頻度主義統計学を「完全に理解」しよう

上野彰大大阪府堺市生まれ・育ち東京大学大学院農学生命科学研究科卒 PharmaX取締役・エンジニア責任者（旧YOJO Technologies）自己紹介 Twitter：@ueeeeniki

（C）PharmaX Inc. 2022 All Rights Reserve 3 会社名変更&プレスリリースのお知らせ

（C）PharmaX Inc. 2022 All Rights Reserve 4 カジュアルにお話しませんか？

• この勉強会のモチベーションとゴール • 統計学入門〜統計学・統計モデリングとは何か？〜 • 頻度主義統計学入門〜頻度主義的考え方〜 ◦ 点推定
◦ 区間推定 ◦ 統計的仮説検定 • まとめアジェンダ

参考・オススメ文献 • 頻度主義統計学 ◦ 心理統計学の基礎 ◦ Rによるやさしい統計学 ◦ データ分析に必須の知識・考え方統計学入門
仮説検定から統計モデリングまで重要トピックを完全網羅 • 統計学の哲学 ◦ 統計学を哲学する

推奨する前提知識 • 下記については補足をするが、ある程度の知識があることが望ましい ◦ 頻度主義統計学の基礎知識（母集団の推定、検定など用語を知っていている程度） ◦ 高校程度の数学知識（簡単な確率計算にアレルギーを感じない程度） • 仮に詳細が理解できない箇所があったとしても、議論の大枠を理解することは可能
です

この勉強会のモチベーションとゴール

統計学史上最大の論争頻度主義統計学（古典統計学）ベイズ統計学 VS

統計学的主義を巡る150年以上に渡る論争 • 頻度主義統計学者たちは、徹底的にベイズ統計学を批判してきた（「頻度主義にあらずんば統計学にあらず」） • （頻度主義vsベイズ主義の）論争の中で人類が向き合ったのは、「人は証拠をどのように分析し、（中略）不確かな状況下でいかに合理的な決定を下すのか」という問題（『異端の統計学ベイズ』） • 両者では、
①何に確率を適用しているのか（確率とは何か） ② どのように推論を行うのか、何を持って推論できていると見なすのか（推論するとはどういういことか）が異なる参考：『統計初心者がベイズ統計学に入門するまでの勉強法』（私記事）

頻度主義への批判とベイズ主義の台頭 • 頻度主義統計学の最も便利なツールである「統計学的仮説検定」の「p値」「有意性」が批判にさらされており、ベイズ統計学が見直されてきた ◦ 科学的な結論やビジネス・政策上の決定は、「 p値が特定の閾値を超えたかどうか」だけに基づいて行われるべきではない（『 The ASA
Statement on p-Values: Context, Process, and Purpose』） • 頻度主義統計学は論理が回りくどく、本質を理解するのが非常に難しい（個人の感想） ◦ 古典統計（＝頻度主義統計学）の核となる検定のロジックはやや込み入っており、直感的に理解しにくい（『統計学を哲学する』） • ベイズ統計学の台頭に伴い、「統計学といえば頻度主義統計学を指す」というほどの地位は失いつつあるが、今なお多くの学問分野で頻度主義統計学が使われ続けてる ◦ 日本の大学でまず習うのは頻度主義統計学

• 一方で、どちらが正しい主義かという問いに意味はなく、好きな主義と好きな方法を使うことができる（『統計学入門「主義」を心配するみなさまに』） ◦ 必要なときに必要な方の考え方を使えばいい（『「頻度論」の学者と「ベイズ論」の学者が対談したら』）統計学の主義論争についての注釈

この勉強会の目的・ゴール • 頻度主義統計学であろうと、ベイズ統計学であろうと変わらない「統計学的な考え方」の本質を理解する ◦ そもそも統計学とはどういう学問で、何のために学ぶのかを理解せずに数学的な理論だけを学ぶからツラくなる • 頻度主義統計学の各推論手法の理論を「完全に理解する」
◦ 実際に使えるようになるにはプログラミングやデータの前処理などの知識も必要だが、まずは全体像をざっくり掴んで欲しい • 頻度主義統計学のロジックの癖や落とし穴を丁寧に理解し、自学するのがグッと楽になる ◦ どこが分かりにくく、勘違いしやすいポイントなのかを重点的に解説する

この勉強会の裏テーマ・思惑 • データサイエンスの流行によって「機械学習は理解してるけど、統計学は理解していない」という人が多すぎて悲しい、もっと統計学の面白さを広めたい • 個人的にはベイズ統計学が大好きだが、今の統計学教育の状況を鑑みるにベイズ統計学を勉強するのにも、頻度主義をきちんと勉強するのが効率がいい ◦ 本来、統計学としてベイズ統計学から学び始めることは可能なはずだが、世の中に溢れている多くの「統計学入門」は頻度主義統計学を念頭に置いている
▪ ベイズ統計学入門は、「統計入門」ではなく、あくまで「ベイズ統計学入門」と呼ばれる ◦ 多くの「ベイズ統計学入門」の教科書・記事などは、頻度主義との違いについて書かれており、ベイズ主義を深く理解するためには、頻度主義との違いを意識しながら勉強していく方が効率がよい

記述統計学頻度主義統計学ベイズ統計学推測しない推測
する統計学の分類得られたデータの統計的性質を分析・可視化することでデータの特徴を捉える得られたデータのみから、そのデータが発生したした背後のシステムを推測する推測統計学

統計学の分類（推測統計学を狭義に捉える場合もある）記述統計学頻度主義統計学ベイズ統計学推測しない推
測する得られたデータの統計的性質を分析・可視化することでデータの特徴を捉える得られたデータのみから、そのデータが発生したした背後のシステムを推測する推測統計学

する統計学の分類（今回はこちらの定義を採用）統計学の本丸推測統計学得られたデータの統計的性質を分析・可視化することでデータの特徴を捉える得られたデータのみから、そのデータが発生したした背後のシステムを推測する

• この勉強会のモチベーションとゴール • 統計学入門〜統計学・統計モデリングとは何か？〜 • 頻度主義統計学入門〜頻度主義的考え方〜 • ベイズ統計学入門
〜ベイズ主義と頻度主義との違い〜アジェンダ

統計学入門〜統計学・統計モデリングとは何か？〜

統計学とは何か？ • データの背後に潜む規則や構造を抽出する（モデリングする）ことによって、現象の理解や未知の現象に対する予測を行う

統計学とは何か？ • データの背後に潜む規則や構造を抽出する（モデリングする）ことによって、現象の理解や未知の現象に対する予測を行う規則や構造を抽出 ②未知の現象に対する予測を行う統計モデリング & パラメータの推定 ①
現象を理解する • 確率分布を用いてデータの背後に潜む規則や構造を抽出する（= 統計モデリングとパラメータの推定を行う）ことによって、現象の理解や未知の現象に対する予測を行う

データを抽出母集団標本頻度主義

「真の」確率モデル正規分布データを抽出母集団標本頻度主義 μ σ2 ① 母集団の分布が正規分布なのでは
ないかと仮定する

「真の」確率モデル正規分布データを抽出母集団標本頻度主義 μ σ2 統計モデリング ①’
母集団から確率的に発生したと見なす ① 母集団の分布が正規分布なのではないかと仮定する S2

ないかと仮定する推定された確率モデル正規分布 μ* σ*2 統計モデリング ①’ 母集団から確率的に発生したと見なす ② 標本統計量（標本平均と標本分散）から母集団の確率モデル＝母集団分布のパラメータ（母平均と母分散）を推定 S2

ないかと仮定する推定された確率モデル正規分布 μ* σ*2 完全に一致はしない統計モデリング ①’ 母集団から確率的に発生したと見なす S2 ② 標本統計量（標本平均と標本分散）から母集団の確率モデル＝母集団分布のパラメータ（母平均と母分散）を推定

「真の」確率モデル正規分布推定された確率モデル正規分布母集団予測完全に一
致はしない頻度主義 μ* σ*2 μ σ2 ③ データを予測＝確率的に発生させる

• （①）「今観測された事象（サンプル）は、背後にある確率モデルから確率的に発生したと考える枠組み」＝「統計モデリング」を導入し、 • （②）その上で、背後にある確率モデルのパラメータをリーズナブルに推定する方法を明らかにし、 • （③）パラメータを推測した確率モデルを元に、新たな事象の「確率的な予測を行う」＝「予測分布を生成する」統計学とは何をしてくれる学問なのか？
確率モデル ①サンプリング ③予測 ②推定データD 未来のデータD’

