非一重項クォーク演算子の異常次元に対する5ループQCD補正 / On the 5-loop QCD corrections to anomalous dimensions of low-N non-singlet quark operators

摂動論的QCDにおいて，ツイスト2スピンN複合演算子の振る舞いは，深非弾性散乱の演算子積展開による解析などの応用があり，重要な研究対象である．本研究では，N=2およびN=3のフレーバー非一重項のクォーク演算子の異常次元に対するα_s^5のオーダー(N^4LO)の輻射補正項について調べた．計算は5ループのダイアグラムの発散項をR^*-operationにより4ループ以下のダイアグラムの和として書き直し，それをForcerライブラリを用いて解析的に評価することで行った．

Transcript

1. 非一重項クォーク演算子の 異常次元に対する ループQCD補正 植田高寛 (成蹊大理工) with F. HerzogA, S. MochB, B. RuijlC, J.A.M. VermaserenA and A. VogtD NikhefA, U. HamburgB, ETH ZurichC, U. of LiverpoolD Based on PLB ( ) 6, arXiv: 8 . 8 8 [hep-ph] 日本物理学会 年秋季大会 年 月 日@山形大
2. Introduction (繰り込まれた)演算子Orem の異常次元γO : dOrem dlnµ2 = −γO Orem スケール発展を記述 (スケーリング次元の正準次元からのずれ) /
3. Introduction (繰り込まれた)演算子Orem の異常次元γO : dOrem dlnµ2 = −γO Orem スケール発展を記述 (スケーリング次元の正準次元からのずれ) 技術的には繰り込み定数Zから計算 Obare = Z O Orem /
4. Non-singlet quark operators Twist- フレーバー非一重項クォーク演算子: Ons,α µ1,...,µN = ¯ ψλαγ{µ1 D µ2 ...D µN}ψ D µ : covariant derivative λα: generator of the (light-quark) flavour SU(nf ) ... 深非弾性散乱の演算子積展開で重要 /
5. Non-singlet quark operators Twist- フレーバー非一重項クォーク演算子: Ons,α µ1,...,µN = ¯ ψλαγ{µ1 D µ2 ...D µN}ψ 異常次元(あるいは繰り込み定数)は次の量と関連 /
6. Non-singlet quark operators Twist- フレーバー非一重項クォーク演算子: Ons,α µ1,...,µN = ¯ ψλαγ{µ1 D µ2 ...D µN}ψ 異常次元(あるいは繰り込み定数)は次の量と関連 • Mellin-N moments of the splitting function cf. my talk on Sep 8 @ JPS meeting /
7. Non-singlet quark operators Twist- フレーバー非一重項クォーク演算子: Ons,α µ1,...,µN = ¯ ψλαγ{µ1 D µ2 ...D µN}ψ 異常次元(あるいは繰り込み定数)は次の量と関連 • Mellin-N moments of the splitting function cf. my talk on Sep 8 @ JPS meeting • The leading large-N coefficient Aq γq (N) = Aq lnN +... is the light-like cusp anomalous dimension e.g., resummation of large logs from soft radiation /
8. Method Operator matrix element (OME) P P P2 = 0 この繰り込みを考えることで, 演算子の 繰り込み定数(つまり異常次元)が決定される See, for example, Peskin & Schroeder Chap. 8 /
9. Method Operator matrix element (OME) P P P2 = 0 この繰り込みを考えることで, 演算子の 繰り込み定数(つまり異常次元)が決定される See, for example, Peskin & Schroeder Chap. 8 @ loops: Non-singlet: computed up to N = 16 ⇒ approx. splitting funcs. Moch, Ruijl, TU, Vermaseren, Vogt ’ Singlet: partial results Moch, Ruijl, TU, Vermaseren, Vogt ’ 8 /
10. Method Operator matrix element (OME) P P P2 = 0 この繰り込みを考えることで, 演算子の 繰り込み定数(つまり異常次元)が決定される See, for example, Peskin & Schroeder Chap. 8 @ loops: 繰り込み定数を ループ(!)で計算する必要 これは可能だろうか...? /
11. InfraRed Rearrangement (IRR) を使えば できます /
