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[輪読]時系列解析入門 第2章
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ysekky
February 18, 2015
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[輪読]時系列解析入門 第2章
ysekky
February 18, 2015
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Transcript
時系列解析入門 2章 共分散関数 Yoshifumi Seki (Gunosy Inc) 2015.02.17
2.1 時系列の分布と定常性 • ランダムな現象の特徴を捉える手段 – 平均 – 分散 – ヒストグラム
• 時系列の場合にも上記は有効か?
2つの時系列を指標で比較する 船舶の横揺れ
ヒストグラム 全く異なる2つの時系列が同じような特徴を持ってしまう
縦軸をy_n, 横軸をy_n-‐2にした散布図 方向角速度は相関がないが, 横揺れは2期前の値と強い正の相関があることがわかる
縦軸をy_n, 横軸をy_n-‐4にした散布図 方向角速度は4期前の値と強い負の相関があることがわかる
2.1 時系列の分布と定常性 • 時系列解析においては時間的な関連を無視 してy_nの分布だけを調べても時系列の特徴 は捉えられない • y_nとy_[n-‐k]の同時分布を見て関連を調べる 必要がある
• 平均値関数 – 時系列をyn = {y_1, …, y_N}とするとき, y_nの期待 値
• 自己共分散 – 時系列y_nと時刻をkだけシフトしたy_{n-‐k}との共 分散 – k = 0ではy_nの分散関数Var(y_n)
• 平均や共分散が時間をシフトしても変化しな い場合を考える – そうでない場合は8章以降 • lを時間のシフト量を表す任意の変数とする •
上記のような時系列を弱定常という – lシフトした時の同時分布が等しい時を強定常とい う
2.2 定常系列の自己共分散関数 • 定常性を仮定すると平均値関数は時刻に依 存しない一定の値となるので平均μと呼ぶ • 共分散は時間差だけに依存する量となるの でC_kと表せ, 自己共分散関数ともよばれる
– k = 0 のときは y_nの分散に等しい – 偶関数で|C_k| <= C_0が成り立つ – kはラグとも呼ぶ
2.2 定常系列の自己共分散関数 • y_nとy_{n-‐k}の相関係数をラグkの関数とみな したものを自己相関関数と呼ぶ • 定常時系列の場合にはVarは一定でCov0に なるので以下のようにもかける
例: 白色雑音 • 以下の条件をみたすときホワイトノイズとよば れる – 自己相関関数が常に0=>全く相関がない
自己共分散関数と自己相関関数の推定 • 定常時系列が与えられた時推定値は次の式に より求められる • 標本平均, 標本自己分散関数, 標本自己相関関 数とよばれる
船舶の方向角速度の自己相関関数 • 近い値については強い相関が ある • 振動しながら急速にゼロに近 づく •
若干の周期性はあるが, 遠くな ると相関がなくなりランダム性 が強まる
2.3 多変量時系列と散布図 • 散布図によって変量間の関係を把握すること ができる • 他の変数とも時間遅れの関係をみる必要が ある
– すべての組み合わせを散布図にしなければなら ない? • 相互共分散関数と相互相関関数が便利であ る
• 図2.3を貼る
2.4 相互共分散関数および相互相関関数 • 多変量時系列 • 平均ベクトル • i,
jとの共分散関数
• l × l 行列の相互共分散関数 • 相互相関関数