する統計学の分類推測統計学

記述統計学ベイズ統計学推測しない推測す
る統計学の分類統計的推定仮説検定頻度主義統計学推測統計学

点推定区間推定記述統計学ベイズ統計学推測しない推
測する統計学の分類仮説検定頻度主義統計学統計的推定推測統計学まずはここを中心に

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〜ベイズ主義と頻度主義との違い〜アジェンダ

頻度主義統計学入門〜頻度主義的考え方〜

• 統計的推測の課題は、「標本統計量の値をもとに、母数についてできるだけ正確な推測をすること」（『心理統計学の基礎』）頻度主義統計学の目的データを抽出母集団標本母数（本当に知りたいもの）（標本から計算できるもの）
標本統計量母平均母分散母相関係数母比率など標本平均標本分散標本相関係数標本比率など推定頻度主義点推定

今得られたサンプルの標本平均データを抽出母集団標本母平均μ 標本平均頻度主義点推定問: たまたま得られたサンプルの標本平均
から母平均μをどのように推測するべきか？標本統計量から母数を推測する方法

データを抽出母集団標本母平均μ 標本平均頻度主義点推定の値そのままでμを推測するのが直感的問: たまたま得られたサンプルの標本平均
から母平均μをどのように推測するべきか？標本統計量から母数を推測する方法今得られたサンプルの標本平均

データを抽出母集団標本母平均μ 標本平均頻度主義点推定の値そのままでμを推測するのが直感的なぜそのような推測が妥当なのかを数学的に説明できるか？
問: たまたま得られたサンプルの標本平均から母平均μをどのように推測するべきか？標本統計量から母数を推測する方法今得られたサンプルの標本平均

データを抽出母集団標本標本平均標本標本・・・標本平均
標本平均母平均μ 頻度主義点推定標本統計量から母数を推測する方法問: たまたま得られたサンプルの標本平均から母平均μをどのように推測するべきか？今得られたサンプルの標本平均は、たまたまそのサンプルが選ばれたことに依存する、一種の偶然の産物（『心理統計学の基礎』）

標本平均母平均μ 頻度主義点推定標本統計量から母数を推測する方法問: たまたま得られたサンプルの標本平均から母平均μをどのように推測するべきか？標本統計量の値はサンプルごとに変動する今得られたサンプルの標本平均は、たまたまそのサンプルが選ばれたことに依存する、一種の偶然の産物（『心理統計学の基礎』）

標本平均母平均μ 頻度主義点推定標本統計量から母数を推測する方法問: たまたま得られたサンプルの標本平均から母平均μをどのように推測するべきか？サンプル間でどのように標本統計量が変動するのか？今得られたサンプルの標本平均は、たまたまそのサンプルが選ばれたことに依存する、一種の偶然の産物（『心理統計学の基礎』）

標本平均母平均μ 頻度主義点推定標本統計量から母数を推測する方法問: たまたま得られたサンプルの標本平均から母平均μをどのように推測するべきか？サンプル間でどのように標本統計量が変動するのか？今得られたサンプルの標本平均は、たまたまそのサンプルが選ばれたことに依存する、一種の偶然の産物（『心理統計学の基礎』）どのように推定するのがリーズナブルか？

母集団が任意の分布の場合の標本平均の分布母集団「真の」確率モデル μ 母平均μ 母分散σ2

母集団「真の」確率モデルデータを抽出 n個標本 μ 母集団が任意の分布の場合の標本平均の分布母平均μ 母分散σ2

標本母集団「真の」確率モデル確率的に発生しているデータを抽出 n個 μ 母集団が任意の分布の場合の標本平均の分布母平均μ 母分散σ2

母集団「真の」確率モデルデータを抽出 n個標本標本標本・・・
標本の値の分布 N回試行 μ 母集団が任意の分布の場合の標本平均の分布母平均μ 母分散σ2

標本の値の分布標本の値の分布 μ 母集団が任意の分布の場合の標本平均の分布母平均μ 母分散σ2

標本の値の分布標本の値の分布標本平均標本平均の分布 μ 母集団が任意の分布の場合の標本平均の分布母平均μ 母分散σ2

標本の値の分布標本の値の分布標本平均 μ 母集団が任意の分布の場合の標本平均の分布標本平均の分布母平均μ 母分散σ2

標本の値の分布標本の値の分布標本平均 μ 母集団が任意の分布の場合の標本平均の分布標本平均の分布母平均μ 母分散σ2 全くの別物

標本の値の分布標本の値の分布標本平均全くの別物 μ 母集団が任意の分布の場合の標本平均の分布標本平均の分布母平均μ 母分散σ2

標本の値の分布標本の値の分布標本平均全くの別物一致する μ 母集団が任意の分布の場合の標本平均の分布標本平均の分布母平均μ 母分散σ2

標本の値の分布標本の値の分布標本平均全くの別物一致する μ たまに母平均から大きくハズレてしまうこともあるが平均的には母平均に近い値をとる母集団が任意の分布の場合の標本平均の分布標本平均の分布母平均μ 母分散σ2

標本の値の分布標本の値の分布標本平均全くの別物 μ たまに母平均から大きくハズレてしまうこともあるが平均的には母平均に近い値をとる今得られたサンプル母集団が任意の分布の場合の標本平均の分布標本平均の分布一致する母平均μ 母分散σ2

標本の値の分布標本の値の分布標本平均全くの別物たまに母平均から大きくハズレてしまうこともあるが平均的には母平均に近い値をとる今得られたサンプル母集団が任意の分布の場合の標本平均の分布標本平均の分布一致する母平均μ 母分散σ2 μ そのままの値で推定する

標本の値の分布標本の値の分布標本平均全くの別物 μ 今得られたサンプル母集団が任意の分布の場合の標本平均の分布標本平均の分布一致する標本平均のように、期待値が推定したい母数に一致する標本統計量を母数の不偏推定量と呼ぶ母平均μ 母分散σ2 そのままの値で推定する

標本の値の分布標本の値の分布標本平均全くの別物 μ 今得られたサンプル母集団が任意の分布の場合の標本平均の分布標本平均の分布一致する標本平均のように、期待値が推定したい母数に一致する標本統計量を母数の不偏推定量と呼ぶそのままの値で推定する（不偏推定）母平均μ 母分散σ2

母集団「真の」確率モデル母平均μ 母分散σ2 データを抽出 n個標本標本標本・
・・標本の値の分布標本の値の分布 μ σ2 母集団が任意の分布の場合の標本分散

・・標本の値の分布標本の値の分布 μ σ2 標本分散標本分散の分布母集団が任意の分布の場合の標本分散

・・標本の値の分布標本の値の分布 μ σ2 標本分散標本分散の分布一致しない母集団が任意の分布の場合の標本分散

・・標本の値の分布標本の値の分布 μ σ2 標本分散標本分散の分布一致しない標本分散は母分散の不偏推定量ではない母集団が任意の分布の場合の標本分散

標本標本・・・母集団「真の」確率モデル母平均μ 母分散σ2 データを抽出
n個標本標本の値の分布標本の値の分布 μ σ2 標本分散標本分散の分布標本分散は母分散の不偏推定量ではない母集団が任意の分布の場合の標本分散一致しない

標本標本・・・母集団「真の」確率モデル母平均μ 母分散σ2 データを抽出
n個標本標本の値の分布標本の値の分布 μ σ2 標本分散標本分散の分布標本分散は母分散の不偏推定量ではない母集団が任意の分布の場合の標本分散標本分散で母分散を推測すると過小評価してしまう可能性がある一致しない

・・標本の値の分布標本の値の分布 μ σ2 母集団が任意の分布の場合の不偏分散

・・標本の値の分布標本の値の分布 μ σ2 不偏分散不偏分散の分布母集団が任意の分布の場合の不偏分散

・・標本の値の分布標本の値の分布 μ σ2 不偏分散不偏分散の分布一致する母集団が任意の分布の場合の不偏分散

・・標本の値の分布標本の値の分布 μ σ2 不偏分散不偏分散の分布不偏分散は母分散の不偏推定量になっている一致する母集団が任意の分布の場合の不偏分散

母集団「真の」確率モデル母平均μ 母分散σ2 データを抽出 n個標本標本の値の分布標本の値
の分布 μ σ2 不偏分散不偏分散の分布不偏分散は母分散の不偏推定量になっている一致する標本標本・・・母集団が任意の分布の場合の不偏分散