12. Infrared rearrangement Superficial (or overall) UV divergence: すべてのループ 運動量が∞になる領域に起因 /
13. Infrared rearrangement Superficial (or overall) UV divergence: すべてのループ 運動量が∞になる領域に起因 すべての質量スケール(粒子の質量、外部運動量)が 無視できる Vladimirov ’8 /
14. Infrared rearrangement Superficial (or overall) UV divergence: すべてのループ 運動量が∞になる領域に起因 すべての質量スケール(粒子の質量、外部運動量)が 無視できる Vladimirov ’8 sup.UV div. = sup.UV div. = sup.UV div. = sup.UV div. /
15. Infrared rearrangement Superficial (or overall) UV divergence: すべてのループ 運動量が∞になる領域に起因 すべての質量スケール(粒子の質量、外部運動量)が 無視できる Vladimirov ’8 sup.UV div. = sup.UV div. = sup.UV div. = sup.UV div. MSスキームのような繰り込みスキームを用いると Log発散するダイアグラムは(superficial UV divergenceに ついては) 質量に依らない. ダイアグラムを変形してよい /
16. Computing pole parts div. = sup.UV div. + UV/IR subdivergences L-loops L-loops lower loops 6/
17. Computing pole parts div. = sup.UV div. + UV/IR subdivergences L-loops L-loops lower loops = sup.UV div. 6/
18. Computing pole parts div. = sup.UV div. + UV/IR subdivergences L-loops effectively (L −1)-loops lower loops = sup.UV div. = sup.UV div. integrate -loop 6/
19. Computing pole parts div. = sup.UV div. + UV/IR subdivergences L-loops effectively (L −1)-loops lower loops = sup.UV div. = sup.UV div. integrate -loop R∗ (local) R∗-operation: BPHZ R-operationの一般化 UVとIR両方をdiagrammaticalに同定/差っ引くことができる Chetyrkin, Tkachov ’8 ; Chetyrkin, Smirnov ’8 , ’8 ; Extension for arbitrary numerator structure: Herzog, Ruijl ’ 6/
20. Computing pole parts div. = sup.UV div. + UV/IR subdivergences L-loops effectively (L −1)-loops lower loops = sup.UV div. = sup.UV div. integrate -loop R∗ (local) R∗-operation: BPHZ R-operationの一般化 UVとIR両方をdiagrammaticalに同定/差っ引くことができる Chetyrkin, Tkachov ’8 ; Chetyrkin, Smirnov ’8 , ’8 ; Extension for arbitrary numerator structure: Herzog, Ruijl ’ ループダイアグラムのpole partの計算が ループのmassless propagator-typeダイアグラム(の有限項)に 6/
21. May the F be with you F : ループまでのmassless propagator-type scalar Feynman積分を解析的に行うF プログラム https://github.com/benruijl/forcer Ruijl, TU, Vermaseren ’ /
22. May the F be with you F : ループまでのmassless propagator-type scalar Feynman積分を解析的に行うF プログラム https://github.com/benruijl/forcer Ruijl, TU, Vermaseren ’ Example: Q Q p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11 Q2 = 0 dD p1 dD p2 dD p3 dD p4 (2Q · p2 )−n12 (2p1 · p4 )−n13 (2Q · p3 )−n14 (p2 1 )n1 ...(p2 11 )n11 (n1,...,n11: integers, n12,...,n14: non-positive integers) /
