題/解空間を入力問題まで追跡
カメラパラメータ算出の基礎5 ２台のカメラの相対位置が不明の時、各カメラの焦点と対応点を結ぶ直線が交わるという条件を利用するカメラ１ カメラ2
カメラパラメータ算出の基礎6 ２台のカメラの相対位置が不明の時、各カメラの焦点と対応点を結ぶ直線が交わるという条件を利用する→エピポーラ拘束カメラ１ カメラ2同一平面
5点アルゴリズム7 5個の対応点から、２台のカメラ間の相対位置とそれぞれの点の三次元座標を算出 カメラの内部パラメータは既知とする５つのエピポーラ拘束を満たすパラメータを算出カメラ１ カメラ2
Scrantonアルゴリズム8 4個の対応点から、３台のカメラ間の相対位置とそれぞれの点の三次元座標を算出 カメラの内部パラメータは既知とする
カメラポーズ推定（＝各点の奥行推定）9𝑣𝑘,𝑖=𝑥𝑘,𝑖𝑦𝑘,𝑖1xyz𝑋𝑘= 𝜆𝑘,𝑖𝑣𝑘,𝑖= 𝜆𝑘,𝑖𝑥𝑘,𝑖𝑦𝑘,𝑖1𝐶𝑖𝐶𝑖： 𝑖番目のカメラ𝑣𝑖,𝑘： 𝑘番目の点の𝑖番目のカメラ画像上の座標（既知）𝜆𝑘,𝑖：𝑘番目の点の𝑖番目のカメラから見た奥行（未知）𝑋𝑘： 𝑘番目の点の三次元座標
5点アルゴリズム10 ５点中任意の２点𝑘、𝑚を選択 𝜆𝑘,1𝑣𝑘,1− 𝜆𝑚,1𝑣𝑚,12= 𝜆𝑘,2𝑣𝑘,2− 𝜆𝑚,2𝑣𝑚,2252= 10個の連立方程式を解き奥行𝜆𝑘,𝑖を求める𝑘、𝑚間のカメラ１から見た距離 𝑘、𝑚間のカメラ２から見た距離１０個程度の幾何学的にも整合性の取れた似の解が現れる
Scrantonアルゴリズム11 4点中任意の２点𝑘、𝑚を選択し、距離を比較 𝜆1,1= 1の制約をパラメータ𝑙で緩和 𝜆𝑘,1𝑣𝑘,1− 𝜆𝑚,1𝑣𝑚,12= 𝜆𝑘,2𝑣𝑘,2− 𝜆𝑚,2𝑣𝑚,22 𝑣1,1+ 𝑙[0; 1; 0] − 𝜆𝑚,1𝑣𝑚,12= 𝜆1,2𝑣1,2− 𝜆𝑚,2𝑣𝑚,22272個程度の幾何学的にも整合性の取れた似の解が現れる
RANSAC12対応点をランダムにサンプリングサンプリングされた点からカメラポーズ推定推定されたポーズを元に対応点を他のカメラへ投影誤差が閾値以内の点(inlier)の数をカウント最もinlierが多かったポーズを採用5点アルゴリズムなら5組Scrantonなら4組本手法の適用範囲→偽の解を避ける
RANSACループ内の処理13従来手法 本手法
Solve&Pickアプローチ(従来法)14従来手法 本手法画像中の対応点をサンプリングカメラポーズ推定ベストなポーズを選択最も良い解を更新
Pick&Solveアプローチ(本手法)15従来手法 本手法画像中の対応点をサンプリング近い問題aを識別aを始点にカメラポーズsを追跡最も良い解を更新
問題-解 多様体𝑀16問題𝑝と解sのペアが作る多様体𝑀問題𝑝が所属するベクトル空間𝑃𝑀を𝑃へ投影𝜋: 𝑀 → 𝑃
問題-解 多様体𝑀17問題𝑝と解sのペアが作る多様体𝑀問題𝑝が所属するベクトル空間𝑃𝑀を𝑃へ投影𝜋: 𝑀 → 𝑃例： 𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0𝑝 = (𝑎, 𝑏)𝑠 = 𝑥問題𝑝によって1-3個の解sを持つ
5点アルゴリズムの問題𝑝と解𝑠の定義18𝑣𝑘,𝑖=𝑥𝑘,𝑖𝑦𝑘,𝑖1xyz𝑋𝑘= 𝜆𝑘,𝑖𝑣𝑘,𝑖= 𝜆𝑘,𝑖𝑥𝑘,𝑖𝑦𝑘,𝑖1𝐶𝑖𝐶𝑖： 𝑖番目のカメラ𝑣𝑖,𝑘： 𝑘番目の点の𝑖番目のカメラ画像上の座標（既知）𝜆𝑘,𝑖：𝑘番目の点の𝑖番目のカメラから見た奥行（未知）𝑋𝑘： 𝑘番目の点の三次元座標𝑝 = (𝑥1,1, 𝑥2,1, 𝑥3,1, 𝑥4,1, 𝑥5,1,𝑦1,1, 𝑦2,1, 𝑦3,1, 𝑦4,1, 𝑦5,1,𝑥1,2, 𝑥2,2, 𝑥3,2, 𝑥4,2, 𝑥5,2,𝑦1,2, 𝑦2,2, 𝑦3,2, 𝑦4,2, 𝑦5,2)𝑠 = (𝜆1,1, 𝜆2,1, 𝜆3,1, 𝜆4,1, 𝜆5,1,𝜆1,2, 𝜆2,2, 𝜆3,2, 𝜆4,2, 𝜆5,2)5点の座標x2カメラ→20パラメータ5点の奥行x2カメラ –1 →9パラメータただし𝝀𝟏,𝟏= 𝟏