母集団「真の」確率モデル母平均μ 母分散σ2 データを抽出 n個標本標本の値の分布標本の値
の分布 μ σ2 不偏分散不偏分散の分布不偏分散は母分散の不偏推定量になっている一致する標本標本・・・母集団が任意の分布の場合の不偏分散そのままの値で推定する（不偏推定）

母集団が任意の分布の標本分布母集団「真の」確率モデル μ 母平均μ 母分散σ2

母集団が任意の分布の標本分布データを抽出 m個母集団・・・「真の」確率モデル μ 母平均μ
母分散σ2

データを抽出 m個母集団・・・母集団が任意の分布の標本分布「真の」確率モデル μ 母平均μ
母分散σ2

データを抽出 m個母集団・・・標本平均母集団が任意の分布の標本分布「真の」確率モデル μ
母平均μ 母分散σ2

データを抽出 m個母集団・・・ μ 標本平均一致する母集団が任意の分布の標本分布
「真の」確率モデル μ 母平均μ 母分散σ2

データを抽出 m個母集団・・・ μ 標本平均・・
・データを抽出 n個 m << n 一致する母集団が任意の分布の標本分布「真の」確率モデル μ 母平均μ 母分散σ2

・データを抽出 n個 m << n 一致する xxxxxxxのとき、正規分布xxxxxxxxに近づく中心極限定理母集団が任意の分布の標本分布「真の」確率モデル μ 母平均μ 母分散σ2

・データを抽出 n個 m << n 一致する xxxxxxxのとき、正規分布xxxxxxxxに近づく中心極限定理母集団が任意の分布の標本分布サンプル数nが大きくなるほど、標本平均は母平均に近い値を取る確率が大きくなる「真の」確率モデル μ 母平均μ 母分散σ2

頻度主義統計学の推測に対する考え方まとめ • 「母集団を真の確率分布を持つデータ発生装置とみなし、真の確率分布から一個一個のデータが発生してサンプルが構成されるという見方」＝「頻度主義的統計モデリング」を導入した ◦ サンプルは確率的に変動すると見なす一方で、母集団と母数は実際に観測可能かどうかに関わらず一意に決まるものと考える •
このような統計モデリングを導入した上で、標本統計量の性質を導くことで、標本統計量から母数を推定するリーズナブルな推定方法（不偏推定や最尤推定法等）を提示する ◦ 標本統計量から母数を推定する方法を提示するのに、先に母数と標本統計量の数学的な関係性を熟知しておかなければならない

測する統計学の分類仮説検定頻度主義統計学統計的推定推測統計学ここを中心に見てきた

測する統計学の分類仮説検定頻度主義統計学統計的推定推測統計学次はここを見ていく

母集団が正規分布の場合の区間推定母集団「真の」確率モデル正規分布xxxxxx μ σ2 母平均μ 頻度主義区間推定

データを抽出母集団標本標本標本・・・母平均μ 頻度主義
区間推定「真の」確率モデル正規分布xxxxxx μ σ2 標本平均今得られたサンプルの標本平均母集団が正規分布の場合の区間推定

区間推定「真の」確率モデル正規分布xxxxxx μ σ2 標本平均今得られたサンプルの標本平均 μ 使って推定母集団が正規分布の場合の区間推定

区間推定「真の」確率モデル正規分布xxxxxx μ σ2 標本平均今得られたサンプルの標本平均母集団が正規分布の場合の区間推定 μ 使って推定

区間推定「真の」確率モデル正規分布xxxxxx μ σ2 標本平均今得られたサンプルの標本平均点推定では、たまに真の μから大きく外れてしまう母集団が正規分布の場合の区間推定 μ 使って推定

区間推定「真の」確率モデル正規分布xxxxxx μ σ2 標本平均今得られたサンプルの標本平均この区間にならおそらく真の母平均が入っていそうという区間を推定する母集団が正規分布の場合の区間推定区間推定で幅を持って推定する μ 使って推定

区間推定「真の」確率モデル正規分布xxxxxx μ σ2 標本平均今得られたサンプルの標本平均この区間にならおそらく真の母平均が入っていそうという区間を推定する母集団が正規分布の場合の区間推定区間推定で幅を持って推定する μ 使って推定 95%の確率で母平均が含まれるような区間を95%信頼区間という

母集団母平均μ 頻度主義区間推定「真の」確率モデル正規分布xxxxxx μ σ2 信頼度95%で μを推定せよ
母集団が（母分散既知の）正規分布の場合の区間推定

母集団母平均μ 頻度主義区間推定「真の」確率モデル正規分布xxxxxx μ σ2 データを抽出信頼度95%で
μを推定せよ母集団が（母分散既知の）正規分布の場合の区間推定

μを推定せよ母集団が（母分散既知の）正規分布の場合の区間推定 μ σ2

母集団母平均μ 頻度主義区間推定「真の」確率モデル正規分布xxxxxx μ σ2 母集団が（母分散既知の）正規分布の場合の区間推定データを抽出
μ σ2 信頼度95%で μを推定せよ 1.96σ 1.96σ 95%

μ σ2 信頼度95%で μを推定せよ 1.96σ 1.96σ 95% 95%の確率で成立

μ σ2 信頼度95%で μを推定せよ 1.96σ 1.96σ 95% 信頼度95%の信頼区間 95%の確率で成立

μを推定せよ母集団が（母分散既知の）正規分布の場合の区間推定 μ σ2 信頼度95%の信頼区間 95%の確率で成立

μを推定せよ母集団が（母分散既知の）正規分布の場合の区間推定 μ σ2 信頼度95%の信頼区間 95%の確率で成立よくある間違った主張は、「こうして求めた信頼区間の間に95%の確率で母平均が含まれる」という主張

μを推定せよ母集団が（母分散既知の）正規分布の場合の区間推定 μ σ2 信頼度95%の信頼区間 95%の確率で成立今回得られたxxから計算された信頼区間でこのような主張は不可よくある間違った主張は、「こうして求めた信頼区間の間に95%の確率で母平均が含まれる」という主張

μを推定せよ母集団が（母分散既知の）正規分布の場合の区間推定 μ σ2 信頼度95%の信頼区間 95%の確率で成立今回得られたxxから計算された信頼区間でこのような主張は不可 100回抽出したうち95回前後は成立＝よくある間違った主張は、「こうして求めた信頼区間の間に95%の確率で母平均が含まれる」という主張

μを推定せよ母集団が（母分散既知の）正規分布の場合の区間推定 μ σ2 信頼度95%の信頼区間 95%の確率で成立今回得られたxxから計算された信頼区間でこのような主張は不可＝何度もデータを取り出しそのたびに信頼区間を求めれば、そのうちの 95%はその区間内に母平均を含む 100回抽出したうち95回前後は成立よくある間違った主張は、「こうして求めた信頼区間の間に95%の確率で母平均が含まれる」という主張

母集団母平均μ 頻度主義区間推定「真の」確率モデル正規分布xxxxxx μ σ2 母集団が（母分散既知の）正規分布の場合の区間推定信頼度95%で
μを推定せよデータを抽出信頼度95%の信頼区間 95%の確率で成立 100回抽出したうち95回前後は成立＝ μ

μを推定せよデータを抽出信頼度95%の信頼区間 μ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 95%の確率で成立 100回抽出したうち95回前後は成立＝

μを推定せよデータを抽出信頼度95%の信頼区間たまに外す μ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 95%の確率で成立 100回抽出したうち95回前後は成立＝

μを推定せよデータを抽出信頼度95%の信頼区間たまに外すデータを抽出するたびに 95%信頼区間を計算すればそのうちの 95%は母平均を含む μ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 95%の確率で成立 100回抽出したうち95回前後は成立＝