23. May the F be with you F : ループまでのmassless propagator-type scalar Feynman積分を解析的に行うF プログラム https://github.com/benruijl/forcer Ruijl, TU, Vermaseren ’ Example: Q Q p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11 Q2 = 0 dD p1 dD p2 dD p3 dD p4 (2Q · p2 )−n12 (2p1 · p4 )−n13 (2Q · p3 )−n14 (p2 1 )n1 ...(p2 11 )n11 (n1,...,n11: integers, n12,...,n14: non-positive integers) マスター積分(MI)へのreductionを行い、 でLaurent展開 (D = 4−2 ) MIs all known: Baikov, Chetyrkin ’ ; Lee, Smirnov, Smirnov ’ /
24. May the F be with you F : ループまでのmassless propagator-type scalar Feynman積分を解析的に行うF プログラム https://github.com/benruijl/forcer Ruijl, TU, Vermaseren ’ Applications include: • -loop QCD propagators and vertices Ruijl, TU, Vermaseren, Vogt ’ • -loop QCD splitting functions Davies, Vogt, Ruijl, TU, Vermaseren ’ 6; Moch, Ruijl, TU, Vermaseren, Vogt ’ , ’ 8 F + IRR: • -loop QCD β function Herzog, Ruijl, TU, Vermaseren, Vogt ’ ; Chetyrkin, Falcioni, Herzog, Vermaseren ’ • -loop Higgs decay to gluons Herzog, Ruijl, TU, Vermaseren, Vogt ’ • - and -loop anomalous dimensions of Weinberg operator de Vries, Falcioni, Herzog, Ruijl ’ /
25. Calculation 8/
26. Calculation • -loop OME diagram generation: Q Nogueira ’ 8/
27. Calculation • -loop OME diagram generation: Q Nogueira ’ • Symbolic manipulation: F /TF Vermaseren ’ ; Tentyukov, Vermaseren ’ ; Kuipers, TU, Vermaseren, Vollinga ’ ; Ruijl, TU, Vermaseren ’ 8/
28. Calculation • -loop OME diagram generation: Q Nogueira ’ • Symbolic manipulation: F /TF Vermaseren ’ ; Tentyukov, Vermaseren ’ ; Kuipers, TU, Vermaseren, Vollinga ’ ; Ruijl, TU, Vermaseren ’ • IRR ( loop to loop): implementation of local R∗ in F 8/
29. Calculation • -loop OME diagram generation: Q Nogueira ’ • Symbolic manipulation: F /TF Vermaseren ’ ; Tentyukov, Vermaseren ’ ; Kuipers, TU, Vermaseren, Vollinga ’ ; Ruijl, TU, Vermaseren ’ • IRR ( loop to loop): implementation of local R∗ in F • Perform -loop integrals by F Ruijl, TU, Vermaseren ’ 8/
30. Result: γ(4)+ ns (N = 2) γ(4)+ ns (N = 2) = CF d(4) F A NF + 23968 81 + 77056 9 ζ7 + 176320 81 ζ5 − 733504 81 ζ3 + 6400 3 ζ2 3 +CF d(4) AA NA − 15344 81 + 19040 9 ζ7 − 58400 27 ζ5 + 704 3 ζ4 + 12064 27 ζ3 + 6016 3 ζ2 3 +C5 F + 9306376 19683 +8512ζ7 − 557440 81 ζ5 − 802784 729 ζ3 + 12544 9 ζ2 3 +CA d(4) F A NF − 82768 81 −12768ζ7 − 140800 27 ζ6 + 1292960 81 ζ5 − 10912 9 ζ4 + 555520 81 ζ3 − 84352 27 ζ2 3 +CA C4 F − 81862744 19683 −19936ζ7 + 35200 9 ζ6 + 142240 27 ζ5 − 59840 81 ζ4 + 1600592 243 ζ3 −3072ζ2 3 +C2 A C3 F + 63340406 6561 +15680ζ7 − 35200 9 ζ6 + 61696 27 ζ5 − 229472 81 ζ4 − 1003192 243 ζ3 + 30976 9 ζ2 3 +C3 A C2 F − 220224724 19683 − 331856 27 ζ7 − 123200 27 ζ6 + 3640624 243 ζ5 + 170968 27 ζ4 − 4115536 729 ζ3 − 70400 27 ζ2 3 +C4 A CF + 266532611 39366 + 178976 27 ζ7 + 334400 81 ζ6 − 3102208 243 ζ5 − 221920 81 ζ4 + 2588144 729 ζ3 + 74912 81 ζ2 3 + nf d(4) F A NF + 22096 27 −2464ζ7 + 25600 27 ζ6 − 217280 81 ζ5 − 512 9 ζ4 + 43712 81 ζ3 − 25088 27 ζ2 3 + nf CF d(4) FF NF − 170752 81 + 35840 9 ζ7 − 650240 81 ζ5 + 328832 81 ζ3 + 8192 9 ζ2 3 + nf C4 F + 1824964 19683 + 8960 3 ζ7 − 6400 9 ζ6 − 16480 81 ζ5 + 21248 81 ζ4 − 463520 243 ζ3 + 6656 9 ζ2 3 + nf CA d(4) FF NF + 207824 81 − 29120 9 ζ7 + 70400 27 ζ6 − 522880 81 ζ5 − 5632 9 ζ4 + 251392 81 ζ3 + 15872 27 ζ2 3 + nf CA C3 F − 3375082 6561 − 4480 3 ζ7 + 8000 3 ζ6 − 458032 81 ζ5 + 48256 81 ζ4 + 420068 243 ζ3 − 3968 3 ζ2 3 + nf C2 A C2 F + 15291499 13122 + 11200 27 ζ7 + 13600 27 ζ6 − 252544 243 ζ5 − 114536 27 ζ4 + 1561600 243 ζ3 + 24896 27 ζ2 3 + nf C3 A CF − 48846580 19683 − 39088 27 ζ7 − 184000 81 ζ6 + 1389080 243 ζ5 + 274768 81 ζ4 − 4314308 729 ζ3 − 27808 81 ζ2 3 + n2 f d(4) FF NF − 43744 81 − 12800 27 ζ6 + 52480 81 ζ5 + 1792 9 ζ4 + 35648 81 ζ3 − 2048 27 ζ2 3 + n2 f C3 F + 1082297 6561 − 3200 9 ζ6 + 55552 81 ζ5 + 1072 81 ζ4 − 145792 243 ζ3 + 1792 9 ζ2 3 + n2 f CA C2 F + 332254 2187 + 1600 27 ζ6 − 28544 81 ζ5 + 20752 27 ζ4 − 85016 243 ζ3 − 13952 27 ζ2 3 + n2 f C2 A CF + 631400 6561 + 22400 81 ζ6 − 53344 243 ζ5 −784ζ4 + 214268 243 ζ3 + 25472 81 ζ2 3 + n3 f C2 F + 265510 19683 + 512 27 ζ5 − 128 3 ζ4 + 11872 729 ζ3 + n3 f CA CF + 168677 19683 − 4096 81 ζ5 + 2752 81 ζ4 + 11872 729 ζ3 + n4 f CF − 5504 19683 + 128 81 ζ4 − 1024 729 ζ3 /
31. Result: γ(4)− ns (N = 3) γ(4)− ns (N = 3) = CF d(4) F A NF − 231575 36 + 200410 9 ζ7 + 2927225 162 ζ5 − 6351445 324 ζ3 − 23210 3 ζ2 3 +CF d(4) AA NA − 81725 162 + 48125 36 ζ7 − 52025 18 ζ5 + 1100 3 ζ4 + 33505 18 ζ3 + 7000 3 ζ2 3 +C5 F + 81472935625 80621568 + 34685 2 ζ7 − 3395975 162 ζ5 + 99382175 23328 ζ3 − 9650 9 ζ2 3 +CA d(4) F A NF + 165871 54 − 7525 4 ζ7 + 200750 27 ζ6 − 4456145 162 ζ5 − 41800 9 ζ4 + 1816625 162 ζ3 + 196880 27 ζ2 3 +CA C4 F − 286028134219 80621568 − 155155 4 ζ7 + 55000 9 ζ6 + 2468075 108 ζ5 − 134090 81 ζ4 + 23916529 7776 ζ3 +4490ζ2 3 +C2 A C3 F + 20173099267 3359232 + 139895 4 ζ7 − 79750 9 ζ6 + 1972075 216 ζ5 + 732787 1296 ζ4 − 15401281 864 ζ3 − 63830 9 ζ2 3 +C3 A C2 F − 166662991819 20155392 − 2127335 108 ζ7 + 72875 54 ζ6 − 30994565 3888 ζ5 + 