2023年度秋学期 統計学 第13回 不確かな測定の不確かさを測る ― 不偏分散とt分布 (2023. 12. 19)

関西大学総合情報学部　統計学（担当・浅野晃）
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2023a/STAT/

Transcript

1. 浅野　晃 関西大学総合情報学部 2023年度秋学期　統計学 不確かな測定の不確かさを測る ― 不偏分散とt分布 第１３回
2. 34 2 ちょっと（ほんのちょっと） 前回までの復習
3. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 3 例題 標本 をとりだす サイズ X1 , X2 , …, Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均 μ 母平均 の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布 と仮定する 母分散 がわかっているものとする σ2 （説明の都合です） 標本平均 ¯ X
4. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 4 数値をいくつか抽出して標本平均 標本平均にすることで ばらつきが小さくなる 仮に，何度も抽出したとすると 母平均（実際にはわからない） のまわりにばらついている 標本平均の期待値 ＝母平均 標本平均の分散 ＝母分散÷標本サイズ X X X X ★ ★ ★ ★
5. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 5 標本平均の左右に区間をつける 区間は母平均を 母平均 どの回の区間が 母平均を含むか・含まないかは わからないが 確率95%で母平均を含むように 区間の幅を設定できる X X X X 含む 含む 含まない 含む （実際にはわからない） 標本平均はばらついているが，前後に区間をつければ，母平均はたいてい その区間に入っているようにできる
6. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 信頼区間 6 区間は母平均を 母平均 X X X X 含むだろう 含む 含ま ない 含む （実際にはわからない） 95%という大きな確率で 母平均を含むように設定した区間だから， その１回でも含むと信じる 母平均の ［信頼係数］95%の ［信頼区間］ という （［95%信頼区間］）
7. 34 7 不偏分散💡💡
8. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 8 例題 標本 をとりだす サイズ X1 , X2 , …, Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均 μ 母平均 の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布 と仮定する 母分散 がわかっているものとする σ2 （説明の都合です） 標本平均 ¯ X
9. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 母分散は，ふつうはわからない 9 母集団全体は調べていないし，母平均もわからない （わからないから，いま推定しようとしている）
10. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 母分散は，ふつうはわからない 9 それなのに，母分散がわかるはずがない 母集団全体は調べていないし，母平均もわからない （わからないから，いま推定しようとしている）
11. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 母分散は，ふつうはわからない 9 それなのに，母分散がわかるはずがない 母集団全体は調べていないし，母平均もわからない （わからないから，いま推定しようとしている） 母分散の「代用品」を，標本を使って計算できないか。
12. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 10 分散＝(偏差)2の平均
13. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 10 分散＝(偏差)2の平均
14. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 10 分散＝(偏差)2の平均 （データの各数値）ー（データの平均）
15. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 10 標本を使って分散を計算する。 分散＝(偏差)2の平均 （データの各数値）ー（データの平均）
16. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 10 標本を使って分散を計算する。 分散＝(偏差)2の平均 （データの各数値）ー（データの平均） データ：　標本 , ... X1 Xn
17. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 10 標本を使って分散を計算する。 分散＝(偏差)2の平均 （データの各数値）ー（データの平均） データ：　標本 , ... X1 Xn データの平均：
18. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 10 標本を使って分散を計算する。 分散＝(偏差)2の平均 （データの各数値）ー（データの平均） データ：　標本 , ... X1 Xn データの平均： 本当は母平均だが，
19. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 10 標本を使って分散を計算する。 分散＝(偏差)2の平均 （データの各数値）ー（データの平均） データ：　標本 , ... X1 Xn わからないので標本平均 で代用 ¯ X データの平均： 本当は母平均だが，
20. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 11 標本を使った分散 S2 = 1 n (X1 − ¯ X)2 + (X2 − ¯ X)2 + · · · + (Xn − ¯ X)2
21. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 11 標本を使った分散 S2 = 1 n (X1 − ¯ X)2 + (X2 − ¯ X)2 + · · · + (Xn − ¯ X)2
22. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 11 標本サイズで割る 標本を使った分散 S2 = 1 n (X1 − ¯ X)2 + (X2 − ¯ X)2 + · · · + (Xn − ¯ X)2
23. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 11 標本サイズで割る 標本を使った分散 S2 = 1 n (X1 − ¯ X)2 + (X2 − ¯ X)2 + · · · + (Xn − ¯ X)2 分散＝(偏差)2の平均 だから当然だけど…
24. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 11 標本サイズで割る 標本を使った分散 S2 = 1 n (X1 − ¯ X)2 + (X2 − ¯ X)2 + · · · + (Xn − ¯ X)2 分散＝(偏差)2の平均 だから当然だけど… 本当にこれでいいの？
25. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2
26. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2
27. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2 X1
28. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2 X1 X2
29. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2 X1 X2 母平均
30. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2 X1 X2 母平均
31. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2 X1 母平均とのへだたり（偏差） X2 母平均
32. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 母平均とのへだたり（偏差） X2 母平均
33. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 母平均とのへだたり（偏差） X2 母平均
34. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 母平均とのへだたり（偏差） X2 標本平均とのへだたり 母平均
35. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 母平均とのへだたり（偏差） X2 標本平均とのへだたり 母平均
36. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 母平均とのへだたり（偏差） X1 X2 標本平均とのへだたり 母平均
37. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 X2 母平均とのへだたり（偏差） X1 X2 標本平均とのへだたり 母平均
38. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 X2 母平均とのへだたり（偏差） X1 X2 標本平均とのへだたり 母平均
39. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 X2 母平均とのへだたり（偏差） X1 X2 ¯ X 標本平均とのへだたり 母平均
40. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 X2 母平均とのへだたり（偏差） X1 X2 ¯ X 標本平均とのへだたり 母平均
41. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 X2 母平均とのへだたり（偏差） X1 X2 ¯ X 標本平均とのへだたり 母平均
42. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 X2 母平均とのへだたり（偏差） X1 X2 ¯ X 標本平均とのへだたり X1 母平均
43. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 X2 母平均とのへだたり（偏差） X1 X2 ¯ X 標本平均とのへだたり X2 X1 母平均
44. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 X2 母平均とのへだたり（偏差） X1 X2 ¯ X 標本平均とのへだたり X2 X1 母平均
45. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 X2 母平均とのへだたり（偏差） X1 X2 ¯ X 標本平均とのへだたり X2 X1 ¯ X 母平均
46. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 X2 母平均とのへだたり（偏差） X1 X2 ¯ X 標本平均とのへだたり X2 X1 ¯ X 母平均
47. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 X2 母平均とのへだたり（偏差） X1 X2 ¯ X 標本平均とのへだたり X2 X1 ¯ X 母平均 母平均はわからないから， が 偏った標本かどうかはわからないが， X1 , X2
48. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ とする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 X2 母平均とのへだたり（偏差） X1 X2 ¯ X 標本平均とのへだたり X2 X1 ¯ X 標本平均とのへだたりのほう がたいてい小さい 母平均 母平均はわからないから， が 偏った標本かどうかはわからないが， X1 , X2
49. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 13 別の説明 母集団の度数分布
50. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 13 別の説明 母集団の度数分布
51. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 13 別の説明 母集団の度数分布 ¯ X
52. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 13 別の説明 母集団の度数分布 これなら 「標本平均との隔たり」と 「母平均との隔たり」は かわらない ¯ X
53. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 13 別の説明 母集団の度数分布 これなら 「標本平均との隔たり」と 「母平均との隔たり」は かわらない ¯ X
54. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 13 別の説明 母集団の度数分布 これなら 「標本平均との隔たり」と 「母平均との隔たり」は かわらない ¯ X ¯ X
55. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 13 別の説明 母集団の度数分布 これなら 「標本平均との隔たり」と 「母平均との隔たり」は かわらない ¯ X こんなふうに偏っていると 「標本平均との隔たり」 のほうが小さい ¯ X
56. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 不偏分散 14 母平均との隔たりよりも 標本平均との隔たりのほうが たいてい小さい 標本平均との隔たりを使って分散を計算すると， 母分散よりもたいてい小さめになる
57. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 不偏分散 14 母平均との隔たりよりも 標本平均との隔たりのほうが たいてい小さい 標本平均との隔たりを使って分散を計算すると， 母分散よりもたいてい小さめになる では，計算のときに少し大きめにしておけば？
58. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 不偏分散 15 計算のときに少し大きめにする
59. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 不偏分散 15 計算のときに少し大きめにする s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯ X)2 + (X2 − ¯ X)2 + · · · + (Xn − ¯ X)2
60. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 不偏分散 15 計算のときに少し大きめにする s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯ X)2 + (X2 − ¯ X)2 + · · · + (Xn − ¯ X)2
61. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 不偏分散 15 計算のときに少し大きめにする s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯ X)2 + (X2 − ¯ X)2 + · · · + (Xn − ¯ X)2 （標本サイズ － 1)で割る
62. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 不偏分散 15 計算のときに少し大きめにする s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯ X)2 + (X2 − ¯ X)2 + · · · + (Xn − ¯ X)2 （標本サイズ － 1)で割る これを不偏分散（不偏標本分散）といい， 母分散の代用に用いる
63. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 不偏分散 15 計算のときに少し大きめにする s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯ X)2 + (X2 − ¯ X)2 + · · · + (Xn − ¯ X)2 （標本サイズ － 1)で割る これを不偏分散（不偏標本分散）といい， 母分散の代用に用いる 「不偏」とは？
64. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「不偏」とは？ 16 計算のときに少し大きめにすると？ 標本平均との隔たりを使って分散を計算すると， 母分散よりもたいてい小さめになる
65. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「不偏」とは？ 16 計算のときに少し大きめにすると？ 標本平均との隔たりを使って分散を計算すると， 母分散よりもたいてい小さめになる 母分散と一致するわけではないが 母分散より大きくも小さくも平等にはずれる
66. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「不偏」とは？ 16 計算のときに少し大きめにすると？ 標本平均との隔たりを使って分散を計算すると， 母分散よりもたいてい小さめになる 母分散と一致するわけではないが 母分散より大きくも小さくも平等にはずれる 「不偏」とは「えこひいきしない」こと
67. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本サイズ=2のときに，式で書いてみると 17 標本サイズ=2のとき，標本を ，標本平均を とすると 不偏分散 は X1 , X2 ¯ X s2 s2 = 1 2 − 1 (X1 − ¯ X)2 + (X2 − ¯ X)2 {}内は，2つの「へだたり」の2乗の和？ を代入すると ¯ X = X1 + X2 2 s2 = 1 2 − 1 (X1 − X1 + X2 2 )2 + (X2 − X1 + X2 2 )2 = 1 2 − 1 X1 − X2 2 2 + X2 − X1 2 2 = 1 2 − 1 (X1 − X2)2 2 「へだたり」は，ひとつしかない だから，2で割らずに1で割る
68. 34 18 不偏分散を用いた区間推定💡💡
69. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 19 前回の例題 ある試験の点数の分布は正規分布であるとします。 この試験の受験者から，10人からなる標本を無作為抽出して， この人たちの点数を平均したところ50点でした。 この試験の受験者全体の標準偏差が5点であるとわかっている とき，受験者全体の平均点の95%信頼区間を求めてください。
70. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 20 例題 標本 をとりだす サイズ X1 , X2 , …, Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均 μ 母平均 の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布 と仮定する 母分散 がわかっているものとする σ2 （説明の都合です） 標本平均 ¯ X
71. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 21 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布 N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが， 分散が になる 1/n 正規分布 N(μ, σ2/n) ［性質２］
72. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 22 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布 N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散が になる 1/n 正規分布 N(μ, σ2/n) ［性質２］ 正規分布の［性質１］により ¯ X Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0,1)
73. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 22 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布 N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散が になる 1/n 正規分布 N(μ, σ2/n) ［性質２］ 正規分布の［性質１］により ¯ X Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0,1)
74. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 22 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布 N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散が になる 1/n 正規分布 N(μ, σ2/n) ［性質２］ 正規分布の［性質１］により ¯ X Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0,1)
75. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 22 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布 N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散が になる 1/n 正規分布 N(μ, σ2/n) ［性質２］ 正規分布の［性質１］により ¯ X Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0,1)
76. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当は，母分散はわからない 23 Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0,1)
77. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当は，母分散はわからない 23 Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0,1)
78. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当は，母分散はわからない 23 Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0,1) 本当は母分散はわからない
79. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当は，母分散はわからない 23 Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0,1) 本当は母分散はわからない 不偏分散で代用する
80. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当は，母分散はわからない 23 Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0,1) 本当は母分散はわからない 不偏分散で代用する t = ¯ X − µ s2/n
81. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当は，母分散はわからない 23 Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0,1) 本当は母分散はわからない 不偏分散で代用する t = ¯ X − µ s2/n
82. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当は，母分散はわからない 23 Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0,1) 本当は母分散はわからない 不偏分散で代用する t = ¯ X − µ s2/n 不偏分散
83. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当は，母分散はわからない 23 Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0,1) 本当は母分散はわからない 不偏分散で代用する t = ¯ X − µ s2/n 不偏分散 は何分布にしたがう？ t
84. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布 24 は t = ¯ X − µ s2/n t統計量
85. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布 24 は t = ¯ X − µ s2/n 自由度 の t分布にしたがう (n − 1) t統計量
86. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布 24 は t(n − 1) t = ¯ X − µ s2/n 自由度 の t分布にしたがう (n − 1) t統計量
87. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布 24 は t(n − 1) t = ¯ X − µ s2/n 自由度 の t分布にしたがう (n − 1) t統計量 （「スチューデントのt分布」という）
88. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布 24 は t(n − 1) t = ¯ X − µ s2/n 自由度 の t分布にしたがう (n − 1) t統計量 （「スチューデントのt分布」という）
89. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布 24 は t(n − 1) t = ¯ X − µ s2/n 自由度 の t分布にしたがう (n − 1) t統計量 （「スチューデントのt分布」という） 発見者ウィリアム・ゴセットのペンネーム
90. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布（母分散不明）の場合の区間推定 25 テキストの例題 ある試験の点数の分布は正規分布であるとします。 この試験の受験者から，10人からなる標本を無作為抽出して， この人たちの点数を平均したところ50点でした。 この10人の不偏分散が52点であるとき，受験者全体の平均点 の95%信頼区間を求めてください。
91. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布（母分散不明）の場合の区間推定 25 テキストの例題 ある試験の点数の分布は正規分布であるとします。 この試験の受験者から，10人からなる標本を無作為抽出して， この人たちの点数を平均したところ50点でした。 この10人の不偏分散が52点であるとき，受験者全体の平均点 の95%信頼区間を求めてください。
92. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布（母分散不明）の場合の区間推定 25 テキストの例題 ある試験の点数の分布は正規分布であるとします。 この試験の受験者から，10人からなる標本を無作為抽出して， この人たちの点数を平均したところ50点でした。 この10人の不偏分散が52点であるとき，受験者全体の平均点 の95%信頼区間を求めてください。 前回は 「受験者全体の標準偏差が5点であるとわかっている」
93. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 26 例題 標本 をとりだす サイズ X1 , X2 , …, Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均 μ 母平均 の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布 と仮定する 母分散 がわか σ2 標本平均 ¯ X らないので，
94. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 26 例題 標本 をとりだす サイズ X1 , X2 , …, Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均 μ 母平均 の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布 と仮定する 母分散 がわか σ2 標本平均 ¯ X らないので， 不偏分散 で代用 s2
95. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 27 は自由度 の t分布にしたがう (n − 1) の 確率密度関数 t(n − 1) t = ¯ X − µ s2/n t(n − 1)
96. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 27 は自由度 の t分布にしたがう (n − 1) の 確率密度関数 t(n − 1) t = ¯ X − µ s2/n t(n − 1)
97. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 27 この区間に入っている確率=95%とすると は自由度 の t分布にしたがう (n − 1) の 確率密度関数 t(n − 1) が t = ¯ X − µ s2/n t = ¯ X − µ s2/n t(n − 1)
98. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 27 この区間に入っている確率=95%とすると は自由度 の t分布にしたがう (n − 1) の 確率密度関数 t(n − 1) が 面積=95% t = ¯ X − µ s2/n t = ¯ X − µ s2/n t(n − 1)
99. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 27 この区間に入っている確率=95%とすると は自由度 の t分布にしたがう (n − 1) の 確率密度関数 t(n − 1) が 面積=95% 境界の値はいくら？ t = ¯ X − µ s2/n t = ¯ X − µ s2/n t(n − 1)
100. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 28 面積=95% 面積=2.5% （左右で5%）
101. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 28 面積=95% 面積=2.5% （左右で5%） 境界の値は自由度によってちがうので
102. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 28 面積=95% 面積=2.5% （左右で5%） 境界の値は自由度によってちがうので t0.025 (n − 1) としておく
103. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 28 面積=95% 面積=2.5% （左右で5%） 境界の値は自由度によってちがうので t0.025 (n − 1) としておく ［上側2.5%点］
104. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 29 この区間に入っている確率=95% が 面積=95% t = ¯ X − µ s2/n t(n − 1)
105. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 29 この区間に入っている確率=95% が 面積=95% t = ¯ X − µ s2/n t(n − 1)
106. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 29 この区間に入っている確率=95% が 面積=95% t = ¯ X − µ s2/n t0.025 (n − 1) t(n − 1)
107. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 29 この区間に入っている確率=95% が 面積=95% t = ¯ X − µ s2/n t0.025 (n − 1) −t0.025 (n − 1) t(n − 1)
108. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 30 が と の間に入っている確率が95% −t0.025 (n − 1) t0.025 (n − 1) t = ¯ X − µ s2/n
109. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 30 式で書くと が と の間に入っている確率が95% −t0.025 (n − 1) t0.025 (n − 1) t = ¯ X − µ s2/n
110. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 30 式で書くと が と の間に入っている確率が95% −t0.025 (n − 1) t0.025 (n − 1) t = ¯ X − µ s2/n P −t0.025(n − 1) ¯ X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95
111. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 30 式で書くと が と の間に入っている確率が95% −t0.025 (n − 1) t0.025 (n − 1) の式に直すと μ t = ¯ X − µ s2/n P −t0.025(n − 1) ¯ X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95
112. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 30 式で書くと が と の間に入っている確率が95% −t0.025 (n − 1) t0.025 (n − 1) の式に直すと μ t = ¯ X − µ s2/n P −t0.025(n − 1) ¯ X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
113. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 31 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
114. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 31 の95% 信頼区間の下限 μ P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
115. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 31 の95% 信頼区間の下限 μ の95% 信頼区間の上限 μ P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
116. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 31 の95% 信頼区間の下限 μ の95% 信頼区間の上限 μ 例題では P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
117. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 31 の95% 信頼区間の下限 μ の95% 信頼区間の上限 μ 例題では 標本平均=50 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
118. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 31 の95% 信頼区間の下限 μ の95% 信頼区間の上限 μ 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
119. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 31 の95% 信頼区間の下限 μ の95% 信頼区間の上限 μ 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
120. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 31 の95% 信頼区間の下限 μ の95% 信頼区間の上限 μ 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 上側2.5%点　 　は？ t0.025 (n − 1) P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
121. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布表 32 面積=2.5% t0.025 (n − 1)
122. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布表 32 面積=2.5% t0.025 (n − 1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498
123. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布表 32 面積=2.5% t0.025 (n − 1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 自由度
124. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布表 32 面積=2.5% パーセントの値 t0.025 (n − 1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 自由度
125. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布表 32 面積=2.5% パーセントの値 例題では n − 1 = 9 t0.025 (n − 1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 自由度
126. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布表 32 面積=2.5% パーセントの値 例題では n − 1 = 9 0.025 t0.025 (n − 1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 自由度
127. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布表 32 面積=2.5% パーセントの値 例題では n − 1 = 9 0.025 t0.025 (9) = 2.262 t0.025 (n − 1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 自由度
128. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 33 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
129. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 33 例題では P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
130. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 33 例題では 標本平均=50 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
131. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 33 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
132. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 33 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
133. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 33 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
134. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 33 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 t0.025 (10 − 1) = 2.262
135. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 33 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 t0.025 (10 − 1) = 2.262 計算すると，例題の答は 「46.4以上53.6以下」（ [46.4, 53.6] ） の95% 信頼区間の下限 μ の95% 信頼区間の上限 μ
136. 34 2023年度秋学期　統計学 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 前回の例題と比較 34 不偏分散は，母分散の推定量なので，不確か どちらも 標本平均=50 不偏分散=25　のとき 標本サイズ=10 母分散=25　のとき 母平均の95%信頼区間は [46.9, 53.1] [46.4, 53.6] →信頼区間が広い