μを推定せよデータを抽出信頼度95%の信頼区間たまに外すデータを抽出するたびに 95%信頼区間を計算すればそのうちの 95%は母平均を含む μ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 一度のデータ抽出で計算された信頼区間が実際に母平均を含むかどうかは分からない 95%の確率で成立 100回抽出したうち95回前後は成立＝

母集団が正規分布の場合の標本分布母集団「真の」確率モデル正規分布xxxxxx μ σ2 母平均μ 頻度主義区間推定

母集団が正規分布の場合の標本分布データを抽出 n個母集団標本 μ σ2 母平均μ 「真の」確率モデル正規分布xxxxxx
頻度主義区間推定

確率的に発生していると見なす頻度主義区間推定

母集団が正規分布の場合の標本分布データを抽出 n個母集団標本標本標本・・・
μ σ2 母平均μ 標本の値の分布 N回試行「真の」確率モデル正規分布xxxxxx 頻度主義区間推定

μ σ2 母平均μ 標本の値の分布「真の」確率モデル正規分布xxxxxx 頻度主義区間推定

μ σ2 母平均μ 標本の値の分布「真の」確率モデル正規分布xxxxxx 標本平均標本分布（標本平均の分布）頻度主義区間推定

μ σ2 標本平均母平均μ 標本の値の分布「真の」確率モデル正規分布xxxxxx 標本分布（標本平均の分布）頻度主義区間推定

μ σ2 標本平均母平均μ 標本分布（標本平均の分布）標本の値の分布「真の」確率モデル正規分布xxxxxx 頻度主義区間推定

μ σ2 μ 標本平均母平均μ 標本分布（標本平均の分布）標本の値の分布「真の」確率モデル正規分布xxxxxx 頻度主義区間推定

μ σ2 μ 標本平均一致する母平均μ 標本分布（標本平均の分布）標本の値の分布「真の」確率モデル正規分布xxxxxx 頻度主義区間推定

μ σ2 標本平均母平均μ 標本分布（標本平均の分布）「真の」確率モデル正規分布xxxxxx μ 頻度主義区間推定

1.96 母集団が正規分布の場合の標本分布データを抽出 n個母集団標本標本標本・・
・ μ σ2 μ 標本平均母平均μ 標本分布（標本平均の分布）「真の」確率モデル正規分布xxxxxx 1.96 95% 頻度主義区間推定

・ μ σ2 μ 標本平均母平均μ 標本分布（標本平均の分布）「真の」確率モデル正規分布xxxxxx 1.96 95% 信頼度95%の信頼区間頻度主義区間推定

・ μ σ2 μ 標本平均母平均μ 標本分布（標本平均の分布）「真の」確率モデル正規分布xxxxxx 1.96 95% 信頼度95%の信頼区間データ1つの時と比べて n 分の1だけ区間が狭くなっている頻度主義区間推定

μ σ2 μ 標本平均母平均μ 標本分布（標本平均の分布）「真の」確率モデル正規分布xxxxxx 頻度主義区間推定狭い区間であっても 95%の確率で母平均が含まれる

• 点推定にしろ、区間推定にしろ、今回の推定がどの程度正しいのかは分からない（のだから問題せずに） ◦ 不偏推定は、何度もデータ抽出を抽出し、同じ操作を繰り返せば、平均的には母数と等しくなる推定 ◦ 信頼度◯◯%の信頼区間は、何度もデータを抽出し、同じ操作を繰り返せば、その間に母
数が◯◯%入る区間の推定 • 頻度主義統計学では、推定手法の数学的に妥当である場合に、その推定は正当である＝その推定が正しいと考える根拠がある、とみなす ◦ ここでいう妥当である、妥当性があるとは、その推定方法を何度も繰り返せば推定対象を「よく」捉えられることが数学的に証明できていることを言う ◦ 頻度主義統計学とは、今回の推定がどの程度正しいのかは誰にも分からないのだから、せめてより妥当な推定手法を考案しようというある意味割り切った学問頻度主義統計学の推測に対する考え方まとめ②

測する統計学の分類仮説検定頻度主義統計学統計的推定推測統計学ここも軽く触れておく

普通のコイン表が出る確率1/4 レアコイン表が出る確率3/4 10回投げた結果からどちらかを判断する問題この国の昔の100ベリーコインは1/4の確率で表が出る。レアコインは 3/4の確率で裏が出る。ある日あなたはレアコインが非常に安値で売っているのを発見した。
10回投げて判断することが許される場合、 10回中何回以上表が出た時にあなたはレアコインであると判断して、このコインを買い取るだろうか。

普通のコイン表が出る確率1/4 レアコイン表が出る確率3/4 10回投げた結果からどちらかを判断する帰無仮説対立仮説問題この国の昔の100ベリーコインは1/4の確率で表が出る。レアコインは
3/4の確率で裏が出る。ある日あなたはレアコインが非常に安値で売っているのを発見した。 10回投げて判断することが許される場合、 10回中何回以上表が出た時にあなたはレアコインであると判断して、このコインを買い取るだろうか。

普通のコイン表が出る確率1/4 レアコイン表が出る確率3/4 帰無仮説対立仮説真問題この国の昔の100ベリーコインは1/4の確率で表が出る。レアコインは 3/4の確率で裏が出る。ある
日あなたはレアコインが非常に安値で売っているのを発見した。 10回投げて判断することが許される場合、 10回中何回以上表が出た時にあなたはレアコインであると判断して、このコインを買い取るだろうか。

第一種の誤り帰無仮説が真であるにも関わらず、それを誤って棄却してしまう＝普通のコインであるにも関わらず、レアコインであると判断してしまう普通のコイン表が出る確率1/4 レアコイン表が出る確率3/4 帰無仮説対立仮説真
問題この国の昔の100ベリーコインは1/4の確率で表が出る。レアコインは 3/4の確率で裏が出る。ある日あなたはレアコインが非常に安値で売っているのを発見した。 10回投げて判断することが許される場合、 10回中何回以上表が出た時にあなたはレアコインであると判断して、このコインを買い取るだろうか。

第一種の誤り帰無仮説が真であるにも関わらず、それを誤って棄却してしまう＝普通のコインであるにも関わらず、レアコインであると判断してしまう普通のコイン表が出る確率1/4 レアコイン表が出る確率3/4 帰無仮説対立仮説普通のコインを高値で買わされてしまう
真問題この国の昔の100ベリーコインは1/4の確率で表が出る。レアコインは 3/4の確率で裏が出る。ある日あなたはレアコインが非常に安値で売っているのを発見した。 10回投げて判断することが許される場合、 10回中何回以上表が出た時にあなたはレアコインであると判断して、このコインを買い取るだろうか。

真第二種の誤り帰無仮説が偽であるにも関わらず、それを棄却しそびれる＝レアコインであるにも関わらず、普通のコインであると判断してしまう問題この国の昔の100ベリーコインは1/4の確率で表が出る。レアコインは 3/4の確率で裏が出る。ある日あなたはレアコインが非常に安値で売っているのを発見した。 10回投げて判断することが許される場合、 10回中何回以上表が出た時にあなたはレアコインであると判断して、このコインを買い取るだろうか。

真第二種の誤り帰無仮説が偽であるにも関わらず、それを棄却しそびれる＝レアコインであるにも関わらず、普通のコインであると判断してしまうレアコインを安値で買えるチャンスを逃す問題この国の昔の100ベリーコインは1/4の確率で表が出る。レアコインは 3/4の確率で裏が出る。ある日あなたはレアコインが非常に安値で売っているのを発見した。 10回投げて判断することが許される場合、 10回中何回以上表が出た時にあなたはレアコインであると判断して、このコインを買い取るだろうか。

0 1 10 2 3 4 5 6 7 9
8 θ＝0.25 0.0 0.1 0.2

0 1 10 2 3 4 5 6 7 9
8 θ＝0.25 閾値帰無仮説を棄却する 0.0 0.1 0.2

0 1 10 2 3 4 5 6 7 9
8 θ＝0.25 閾値帰無仮説が真である場合にも、ある程度の確率で発生するのに切り捨ててしまう帰無仮説を棄却する 0.0 0.1 0.2

0 1 10 2 3 4 5 6 7 9
8 θ＝0.25 閾値帰無仮説が真である場合にも、ある程度の確率で発生するのに切り捨ててしまう第一種の誤りの確率は、閾値以上の回数表が出る合計確率α 帰無仮説を棄却する 0.0 0.1 0.2

