MATN - Tema 1

Parametrització de les ternes pitagòriques.

Transcript

1. Tema 1: C` alcul de les ternes pitag` oriques Taras Yarema Universitat de Barcelona Tardor 2018
2. 1. Conceptes preliminars 2. Parametritzaci´ o de les ternes pitag` oriques 3. Interpretaci´ o geom` etrica
3. 1. Conceptes preliminars 2. Parametritzaci´ o de les ternes pitag` oriques 3. Interpretaci´ o geom` etrica
4. Conceptes preliminars Definici´ o Siguin x, y, z nombres enters, llavors la terna (x, y, z) tal que compleix x2 + y2 = z2 s’anomena terna pitag` orica.
5. Conceptes preliminars Definici´ o Sigui (x, y, z) una terna pitag` orica, llavors diem que ´ es trivial si, i nom´ es si, xyz = 0. positiva si, i nom´ es si, x, y, z > 0. primitiva si, i nom´ es si, mcd(x, y, z) = 1.
6. Conceptes preliminars Proposici´ o Sigui (x, y, z) una terna pitag` orica. Es compleix Sigui d = mcd(x, y, z) llavors (x/d, y/d, z/d) tamb´ e ´ es una terna pitag` orica. Sigui t ∈ Z llavors (tx, ty, tz) tamb´ e ´ es una terna pitag` orica.
7. Conceptes preliminars Proposici´ o Les ternes pitag` oriques trivials s´ on de les formes (x, 0, ±x), (0, y, ±y) amb x, y ∈ Z arbitraris. Demostraci´ o. Si x = 0 llavors y2 = z2 on z = ±y amb y arbitrari. Si y = 0 llavors x2 = z2 on z = ±x amb x arbitrari. Si z = 0 llavors x2 + y2 = 0 on x = y = 0.
8. Conceptes preliminars Proposici´ o Si (x, y, z) ´ es una terna pitag` orica si, i nom´ es si, (y, x, z) ho ´ es. Observaci´ o En particular, la proposici´ o anterior implica que les propietats de ser primitiva i positiva es conserven canviant x i y.
9. Conceptes preliminars Proposici´ o (Lema) Si (x, y, z) ´ es una terna pitag` orica , llavors x o y parell. A m´ es, si la terna ´ es primitiva, z ´ es senar i en conseq¨ u` encia x o y ´ es senar. Observaci´ o Nom´ es fa falta demostrar el resultat per a ternes primitives, at` es que les altres s’obtenen multiplicant per una constant.
10. Conceptes preliminars Demostraci´ o. Suposem (x, y, z) una terna pitag` orica primitiva. En particular, algun dels tres termes ´ es senar, ja que sin´ o mcd(x, y, z) = 2 contradiu que (x, y, z) sigui primitiva. Si x i y s´ on senars llavors z2 = x2 + y2 ≡ 2 (mod 4), absurd, ja que si a ∈ Z llavors a2 (mod 4) nom´ es pot ser 0 o b´ e 1, depenent de la paritat de a. Hem vist, doncs, que si (x, y, z) ´ es primitiva llavors o b´ e x, o b´ e y, ´ es senar i l’altre ´ es parell. Finalment z ´ es senar.
11. 1. Conceptes preliminars 2. Parametritzaci´ o de les ternes pitag` oriques 3. Interpretaci´ o geom` etrica
12. Parametritzaci´ o de les ternes pitag` oriques Teorema (Parametritzaci´ o de les ternes pitag` oriques) Les ternes pitag` oriques primitives, positives i amb y parell s´ on exactament les ternes de la forma (u2 − v2, 2uv, u2 + v2), tals que u, v ∈ Z, u > v > 0, mcd(u, v) = 1, i u ≡ v (mod 2).
13. Parametritzaci´ o de les ternes pitag` oriques Demostraci´ o. Sigui (x, y, z) una terna pitag` orica primitiva, positiva i amb y parell. En particular, ´ es no trivial i x, z s´ on senars (lema). z + x i z − x s´ on parells i podem escriure les seg¨ uents igualtats enteres y2 = z2 − x2 = (z + x)(z − x), y 2 2 = z + x 2 z − x 2 .
14. Parametritzaci´ o de les ternes pitag` oriques Demostraci´ o (continuaci´ o). Com que mcd z + x 2 , z − x 2 = mcd(z, x) = 1, exiteixen u, v enters positius tals que u2 = z + x 2 , v2 = z − x 2
15. Parametritzaci´ o de les ternes pitag` oriques Demostraci´ o (continuaci´ o). Tenim doncs x = u2 − v2, z = u2 + v2 amb mcd(u2, v2) = 1, per tant, mcd(u, v) = 1. Del fet que u2 > v2 es t´ e u > v.
16. Parametritzaci´ o de les ternes pitag` oriques Demostraci´ o (continuaci´ o). D’altra banda y2 = (z + x)(z − x) = (2uv)2, ´ es a dir, y = 2uv. A m´ es, del fet que z = u2 + v2 sigui senar es dedueix que un dels nombres u, v ´ es senar i l’altre parell.
17. Parametritzaci´ o de les ternes pitag` oriques Demostraci´ o (continuaci´ o). Finalment, cal veure que la terna constru¨ ıda (x, y, z) = (u2 − v2, 2uv, u2 + v2) ´ es positiva, primitiva i amb y parell. y = 2uv ≡ 0 (mod 2). A partir de u > v > 0 ´ es directe veure x, y, z > 0. Cal veure que mcd(u2 − v2, 2uv) = 1. Com que u2 − v2 ´ es senar, es satisf` a la igualtat mcd(u2 − v2, 2uv) = mcd(u2 − v2, uv). Donat que mcd(u, v) = 1 cap divisor de u no divideix u2 − v2 ja que no divideix v2. An` alogament per v.
18. 1. Conceptes preliminars 2. Parametritzaci´ o de les ternes pitag` oriques 3. Interpretaci´ o geom` etrica
19. Interpretaci´ o geom` etrica Si (x, y, z) una terna pitag` orica amb z = 0. Si dividim x i y per z obtenim (x/z, y/z, 1) ⇒ (x/z)2 + (y/z)2 = 1. Prenem X = x/d i Y = y/d, llavors el punt racional (X, Y ) ´ es de la circumfer` encia unitat definida per X2 + Y 2 = 1. Observaci´ o El conjunt d’aquests punts els anomenarem C(Q).
20. Interpretaci´ o geom` etrica Proposici´ o Existeix una bijecci´ o entre C(Q) i el conjunt de les ternes pitag` oriques primitives (X, Y, Z) tals que Z > 0. Demostraci´ o. Hem vist abans que a partir de una terna pitag` orica (X, Y, Z) amb Z = 0 podem obtenir la soluci´ o (X/Z, Y/Z) de x2 + y2 = 1. Rec´ ıprocament, sigui (x, y) ∈ C(Q). Prenem x = X/Z i y = Y/Z amb X, Y, Z ∈ Z i Z = mcd(x, y) > 0. Obtenim que (X, Y, Z) ´ es una terna pitag` orica primtiva.