Scrantonアルゴリズムの問題𝑝と解𝑠の定義19𝑣𝑘,𝑖=𝑥𝑘,𝑖𝑦𝑘,𝑖1xyz𝑋𝑘= 𝜆𝑘,𝑖𝑣𝑘,𝑖= 𝜆𝑘,𝑖𝑥𝑘,𝑖𝑦𝑘,𝑖1𝐶𝑖𝐶𝑖： 𝑖番目のカメラ𝑣𝑖,𝑘： 𝑘番目の点の𝑖番目のカメラ画像上の座標（既知）𝜆𝑘,𝑖：𝑘番目の点の𝑖番目のカメラから見た奥行（未知）𝑋𝑘： 𝑘番目の点の三次元座標𝑝 = (𝑥1,1, 𝑥2,1, 𝑥3,1, 𝑥4,1,𝑦1,1, 𝑦2,1, 𝑦3,1, 𝑦4,1,𝑥1,2, 𝑥2,2, 𝑥3,2, 𝑥4,2,𝑦1,2, 𝑦2,2, 𝑦3,2, 𝑦4,2,𝑥1,3, 𝑥2,3, 𝑥3,3, 𝑥4,3,𝑦1,3, 𝑦2,3, 𝑦3,3, 𝑦4,3)𝑠 = (𝜆1,1, 𝜆2,1, 𝜆3,1, 𝜆4,1,𝜆1,2, 𝜆2,2, 𝜆3,2, 𝜆4,2,𝜆1,3, 𝜆2,3, 𝜆3,3, 𝜆4,3)4点の座標x3カメラ→24パラメータ4点の奥行x3カメラ –1 →11パラメータただし 𝝀𝟏,𝟏= 𝟏
ホモトピー継続 (Homotopy Continuation)201. 問題𝑝から、始点となる問題/解のペア(𝑝0, 𝑠0) ∈ 𝑀を選択2. 問題空間𝑃上で𝑝0から𝑝へのパスを算出3. 多様体𝑀上で上記パスを追跡することで解𝑠を算出問題のパス解のパス𝑠0𝑝0
Solve&Pick VS Pick&Solve21問題𝑝を解いて解集合𝑆を計算 解集合𝑆から最適な𝑠を選択Solve&Pick (従来法)
Solve&Pick VS Pick&Solve22問題𝑝を解いて解集合𝑆を計算 解集合𝑆から最適な𝑠を選択問題𝑝からアンカーとなる問題/解のペア(𝑝0, 𝑠0)を選択(𝑝0, 𝑠0)から𝑝の解𝑠をホモトピー継続を用いて解くSolve&Pick (従来法)Pick＆Solve (本手法)
Solve&Pick VS Pick&Solve23問題𝑝を解いて解集合𝑆を計算 解集合𝑆から最適な𝑠を選択問題𝑝からアンカーとなる問題/解のペア(𝑝0, 𝑠0)を選択(𝑝0, 𝑠0)から𝑝の解𝑠をホモトピー継続を用いて解くSolve&Pick (従来法)Pick＆Solve (本手法)識別器𝜎を学習
Solverの構築24問題𝑝からアンカーとなる問題/解のペア(𝑝0, 𝑠0)を算出する識別器𝜎を学習1. 3Dモデルからデータセット𝐷をサンプリング2. データセット𝐷からアンカー𝐴を抽出3. 問題𝑝を与えたとき、始点𝑝(𝑝0, 𝑠0) ∈ 𝐴を出力する識別器𝜎を学習
Solverの構築25問題𝑝からアンカーとなる問題/解のペア(𝑝0, 𝑠0)を算出する識別器𝜎を学習1. 3Dモデルからデータセット𝐷をサンプリング2. データセット𝐷からアンカー𝐴を抽出3. 問題𝑝を与えたとき、始点𝑝(𝑝0, 𝑠0) ∈ 𝐴を出力する識別器𝜎を学習
学習データの作成26カメラと3D Model上の点のサンプリング• 5pt Algorithm:• Camera x2, Point x5• Scranton:• Camera x3, Point x4ETH 3D Datasetサンプリングした点を各カメラへ投影し、問題と解のペア(𝑝, 𝑠)を生成サンプリングした 𝑝𝑖,𝑠𝑖から他のペア(𝑝𝑗, 𝑠𝑗)へ追跡可能か調査追跡可能な場合、𝑝𝑖, 𝑠𝑖と(𝑝𝑗, 𝑠𝑗)間にエッジを生成(𝑝, 𝑠)を頂点、追跡可能性をエッジとしたグラフ生成グラフ全体をカバーする頂点をアンカー𝐴とする