103763 54 ζ4 + 36397493 2916 ζ3 + 133990 27 ζ2 3 +C4 A CF + 75932079965 10077696 + 199640 27 ζ7 + 163625 81 ζ6 − 9417425 1944 ζ5 − 1791229 1296 ζ4 − 27693563 23328 ζ3 − 96700 81 ζ2 3 + nf d(4) F A NF + 297889 162 −910ζ7 − 36500 27 ζ6 − 122780 81 ζ5 + 3700 9 ζ4 + 154970 81 ζ3 − 62600 27 ζ2 3 + nf CF d(4) FF NF − 24385 27 + 135380 9 ζ7 − 1622600 81 ζ5 + 334010 81 ζ3 + 8480 9 ζ2 3 + nf C4 F + 1776521549 40310784 + 14000 3 ζ7 − 10000 9 ζ6 − 30325 81 ζ5 + 33290 81 ζ4 − 1332919 486 ζ3 + 5000 9 ζ2 3 + nf CA d(4) FF NF + 241835 162 − 71960 9 ζ7 + 110000 27 ζ6 − 316900 81 ζ5 − 10780 9 ζ4 + 333487 81 ζ3 + 30560 27 ζ2 3 + nf CA C3 F − 3737356319 3359232 − 7000 3 ζ7 + 14000 3 ζ6 − 1693715 162 ζ5 − 262069 648 ζ4 + 2327111 432 ζ3 − 1280 3 ζ2 3 + nf C2 A C2 F + 5637513931 3359232 + 50155 108 ζ7 − 20375 27 ζ6 + 508820 243 ζ5 − 457499 108 ζ4 + 2711207 486 ζ3 − 5020 27 ζ2 3 + nf C3 A CF − 8766012215 2519424 − 250915 108 ζ7 − 222250 81 ζ6 + 1808870 243 ζ5 + 2848403 648 ζ4 − 45697231 5832 ζ3 − 1195 81 ζ2 3 + n2 f d(4) FF NF − 19435 27 − 20000 27 ζ6 + 70000 81 ζ5 + 3160 9 ζ4 + 53366 81 ζ3 − 3200 27 ζ2 3 + n2 f C3 F + 512848319 1679616 − 5000 9 ζ6 + 86440 81 ζ5 + 9118 81 ζ4 − 57109 54 ζ3 + 2800 9 ζ2 3 + n2 f CA C2 F + 1080083 5832 + 2500 27 ζ6 − 42860 81 ζ5 + 56327 54 ζ4 − 296729 972 ζ3 − 21800 27 ζ2 3 + n2 f C2 A CF + 61747877 419904 + 35000 81 ζ6 − 88990 243 ζ5 − 3503 3 ζ4 + 2496811 1944 ζ3 + 39800 81 ζ2 3 + n3 f C2 F + 28758139 1259712 + 800 27 ζ5 − 610 9 ζ4 + 21673 729 ζ3 + n3 f CA CF + 13729181 1259712 − 6400 81 ζ5 + 4390 81 ζ4 + 14947 729 ζ3 + n4 f CF − 259993 629856 + 200 81 ζ4 − 1660 729 ζ3 /
32. Analytic results contain... nf : number of flavours Quadratic Casimir invariants: CF, CA Quartic Casimir invariants: d(4) FF ≡ dabcd F dabcd F d(4) F A ≡ dabcd F dabcd A d(4) AA ≡ dabcd A dabcd A where dabcd r = 1 6 Tr(Ta r Tb r Tc r Td r +5 permutations) Riemann zeta values: ζ3, ζ4, ζ5, ζ6, ζ7 /
33. Numerical values for QCD γ+ ns (N = 2,nf = 0) = 0.2829αs (1+1.0187αs +1.5307α2 s +2.3617α3 s +4.520α4 s +···) ... γ+ ns (N = 2,nf = 3) = 0.2829αs (1+0.8695αs +0.7980α2 s +0.9258α3 s +1.781α4 s +···) γ+ ns (N = 2,nf = 4) = 0.2829αs (1+0.7987αs +0.5451α2 s +0.5215α3 s +1.223α4 s +···) γ+ ns (N = 2,nf = 5) = 0.2829αs (1+0.7280αs +0.2877α2 s +0.1571α3 s +0.849α4 s +···) γ− ns (N = 3,nf = 0) = 0.4421αs (1+1.0153αs +1.4190α2 s +2.0954α3 s +3.954α4 s +···) ... γ− ns (N = 3,nf = 3) = 0.4421αs (1+0.7952αs +0.7183α2 s +0.7607α3 s +1.508α4 s +···) γ− ns (N = 3,nf = 4) = 0.4421αs (1+0.7218αs +0.4767α2 s +0.3921α3 s +1.031α4 s +···) γ− ns (N = 3,nf = 5) = 0.4421αs (1+0.6484αs +0.2310α2 s +0.0645α3 s +0.727α4 s +···) /