0 1 10 2 3 4 5 6 7 9
8 θ＝0.25 閾値帰無仮説が真である場合にも、ある程度の確率で発生するのに切り捨ててしまう第一種の誤りの確率は、閾値以上の回数表が出る合計確率α 有意水準＝帰無仮説を棄却する 0.0 0.1 0.2

0 1 10 2 3 4 5 6 7 9
8 θ＝0.25 閾値第一種の誤りの確率は、閾値以上の回数表が出る合計確率α 有意水準＝帰無仮説を棄却する 0.0 0.1 0.2 帰無仮説が真である場合にも、ある程度の確率で発生するのに切り捨ててしまう有意水準とは、この検定方法を用いて（この閾値を設定して）帰無仮説を棄却することを繰り返した場合に第一種の誤りが起こる確率であり、言わばこの検定の性質のようなもの。

有意水準とは、この検定方法を用いて（この閾値を設定して）帰無仮説を棄却することを繰り返した場合に第一種の誤りが起こる確率であり、言わばこの検定の性質のようなもの。例えば、「有意水準5%で帰無仮説が棄却されたのだから、このコインが普通のコインである確率は 5%以下だ」というのがよくある勘違いだが、そのような確率を考えることはできない。 0 1 10 2 3
4 5 6 7 9 8 θ＝0.25 閾値第一種の誤りの確率は、閾値以上の回数表が出る合計確率α 有意水準＝帰無仮説を棄却する 0.0 0.1 0.2 帰無仮説が真である場合にも、ある程度の確率で発生するのに切り捨ててしまう

0 1 10 2 3 4 5 6 7 9
8 θ＝0.25 C A B 0.0 0.1 0.2 α9.5✕10−5 % α7.8% α2.0% A B C 全部表だったときのみ帰無仮説を棄却する場合、第二種の誤りの確率 αは9.5✕10−5% 6回以上表だったとき帰無仮説を棄却する場合、第二種の誤りの確率 αは2.0% 5回以上表だったとき帰無仮説を棄却する場合、第二種の誤りの確率 αは7.8%

A 全部表だったときのみ帰無仮説を棄却する場合、第二種の誤りの確率 αは9.5✕10−5% B 6回以上表だったとき帰無仮説を棄却する場合、第二種の誤りの確率 αは2.0% C 5回以上表だったとき帰無仮説を棄却する場合、第二種の誤りの確率 αは7.8% 0
1 10 2 3 4 5 6 7 9 8 θ＝0.25 C A B 有意水準α 5%以下 0.0 0.1 0.2 α9.5✕10−5 % α7.8% α2.0%

A 全部表だったときのみ帰無仮説を棄却する場合、第二種の誤りの確率 αは9.5✕10−5% B 6回以上表だったとき帰無仮説を棄却する場合、第二種の誤りの確率 αは2.0% C 5回以上表だったとき帰無仮説を棄却する場合、第二種の誤りの確率 αは7.8% 0
1 10 2 3 4 5 6 7 9 8 θ＝0.25 C A B 有意水準α 5%以下 0.0 0.1 0.2 α9.5✕10−5 % α7.8% α2.0% 帰無仮説が真だった場合に誤って棄却してしまう確率は小さくなっていくが、帰無仮説が偽だった場合に誤って棄却されない確率は大きくなっていく

0 1 10 2 3 4 5 6 7 9
8 θ＝0.25 θ＝0.75 0.0 0.1 0.2 0.0 0.1 0.2

0 1 10 2 3 4 5 6 7 9
8 θ＝0.25 θ＝0.75 閾値帰無仮説を棄却する帰無仮説を棄却しない 0.0 0.1 0.2 0.0 0.1 0.2

0 1 10 2 3 4 5 6 7 9
8 θ＝0.25 θ＝0.75 閾値帰無仮説を棄却する帰無仮説を棄却しない 0.0 0.1 0.2 0.0 0.1 0.2 真

0 1 10 2 3 4 5 6 7 9
8 θ＝0.25 θ＝0.75 0.0 0.1 0.2 0.0 0.1 0.2 閾値帰無仮説を棄却する帰無仮説を棄却しない第一種の誤りの確率は、閾値以上の回数表が出る合計確率α 真

0 1 10 2 3 4 5 6 7 9
8 θ＝0.25 θ＝0.75 0.0 0.1 0.2 0.0 0.1 0.2 閾値帰無仮説を棄却する帰無仮説を棄却しない第一種の誤りの確率は、閾値以上の回数表が出る合計確率α 第二種の誤りの確率は、閾値以下の回数表が出る合計確率β 真

0 1 10 2 3 4 5 6 7 9
8 θ＝0.25 θ＝0.75 0.0 0.1 0.2 0.0 0.1 0.2 C A B α9.5✕10−5 % α7.8% α2.0% 真

0 1 10 2 3 4 5 6 7 9
8 θ＝0.25 θ＝0.75 0.0 0.1 0.2 0.0 0.1 0.2 C A B A 全部表だったときのみ帰無仮説を棄却する場合、第二種の誤りの確率 βは94.4% B 6回以上表だったとき帰無仮説を棄却する場合、第二種の誤りの確率 βは7.8% C 5回以上表だったとき帰無仮説を棄却する場合、第二種の誤りの確率 βは2.0% 真 β94.4% β2.0% β7.8% α9.5✕10−5 % α7.8% α2.0%

0 1 10 2 3 4 5 6 7 9
8 θ＝0.25 θ＝0.75 0.0 0.1 0.2 0.0 0.1 0.2 C A B 真 β94.4% β2.0% β7.8% α9.5✕10−5 % α7.8% α2.0% 第一種の誤りの確率と第二種の誤りの確率はトレードオフの関係にある

普通のコイン表が出る確率1/4 レアコイン表が出る確率3/4 問題この国の昔の100ベリーコインは1/4の確率で表が出る。レアコインは 3/4の確率で裏が出る。ある日あなたはレアコインが非常に安値で売っているのを発見した。 10回投げて判断することが許される場合、 10回中何回以上表が出た時にあなたはレアコインで
あると判断して、このコインを買い取るだろうか。 10回投げた結果からどちらかを判断する帰無仮説対立仮説

普通のコイン表が出る確率1/4 レアコイン表が出る確率3/4 帰無仮説対立仮説実際の検定の流れ 20回に1回程度は誤って帰無仮説を棄却してしまっても仕方がないと考えるということ ①
有意水準を設定する（5%に設定されることが多い）問題この国の昔の100ベリーコインは1/4の確率で表が出る。レアコインは 3/4の確率で裏が出る。ある日あなたはレアコインが非常に安値で売っているのを発見した。 10回投げて判断することが許される場合、 10回中何回以上表が出た時にあなたはレアコインであると判断して、このコインを買い取るだろうか。

このように得られたデータと同等かそれ以上に極端な値が得られる確率をp値と呼ぶある意味、得られたデータのあり得なさそうな程度を表す普通のコイン表が出る確率1/4 レアコイン表が出る確率3/4 帰無仮説対立仮説実際の検定の流れ
20回に1回程度は誤って帰無仮説を棄却してしまっても仕方がないと考えるということ ① 有意水準を設定する（5%に設定されることが多い） ② 今、コインを投げたところ6回表が出たとする帰無仮説が正しいと仮定して、コインが 6回以上表が出る確率を計算すると2.0%となる問題この国の昔の100ベリーコインは1/4の確率で表が出る。レアコインは 3/4の確率で裏が出る。ある日あなたはレアコインが非常に安値で売っているのを発見した。 10回投げて判断することが許される場合、 10回中何回以上表が出た時にあなたはレアコインであると判断して、このコインを買い取るだろうか。