アンカーの選択27 ETH 3D DatasetのOfficeおよびTerrainsから1K, 4K, 10K,40Kの問題/解をサンプリングして学習データセット𝐷を作成 何個のアンカーでデータセット𝐷のどれだけの割合をカバーできるか
アンカーの選択28 アンカー作成をETH 3DデータセットのSourceドメインで行い、他のドメインをどれだけカバーできるかの調査 Office + Terrainsが最もカバー率が高い
アンカーの選択29 アンカー作成をETHデータセットのSourceドメインで行い、他のドメインをどれだけカバーできるかの調査 Office + Terrainsが最もカバー率が高いOfficeTerrains
Solverの構築30問題𝑝からアンカーとなる問題/解のペア(𝑝0, 𝑠0)を算出する識別器𝜎を学習1. 3Dモデルからデータセット𝐷をサンプリング2. データセット𝐷からアンカー𝐴を抽出3. 問題𝑝を与えたとき、始点𝑝(𝑝0, 𝑠0) ∈ 𝐴を出力する識別器𝜎を学習
始点識別器σ(𝑝)の学習31カメラと3D Model上の点のサンプリング• 5pt Algorithm:• Camera x2, Point x5• Scranton:• Camera x3, Point x4ETH 3D Datasetサンプリングした点を各カメラへ投影し、問題と解のペア(𝑝, 𝑠)を生成アンカー𝐴の各問題/解𝑝0, 𝑠0から、サンプリングした 𝑝𝑖, 𝑠𝑖へ追跡可能か調査𝑝𝑖へ追跡可能なすべてのアンカーを𝑝𝑖のラベルとする。追跡可能なアンカーが無い場合TRASHラベルをつける入力が𝑝𝑖、出力が 𝐴 +1クラスのMLPを学習
始点識別器σ(𝑝)の学習32 識別器の評価 評価データ： delivery_area facade 学習データ 上記以外の23シーケンス 始点 𝑝0, 𝑠0の選択 B1:すべてのアンカー(𝑚 = 𝐴 ) B2: ユークリッド距離が最も近いアンカー (𝑚 = 1 ) B3: マハラノビス距離が最も近いアンカー (𝑚 = 1 ) MLP: MLPの出力上位m個 MLPT: MLPの出力上位１個Recallアンカーの学習データカバー率
Solverの実行33問題𝑝を解く1. 問題𝑝に対し正規化や対応点順序入れ替え等の前処理2. 識別器𝜎を用い、アンカー𝐴から始点𝜎 𝑝 = (𝑝0, 𝑠0)を選択3. (𝑝0, 𝑠0)を始点としてホモトピー継続で問題𝑝の解𝑠を算出
ホモトピー継続34 問題のパスが 𝑝 𝑡 = 1 − 𝑡 𝑝0+ 𝑡𝑝 で与えられたときの解𝑠 𝑡 を𝑠0からステップΔ𝑡毎に求めていく（追跡）問題のパス解のパス𝑠0𝑝0ルンゲ=クッタ法で予測(predictor)ニュートン法で修正(corrector)𝑠𝑝
実験35 CVPR2020 RANSAC Tutorial Dataset 4950 Camera Pairs 画像間の対応点は与えられている（ノイズおよび誤対応含む） Rotationの誤差が10度以内の割合
まとめ36 機械学習とホモトピー継続を用いて偽の解を避けて幾何学的な最適化問題を高速に解く手法を提案 問題と解のペアの多様体𝑀を生成 問題𝑝を与えたとき、始点となる𝑀上の点(𝑝0, 𝑠0)を出力する識別器𝜎を学習 ホモトピー継続によって(𝑝0, 𝑠0)から問題𝑝に対する解𝑠を算出
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