34. Scale dependence -0.07 -0.068 -0.066 -0.064 -0.062 -0.06 10 -1 1 10 d ln q ns / d ln µf 2 + N = 2 µr 2 / µf 2 NNLO NLO d ln q ns / d ln µf 2 − N = 3 N3LO N4LO µr 2 / µf 2 -0.108 -0.104 -0.1 -0.096 -0.092 10 -1 1 10 αs(µ 2 f ) = 0.2,nf = 4 /
35. Summary 初めて ループでのTwist- 演算子の 異常次元への寄与を計算 /
36. Summary 初めて ループでのTwist- 演算子の 異常次元への寄与を計算 R∗-operations + F : N = 2, N = 3の 非一重項クォーク演算子の繰り込み /
37. Summary 初めて ループでのTwist- 演算子の 異常次元への寄与を計算 R∗-operations + F : N = 2, N = 3の 非一重項クォーク演算子の繰り込み スケール依存性が向上: O(0.1%) /
38. Backup
39. Parton evolutions qi (x,µ2), ¯ qi (x,µ2) and g(x,µ2) for massless quarks, antiquarks of flavour i and gluons nf (anti-)quark distributions decomposed as • q± ns,ik = (qi ± ¯ qi )−(qk ± ¯ qk ), flavour non-singlet, 2(nf −1) components, evolving with P± ns • qv ns = nf i=1 (qi − ¯ qi ): flavour non-singlet (“valence”), evolving with Pv ns = P− ns + Ps ns • qs = nf i=1 (qi + ¯ qi ): flavour singlet, mixing with gluons. Pqq = P+ ns + Pps d dlnµ2 f qs g = Pqq Pqg Pgq Pgg ⊗ qs g Appendix - /
40. Restoring scale dependence L ≡ ln(µ2 r /µ2 f ) = 0, from L = 0 results: γ(0) ns (L) = γ(0) ns γ(1) ns (L) = γ(1) ns +β0 Lγ(0) ns γ(2) ns (L) = γ(2) ns +2β0 Lγ(1) ns + β1 L +β2 0 L2 γ(0) ns γ(3) ns (L) = γ(3) ns +3β0 Lγ(2) ns + 2β1 L +3β2 0 L2 γ(1) ns + β2 L + 5 2β1β0 L2 +β3 0 L3 γ(0) ns γ(4) ns (L) = γ(4) ns +4β0 Lγ(3) ns + 3β1 L +6β2 0 L2 γ(2) ns + 2β2 L +7β1β0 L2 +4β3 0 L3 γ(1) ns + β3 L +3β2β0 L2 + 3 2β2 1 L2 + 13 3 β1β2 0 L3 +β4 0 L4 γ(0) ns Appendix - /
41. Operator matrix element To compute the operator matrix element, Lorentz indices of the operator are contracted with a light-like vector ∆: A(N) = ∆µ1 ...∆µN 〈p|O µ1...µN |p〉 ∆2 = 0, p2 = 0 p p Trace taken for the external fermion line Appendix - /
42. Computing poles K: pole operator: K(G) returns only poles of G ∆: UV counterterm operator ∆(G) gives the superficial UV poles of G For logarithmically divergent G: K(G) = ∆(G)+subdiv(G) with ∆(G) = IRR ∆(G ) = K(G )−subdiv(G ) Appendix - /
43. Approximate splitting functions at N4 LO for leading Nc 8 1 ) ) in α S x (1−x) P (x) /10 (4) 5 ns n f = 3, Ln c approx. 0 0.5 1 1.5 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 γ+ ns = γ− ns +O 1 Nc Used known large-x and small-x endpoints constraints Appendix - /