このように得られたデータと同等かそれ以上に極端な値が得られる確率をp値と呼ぶある意味、得られたデータのあり得なさそうな程度を表す普通のコイン表が出る確率1/4 レアコイン表が出る確率3/4 帰無仮説対立仮説実際の検定の流れ
20回に1回程度は誤って帰無仮説を棄却してしまっても仕方がないと考えるということ ① 有意水準を設定する（5%に設定されることが多い） ② 今、コインを投げたところ6回表が出たとする帰無仮説が正しいと仮定して、コインが 6回以上表が出る確率を計算すると2.0%となる ③ p値がαよりも小さいので、帰無仮説を棄却する問題この国の昔の100ベリーコインは1/4の確率で表が出る。レアコインは 3/4の確率で裏が出る。ある日あなたはレアコインが非常に安値で売っているのを発見した。 10回投げて判断することが許される場合、 10回中何回以上表が出た時にあなたはレアコインであると判断して、このコインを買い取るだろうか。帰無仮説が正しいとしたときには、あまり起こりにくいようなことが今起こっていると考えていると言える

• 有意水準5%で帰無仮説が棄却されたということは、証明したい仮説が正しい確率が 95%であるということを意味しないし、仮説検定それ自体は、当該仮説の真偽について、直接的には何も判断を下さない ◦ 同じ状況に対して同じ検定を適用した時に、どの程度の割合で正しい答えを出すのかの頻度を表すにすぎない • 有意水準や検出力といった確率はあくまで、仮説検定という手法自身の性質（「どれくらいの割
合で間違うか」）であって、その適用対象である仮説の性質（「仮説の確からしさ」）や、その個別な適用結果である判断の性質（「判断の確からしさ」）ではない ◦ 頻度主義では「このコインを次投げて表が出る確率は 1/2である」という命題が意味をなさないのと同様に、今まさに帰無仮説を棄却したという結果の正答率なるものを考えることはできない頻度主義統計学の推測に対する考え方まとめ③：仮説検定

• 頻度主義統計学が主張するのは、あくまで推定手法の妥当性であるにも関わらず、それらの手法によって推定された結果を我々人類は根拠あるものとして受け入れてきた ◦ 点推定の結果は今回どの程度母数に近いのかは分からず、区間推定によって推定された信頼区間は実際に母数を含んでいるのかは保証せず、仮説検定それ自体は、当該仮説の真偽について、直接的には何も判断を下さないが、統計学推定の推定結果を我々は意思決定に使っている ▪ 例：統計的仮説検定に基づいて効果があると認識された医薬品薬を我々は飲んでいる
• これは、（意識しているかどうかに関わらず、）妥当な推定手法によって推定された結果には、正しいと信じるべき一定の根拠があると了解しているということになる ◦ 推定手法やプロセスが正しければ、真理に近づくことができるという共通認識を持っている（いい道具を使っていれば推定結果もある程度正しいはず）頻度主義の正当化概念

頻度主義統計学の考え方・論理展開まとめ • 頻度主義統計学は、確率をあくまで頻度として扱う ◦ パラメータについての仮説・命題がどの程度正しそうかを確率的に表すことはできない ▪ 「例：平均身長が170cm以上である確率、A群の平均の重さよりも B群の平均の重さの方が大きい確率」といった確率を表すことはできない •
「母集団を真の確率分布を持つデータ発生装置とみなし、真の確率分布から一個一個のデータが発生してサンプルが構成されるという見方」＝「頻度主義的統計モデリング」を導入する ◦ サンプルは確率的に変動すると見なす一方で、母集団と母数は実際に観測可能かどうかに関わらず一意に決まるものと考える • 推定を行うのに、事前に推定方法の確率的・統計的な性質を知っておく必要がある ◦ 今の推定が当たっているかではなく、何度もその推定方法を繰り返した時に妥当な推定できいるか？を主張するのが頻度主義統計学という学問

頻度主義が批判されているポイント • 論理体系が回りくどくて分かりにくい（でしょ？） • そもそも一意に定まる母集団なんてものが存在するの？パラメータも一意の値を取るものなの？ ◦ サニーレタスの母集団って何？未来永劫サニーレタスは生まれ続けるけど？ ◦ 研究中の〇〇という肥料を与えたサニーレタスの母集団って何？
• パラメータについての仮説・命題がどの程度正しそうかを確率的に表すことはできない ◦ 「例：平均身長が170cm以上である確率、A群の平均の重さよりもB群の平均の重さの方が大きい確率」といった確率を表すことはできない

まとめ

• 頻度主義では、確率は客観的な頻度として捉え、「仮説が正しい確率」というものを考えることはできない ◦ 「例：平均身長が170cm以上である確率、A群の平均の重さよりもB群の平均の重さの方が大きい確率」といった確率を表すことはできない • 頻度主義統計学の推測に対する考え方まとめ②

• そもそも、観察・実験・調査を用いた経験主義的な科学の限界は、（全体から見た時に）一部の標本での結果しか得られないこと ◦ 例えば、薬の臨床試験では、限られた人間でしか実験できず、「誰がやっても」「他の人間でも」「将来に渡って」同様の効果を得られるかどうかは極論分からない＝科学の本質である、客観性・普遍性・再現性は本質的には担保され得ない •
だからこそ、確率論的にデータの背後に潜む規則や構造を推察することで、帰納的推論を可能にするために統計学という学問は存在している • 統計学は、科学的手法を確率論的に正当化することで、19世紀後半〜20世紀以降の科学の発展を支えてきた「縁の下の力持ち的学問」＝近代科学を科学たらしめてきた ◦ 現代統計学の金字塔となったR.A.Fisherの著書の名は『研究者のための統計的方法』 ◦ 例えば、実験心理学の父ヴィルヘルム・ヴントは、心理学に実験と統計学的分析を導入することで、それまでの哲学的な心理学とは異なる実証的な心理学という境地を拓いたなぜ統計学が必要とされるのか？ ?

だからこそ、確率論的にデータの背後に潜む規則や構造を推察することで、帰納的推論を可能にするために統計学という学問は存在している • 統計学は、科学的手法を確率論的に正当化することで、19世紀後半〜20世紀以降の科学の発展を支えてきた「縁の下の力持ち的学問」＝近代科学を科学たらしめてきた ◦ 現代統計学の金字塔となったR.A.Fisherの著書の名は『研究者のための統計的方法』 ◦ 例えば、実験心理学の父ヴィルヘルム・ヴントは、心理学に実験と統計学的分析を導入することで、それまでの哲学的な心理学とは異なる実証的な心理学という境地を拓いたなぜ統計学が必要とされるのか？

だからこそ、「観察されたデータに数学を応用」し、帰納的推論を可能にするために統計学という学問は存在している • 統計学は、科学的手法を確率論的に正当化することで、19世紀後半〜20世紀以降の科学の発展を支えてきた「縁の下の力持ち的学問」＝近代科学を科学たらしめてきた ◦ 現代統計学の金字塔となったR.A.Fisherの著書の名は『研究者のための統計的方法』 ◦ 例えば、実験心理学の父ヴィルヘルム・ヴントは、心理学に実験と統計学的分析を導入することで、それまでの哲学的な心理学とは異なる実証的な心理学という境地を拓いたなぜ統計学が必要とされるのか？

「我々はどのようにして真なる知識を獲得できるのか？」なぜ統計学が必要とされるのか？

「我々はどのようにして真なる知識を獲得できるのか？」なぜ統計学が必要とされるのか？というソクラテスの時代から続く哲学的問題に人類は、

「我々はどのようにして真なる知識を獲得できるのか？」なぜ統計学が必要とされるのか？というソクラテスの時代から続く哲学的問題に人類は、「適切な統計処理によって結論が証明※されているのであれば、正しいだろう、科学的知識と認めてよいだろう」という共通認識を得ることで、心の安寧を得て、科学的進歩に邁進することができるようになった

• 帰納推論が、「知っていることを元手に知らないことを推測する」という非演繹的推論である以上、疑いの余地のない論理的な推論を行うことは不可能 ◦ 統計学にできるのは、あくまで推論を正当化しようする試みでしかない • 帰納推論を「どのように正当化することが正しいのか」＝「どのように正当化すべきか」という問いが決着することはおそらく永遠にない ◦ 自分の行なっている正当化手法が哲学的問題を孕むことに自覚的になり、展開している議論が真理
促進的かに厳しい批判の目を向け続ける必要がある • 統計学は帰納推論に確率論的思考の枠組みを与えたことで、帰納推論の正当化のための議論を簡単にした一方で、本質的な危うさに無自覚にした最後に〜統計学に関する哲学的諸注意

Appendix

母集団が正規分布の場合の標本分布母集団「真の」確率モデル正規分布xxxxxx μ σ2 母平均μ

確率的に発生していると見なす

μ σ2 母平均μ 標本の値の分布 N回試行「真の」確率モデル正規分布xxxxxx

μ σ2 母平均μ 標本の値の分布「真の」確率モデル正規分布xxxxxx

μ σ2 母平均μ 標本の値の分布「真の」確率モデル正規分布xxxxxx 標本平均標本分布（標本平均の分布）

μ σ2 母平均μ 標本の値の分布「真の」確率モデル正規分布xxxxxx 標本平均標本分布（標本平均の分布）全くの別物

μ σ2 標本平均母平均μ 標本の値の分布「真の」確率モデル正規分布xxxxxx 標本分布（標本平均の分布）全くの別物

μ σ2 標本平均母平均μ 標本分布（標本平均の分布）標本の値の分布「真の」確率モデル正規分布xxxxxx 全くの別物

μ σ2 μ 標本平均母平均μ 標本分布（標本平均の分布）標本の値の分布「真の」確率モデル正規分布xxxxxx 全くの別物

μ σ2 μ 標本平均一致する母平均μ 標本分布（標本平均の分布）標本の値の分布「真の」確率モデル正規分布xxxxxx 全くの別物

μ σ2 μ 標本平均一致する母平均μ 標本分布（標本平均の分布）標本の値の分布標本分布の平均（期待値）が、その統計量によって推定しようとしている母数の値に一致する時、その統計量は不偏性を持つというまた、普遍性をもつ統計量を母数の不偏推定量という「真の」確率モデル正規分布xxxxxx 全くの別物

母集団が正規分布の場合の標本分布データを抽出 n個母集団標本 μ σ2 μ 標本平均母平均μ
標本分布（標本平均の分布）標本の値の分布標本標本・・・一致する母集団の分布を正規分布だと仮定したときに、標本平均は母平均の不偏推定量になっているという性質を利用して、たまたま得られたサンプルの標本平均から母平均を推定することを不偏推定という「真の」確率モデル正規分布xxxxxx 全くの別物

標本分布（標本平均の分布）標本の値の分布標本標本・・・一致するそのままの値で推定する母集団の分布を正規分布だと仮定したときに、標本平均は母平均の不偏推定量になっているという性質を利用して、たまたま得られたサンプルの標本平均から母平均を推定することを不偏推定という「真の」確率モデル正規分布xxxxxx 全くの別物

標本分布（標本平均の分布）標本の値の分布標本標本・・・一致する母集団の分布を正規分布だと仮定したときに、標本平均は母平均の不偏推定量になっているという性質を利用して、たまたま得られたサンプルの標本平均から母平均を推定することを不偏推定という「真の」確率モデル正規分布xxxxxx そのままの値で推定する全くの別物

標本分布（標本平均の分布）標本の値の分布標本標本・・・一致する母集団の分布を正規分布だと仮定したときに、標本平均は母平均の不偏推定量になっているという性質を利用して、たまたま得られたサンプルの標本平均から母平均を推定することを不偏推定というたまに母平均から大きくハズレてしまうこともあるが平均的には母平均に近い値をとるはずであると見なす「真の」確率モデル正規分布xxxxxx そのままの値で推定する

母集団が正規分布の場合の標本分布データを抽出 m個母集団・・・ μ σ2 母平均μ
「真の」確率モデル正規分布xxxxxx

母集団が正規分布の場合の標本分布データを抽出 m個母集団・・・ μ σ2 標本平均
母平均μ 「真の」確率モデル正規分布xxxxxx

母集団が正規分布の場合の標本分布データを抽出 m個母集団・・・ μ σ2 μ
標本平均母平均μ 「真の」確率モデル正規分布xxxxxx

標本平均・・・データを抽出 n個母平均μ m << n 「真の」確率モデル正規分布xxxxxx

標本平均・・・データを抽出 n個母平均μ m << n サンプル数nが大きくなるほど、標本平均は母平均に近い値を取る確率が大きくなる「真の」確率モデル正規分布xxxxxx

母集団が任意の分布の標本分布母集団「真の」確率モデル母平均μ μ

母集団が任意の分布の標本分布データを抽出 m個母集団・・・「真の」確率モデル母平均μ μ

データを抽出 m個母集団・・・「真の」確率モデル母平均μ μ 母集団が任意の分布の標本分布

データを抽出 m個母集団・・・「真の」確率モデル標本平均母平均μ μ
母集団が任意の分布の標本分布

データを抽出 m個母集団・・・「真の」確率モデル μ 標本平均母平均μ
μ 一致する母集団が任意の分布の標本分布

μ ・・・データを抽出 n個 m << n 一致する母集団が任意の分布の標本分布

μ ・・・データを抽出 n個 m << n 一致する xxxxxxxのとき、正規分布xxxxxxxxに近づく中心極限定理母集団が任意の分布の標本分布

フリースローをθの確率で入れることができるSさんが、今10回フリースローを行うとする例えば、10回中7回入る確率は二項分布によるモデリング 10 C 7 θ7(1−θ)3 出典：『SLAM DUNK』

フリースローをθの確率で入れることができるSさんが、今10回フリースローを行うとする例えば、10回中7回入る確率は二項分布によるモデリング 10 C 7 θ7(1−θ)3 回数 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 二項分布Bin(x|10,θ)＝ 10 C x θx(1−θ)n−x 出典：『SLAM DUNK』

母集団がベルヌーイ分布の場合の標本分布母集団母比率θ 1.0 0.5 0 θ 1−θ 1 0

母集団がベルヌーイ分布の場合の標本分布データを抽出 n個母集団標本母比率θ 1.0 0.5 0 θ
1−θ 1 0 ＝

1−θ 1 0 ＝ n C x1 θx1(1−θ)n−x1

1−θ 1 0 ＝ n C x1 θx1(1−θ)n−x1 どのように推定するのがリーズナブルか？

母集団がベルヌーイ分布の場合の標本分布データを抽出 n個母集団標本標本標本・・・
母比率θ 標本比率 1.0 0.5 0 θ 1−θ 1 0 ＝＝＝

母比率θ 標本分布（標本比率の分布）標本比率＝＝＝ 1.0 0.5 0 θ 1−θ 1 0

母比率θ 標本分布（標本比率の分布）標本比率＝＝＝ Bin(x|n,θ)= n C x θx(1−θ)n−x 1.0 0.5 0 θ 1−θ 1 0

母比率θ 標本分布（標本比率の分布）標本比率＝＝＝ 1.0 0.5 0 θ 1−θ 1 0 平均θ Bin(x|n,θ)= n C x θx(1−θ)n−x

母比率θ 標本分布（標本比率の分布）標本比率＝＝＝ 1.0 0.5 0 θ 1−θ 1 0 一致する母比率θの不偏推定量 Bin(x|n,θ)= n C x θx(1−θ)n−x 平均θ

母比率θ 標本分布（標本比率の分布）標本比率＝＝＝ 1.0 0.5 0 θ 1−θ 1 0 一致する母比率θの不偏推定量 Bin(x|n,θ)= n C x θx(1−θ)n−x そのままの値で推定する平均θ

帰納推論と統計学 • 我々は、帰納推論を行うとき、推論の対象となっている未観測の事象は、推論の前提となっているこれまで観測されてきた事象と同様だろう、と無意識に想定している（『統計学を哲学する』）＝自然の斉一性仮定 • データは、背後にある確率モデルからランダムに抽出されるので、サンプルごとに変わるが、そのもととなる確率モデル自体は推論過程、あるいは未来を通じて同一に留まると仮定することで、データから確率モデルを推論することが可能であり、推論された確率モデルをもとに未来のデータも予測可能である
という形で、自然の斉一性を定式化している • 統計学の本領は、確率を用いて自然の斉一性を定式化することによって、限られたデータから帰納推論を正確に行い、さらにその推論の確からしさや信頼性を評価する枠組みを与えることである ◦ 統計学的議論の中では、統計モデリングはあくまで近似のための道具であると認めているが、自然の斉一性は真なるものとして仮定されていることには注意

• （①、②）頻度主義統計学における統計モデリングとは、得られたサンプルが、特定の確率分布にしたがう母集団から確率的に（たまたま）発生したと考えること • （③、④）統計モデリングに基づき、母集団の統計量（平均、分散、相関係数etc…）を統計的に推定することで母集団同士の比較や未知のデータの予測が可能になる ◦ 母集団の統計量（平均、分散、相関係数 etc…）を母数またはパラメータと呼ぶ頻度主義統計学における統計モデリングと点推定

頻度主義統計学における統計モデリングと点推定 • （①、②）頻度主義統計学における統計モデリングとは、得られたサンプルが、特定の確率分布にしたがう母集団から確率的に（たまたま）発生したと考えること →→ どのように統計モデリングをすればいいのか？ • （③、④）統計モデリングに基づき、母集団の統計量（平均、分散、相関係数etc…）を統計的に点推定することで母集団同士の比較や未知のデータの予測が可能になる
◦ 母集団の統計量（平均、分散、相関係数 etc…）を母数またはパラメータと呼ぶ →→ どのように母数を推定するのか？

頻度主義統計学における統計モデリングと点推定 • （①、②）頻度主義統計学における統計モデリングとは、得られたサンプルが、特定の確率分布にしたがう母集団から確率的に（たまたま）発生したと考えること →→ どのように統計モデリングをすればいいのか？ • （③、④）統計モデリングに基づき、母集団の統計量（平均、分散、相関係数etc…）を統計的に点推定することで母集団同士の比較や未知のデータの予測が可能になる
◦ 母集団の統計量（平均、分散、相関係数 etc…）を母数またはパラメータと呼ぶ →→ どのように母数を推定するのか？すでに論じてきた

対象の事象の性質に基づく分布族の当てはめ • 日本の中学生の男子の身長・体重 • 全国統一小学生テストの点数正規分布 1.0 0.5 0 θ
1−θ 1 0 ベルヌーイ分布二項分布 θ • コインを投げて裏表 • 靴を投げて裏表 • くじを引いて当たるか外れるか • フリースローを投げて入るか入らないか例えば、コイン投げであれば、コインが立つという第3の可能性を捨象している例えば、中学生男子の身長は、どこまでも大きい / 小さい値を取ることはないということを捨象している

頻度主義統計学における統計モデリングと点推定 • 推測統計では、大抵の場合、対象となる確率分布は、特定の関数形で与えられる分布（正規分布、二項分布、ポアソン分布、etc…）になると仮定する ◦ これらの分布は有限個のパラメータでその関数形が決定される ◦ このような対象の確率分布が特定の分布で与えられるとする考え方をパラメトリックと言う • パラメトリックな推測統計では、モデリングの対象を一定の範囲の分布（要は有名
で性質がよく知られた分布）に絞ることが一般的 • このようなモデリングを分析者が自らの考察・経験に基づき、主観的に行うことが統計学の難しさ ◦ 当然、分析者のモデリングがリーズナブルであるかは査定されるべき ◦ モデルの選択を定量的に行う手法も存在する

測する統計学の分類仮説検定頻度主義統計学統計的推定推測統計学ここも軽く触れておく

統計的仮説検定の考え方のイメージ 10回中9回表が出た本物のコインイカサマのコイン 10回中7回表が出た 0.879% 24.2% 11.7% 20.1%

統計的仮説検定の考え方のイメージ 10回中9回表が出た本物のコインイカサマのコイン 10回中7回表が出た 0.879% 24.2% 11.7% 20.1% 本物のコインだと仮定するとかなり奇跡
的なことが起こっているが、イカサマのコインだと仮定すれば、十分起こり得そうどちらのコインだと仮定してもあり得ないというほどのことが起こっているわけではない

的なことが起こっているが、イカサマのコインだと仮定すれば、十分起こり得そうどちらのコインだと仮定してもあり得ないというほどのことが起こっているわけではない本物のコインであるという仮説を棄却し、イカサマのコインであるという仮説を選択した方が妥当どちらの仮説も捨て去るほどでもなく、結果どちらの仮説を選択する方が妥当というのも言えない

データを抽出母集団A Aの標本データを抽出母集団B Bの標本頻度主義 A：弱い光を当てて育てた植物の重さ B：強い光を当てて育てた植物の重さ

サンプルにどれだけ差があるのかにはあまり興味がないデータを抽出母集団A Aの標本データを抽出母集団B Bの標本頻度主義 A：弱い光を当てて育てた植物の重さ
B：強い光を当てて育てた植物の重さ本当に知りたいのは、母集団に差があるのか

頻度主義データを抽出母集団A Aの標本データを抽出母集団B Bの標本 μ A σ
A 2 μ B σ B 2 母集団に差があるのか

A 2 μ B σ B 2 平均値差 μ A-B

A 2 μ B σ B 2 平均値差 μ A-B −

A 2 μ B σ B 2 平均値差 μ A-B − 0 帰無仮説

A 2 μ B σ B 2 平均値差 μ A-B − 0 帰無仮説 2.5%棄却域 2.5%棄却域

A 2 μ B σ B 2 平均値差 μ A-B − 0 帰無仮説 2.5%棄却域 2.5%棄却域帰無仮説を支持するには、あまりにも（？）起きづらい確率

A 2 μ B σ B 2 平均値差 μ A-B − 0 帰無仮説 2.5%棄却域 2.5%棄却域棄却する帰無仮説を支持するには、あまりにも（？）起きづらい確率

• 知りたいのは、サンプルではなく、あくまで母集団に差があるのか • 2つの母集団が正規分布のとき、母集団の平均値差/平均値差の標準偏差の分布はt分布になる • サンプルの標本平均値差が、母集団の平均値差を0とした時のt分布から発生したと仮定した時（帰無仮説）、その発生確率をp値と呼ぶ • p値
< 5%（1%）のとき、今得られたサンプルの標本平均値差は、非常に「珍しい」ものだと考え、元の帰無仮説を棄却する ◦ 帰無仮説が正しくない確率が 5%というわけでも、 2群の平均値差の検定

統計的仮説検定の考え方のイメージ 10回中9回表が出た本物のコインイカサマのコイン 10回中7回表が出た 0.879% 24.2% 11.7% 20.1%

的なことが起こっているが、イカサマのコインだと仮定すれば、十分起こり得そうどちらのコインだと仮定してもあり得ないというほどのことが起こっているわけではない

的なことが起こっているが、イカサマのコインだと仮定すれば、十分起こり得そうどちらのコインだと仮定してもあり得ないというほどのことが起こっているわけではない本物のコインであるという仮説を棄却し、イカサマのコインであるという仮説を選択した方が妥当どちらの仮説も捨て去るほどでもなく、結果どちらの仮説を選択する方が妥当というのも言えない

サンプルにどれだけ差があるのかにはあまり興味がないデータを抽出母集団A Aの標本データを抽出母集団B Bの標本頻度主義 A：弱い光を当てて育てた植物の重さ
B：強い光を当てて育てた植物の重さ本当に知りたいのは、母集団に差があるのか

A 2 μ B σ B 2 母集団に差があるのか

A 2 μ B σ B 2 平均値差 μ A-B

A 2 μ B σ B 2 平均値差 μ A-B −

A 2 μ B σ B 2 平均値差 μ A-B − 0 帰無仮説

A 2 μ B σ B 2 平均値差 μ A-B − 0 帰無仮説 2.5%棄却域 2.5%棄却域

A 2 μ B σ B 2 平均値差 μ A-B − 0 帰無仮説 2.5%棄却域 2.5%棄却域帰無仮説を支持するには、あまりにも（？）起きづらい確率

A 2 μ B σ B 2 平均値差 μ A-B − 0 帰無仮説 2.5%棄却域 2.5%棄却域棄却する帰無仮説を支持するには、あまりにも（？）起きづらい確率

• 知りたいのは、サンプルではなく、あくまで母集団に差があるのか • 2つの母集団が正規分布のとき、母集団の平均値差/平均値差の標準偏差の分布はt分布になる • サンプルの標本平均値差が、母集団の平均値差を0とした時のt分布から発生したと仮定した時（帰無仮説）、その発生確率をp値と呼ぶ • p値
< 5%（1%）のとき、今得られたサンプルの標本平均値差は、非常に「珍しい」ものだと考え、元の帰無仮説を棄却する ◦ 帰無仮説が正しくない確率が 5%というわけでも、 2群の平均値差の検定

頻度主義統計学を「完全に理解」しよう

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