2023年度秋学期 応用数学（解析）第12回 複素関数論ダイジェスト（１）複素関数・正則関数 (2023. 12. 14)

関西大学総合情報学部　応用数学（解析）（担当・浅野晃）
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2023a/AMA/

Transcript

1. 浅野　晃 関西大学総合情報学部 2023年度秋学期　応用数学（解析） 第４部・「その先の解析学」への導入 複素関数論ダイジェスト(1) 複素関数・正則関数 第１２回
2. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 応用数学（解析）は 2 ここから先の”「その先の解析学」への導入”は， 「ちょっとかっこいい数学」への入口です 複素関数論ダイジェスト（2回） 測度論ダイジェスト（2回） 本来は，それぞれ半期15回をかけて学ぶ科目です🎓🎓 ここでは，「雰囲気💭💭」を説明します
3. 25 3
4. 25 3 「複素関数」で いったい何をやろうというのか🤔🤔
5. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 こんな積分は 4 まっとうには求められません。 ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx 1
6. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 こんな積分は 4 まっとうには求められません。 そこで ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx 1
7. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 こんな積分は 4 まっとうには求められません。 そこで ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx 1 x 数直線を
8. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 こんな積分は 4 まっとうには求められません。 そこで ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx 1 x 数直線を y
9. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 こんな積分は 4 まっとうには求められません。 そこで ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx 1 x 数直線を y 複素平面に拡張
10. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 こんな積分は 4 まっとうには求められません。 そこで ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx 1 x 数直線を 実部 y 虚部 複素平面に拡張 z = x + yi
11. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 こんな積分は 4 まっとうには求められません。 そこで ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx 1 x 数直線を 実部 y 虚部 複素平面に拡張 z = x + yi こういう周C上で C
12. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 こんな積分は 4 まっとうには求められません。 そこで ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx 1 x 数直線を 実部 y 虚部 複素平面に拡張 z = x + yi こういう周C上で C C 1 z4 + 1 dz 　 　 を計算すると
13. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 こんな積分は 4 まっとうには求められません。 そこで ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx 1 x 数直線を 実部 y 虚部 複素平面に拡張 z = x + yi こういう周C上で C C 1 z4 + 1 dz 　 　 を計算すると 上の積分も求まる
14. 25 5
15. 25 5 複素数と複素関数🤔🤔
16. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数と複素関数 6 複素数 虚部 実部 z = x + yi （ は実数， ） x, y i = −1
17. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数と複素関数 6 複素数で定義された関数が［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x + yi （ は実数， ） x, y i = −1
18. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数と複素関数 6 複素数で定義された関数が［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x + yi （ は実数， ） x, y i = −1 複素平面
19. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数と複素関数 6 複素数で定義された関数が［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x + yi （ は実数， ） x, y i = −1 複素平面 x y
20. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数と複素関数 6 複素数で定義された関数が［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x + yi （ は実数， ） x, y i = −1 複素平面 x y ・ z = x + yi
21. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数と複素関数 6 複素数で定義された関数が［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x + yi （ は実数， ） x, y i = −1 複素平面 x y ・ z = x + yi x
22. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数と複素関数 6 複素数で定義された関数が［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x + yi （ は実数， ） x, y i = −1 複素平面 x y ・ z = x + yi x y
23. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数と複素関数 6 複素数で定義された関数が［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x + yi （ は実数， ） x, y i = −1 複素平面 実軸 x y 虚軸 ・ z = x + yi x y
24. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数と複素関数 6 複素数で定義された関数が［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x + yi （ は実数， ） x, y i = −1 複素平面 実軸 x y 虚軸 ・ z = x + yi x y r
25. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数と複素関数 6 複素数で定義された関数が［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x + yi （ は実数， ） x, y i = −1 複素平面 実軸 x y 虚軸 ・ z = x + yi x y r θ
26. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数と複素関数 6 複素数で定義された関数が［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x + yi （ は実数， ） x, y i = −1 複素平面 実軸 x y 虚軸 ・ z = x + yi x y r θ r cosθ
27. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数と複素関数 6 複素数で定義された関数が［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x + yi （ は実数， ） x, y i = −1 複素平面 実軸 x y 虚軸 ・ z = x + yi x y r θ r cosθ r sinθ
28. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数と複素関数 6 複素数で定義された関数が［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x + yi （ は実数， ） x, y i = −1 複素平面 実軸 x y 虚軸 ・ z = x + yi x y r θ r cosθ r sinθ z = r(cos θ + i sin θ)
29. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数と複素関数 6 複素数で定義された関数が［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x + yi （ は実数， ） x, y i = −1 複素平面 実軸 x y 虚軸 ・ z = x + yi x y r θ r cosθ r sinθ ［絶対値］ z = r(cos θ + i sin θ)
30. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数と複素関数 6 複素数で定義された関数が［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x + yi （ は実数， ） x, y i = −1 複素平面 実軸 x y 虚軸 ・ z = x + yi x y r θ r cosθ r sinθ ［絶対値］ ［偏角］ z = r(cos θ + i sin θ)
31. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数と複素関数 6 複素数で定義された関数が［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x + yi （ は実数， ） x, y i = −1 複素平面 実軸 x y 虚軸 ・ z = x + yi x y r θ r cosθ r sinθ ［絶対値］ ［偏角］ 複素数には大小はない 絶対値の大小がある z = r(cos θ + i sin θ)
32. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数の指数関数 7 実数の指数関数のテイラー展開 ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · ·
33. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数の指数関数 7 実数の指数関数のテイラー展開 ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · 複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · ·
34. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数の指数関数 7 実数の指数関数のテイラー展開 すると ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · 複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · ·
35. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数の指数関数 7 実数の指数関数のテイラー展開 すると ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · 複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · )
36. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数の指数関数 7 実数の指数関数のテイラー展開 すると ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · 複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · )
37. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数の指数関数 7 実数の指数関数のテイラー展開 すると ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · 複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cosθ のテイラー展開
38. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数の指数関数 7 実数の指数関数のテイラー展開 すると ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · 複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cosθ のテイラー展開 sinθ のテイラー展開
39. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数の指数関数 7 実数の指数関数のテイラー展開 すると ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · 複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cosθ のテイラー展開 sinθ のテイラー展開 よって eiθ = cos θ + i sin θ
40. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素数の指数関数 7 実数の指数関数のテイラー展開 すると ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · 複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cosθ のテイラー展開 sinθ のテイラー展開 よって eiθ = cos θ + i sin θ θ = π のとき eiπ + 1 = 0［オイラーの等式］
41. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 （ところで）テイラー展開について 8 テイラー展開 f(x) = f(a) + f′ (a) 1! (x − a) + f′ ′ (a) 2! (x − a)2 + ⋯ + f(n)(a) n! (x − a)n + ⋯ x a 関数 f(x) f(a)
42. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 （ところで）テイラー展開について 8 テイラー展開 f(x) = f(a) + f′ (a) 1! (x − a) + f′ ′ (a) 2! (x − a)2 + ⋯ + f(n)(a) n! (x − a)n + ⋯ x a 微分が1つもわからないと， 最初の位置 しか わからない f(a) 関数 f(x) f(a)
43. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 （ところで）テイラー展開について 8 テイラー展開 f(x) = f(a) + f′ (a) 1! (x − a) + f′ ′ (a) 2! (x − a)2 + ⋯ + f(n)(a) n! (x − a)n + ⋯ x a 微分が1つもわからないと， 最初の位置 しか わからない f(a) 定数関数 関数 f(x) f(a)
44. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 （ところで）テイラー展開について 8 テイラー展開 f(x) = f(a) + f′ (a) 1! (x − a) + f′ ′ (a) 2! (x − a)2 + ⋯ + f(n)(a) n! (x − a)n + ⋯ x a 微分が1つもわからないと， 最初の位置 しか わからない f(a) 1階微分 がわかると，進む方向がわかる f′ (a) 定数関数 関数 f(x) f(a)
45. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 （ところで）テイラー展開について 8 テイラー展開 f(x) = f(a) + f′ (a) 1! (x − a) + f′ ′ (a) 2! (x − a)2 + ⋯ + f(n)(a) n! (x − a)n + ⋯ x a 微分が1つもわからないと， 最初の位置 しか わからない f(a) 1階微分 がわかると，進む方向がわかる f′ (a) 定数関数 1次 関 数 関数 f(x) f(a)
46. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 （ところで）テイラー展開について 8 テイラー展開 f(x) = f(a) + f′ (a) 1! (x − a) + f′ ′ (a) 2! (x − a)2 + ⋯ + f(n)(a) n! (x − a)n + ⋯ x a 微分が1つもわからないと， 最初の位置 しか わからない f(a) 1階微分 がわかると，進む方向がわかる f′ (a) 2階微分 がわかると， 「進む方向の変化」がわかる f′ ′ (a) 定数関数 1次 関 数 関数 f(x) f(a)
47. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 （ところで）テイラー展開について 8 テイラー展開 f(x) = f(a) + f′ (a) 1! (x − a) + f′ ′ (a) 2! (x − a)2 + ⋯ + f(n)(a) n! (x − a)n + ⋯ x a 微分が1つもわからないと， 最初の位置 しか わからない f(a) 1階微分 がわかると，進む方向がわかる f′ (a) 2階微分 がわかると， 「進む方向の変化」がわかる f′ ′ (a) 定数関数 1次 関 数 2次関数 関数 f(x) f(a)
48. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 （ところで）テイラー展開について 8 テイラー展開 f(x) = f(a) + f′ (a) 1! (x − a) + f′ ′ (a) 2! (x − a)2 + ⋯ + f(n)(a) n! (x − a)n + ⋯ x a 微分が1つもわからないと， 最初の位置 しか わからない f(a) 1階微分 がわかると，進む方向がわかる f′ (a) 2階微分 がわかると， 「進む方向の変化」がわかる f′ ′ (a) 定数関数 1次 関 数 2次関数 3階微分 がわかると， 「『進む方向の変化』の変化」がわかる f′ ′ ′ (a) 関数 f(x) f(a)
49. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 （ところで）テイラー展開について 8 テイラー展開 f(x) = f(a) + f′ (a) 1! (x − a) + f′ ′ (a) 2! (x − a)2 + ⋯ + f(n)(a) n! (x − a)n + ⋯ x a 微分が1つもわからないと， 最初の位置 しか わからない f(a) 1階微分 がわかると，進む方向がわかる f′ (a) 2階微分 がわかると， 「進む方向の変化」がわかる f′ ′ (a) 定数関数 1次 関 数 2次関数 3次関数 3階微分 がわかると， 「『進む方向の変化』の変化」がわかる f′ ′ ′ (a) 関数 f(x) f(a)
50. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 （ところで）テイラー展開について 8 テイラー展開 f(x) = f(a) + f′ (a) 1! (x − a) + f′ ′ (a) 2! (x − a)2 + ⋯ + f(n)(a) n! (x − a)n + ⋯ x a 微分が1つもわからないと， 最初の位置 しか わからない f(a) 1階微分 がわかると，進む方向がわかる f′ (a) 2階微分 がわかると， 「進む方向の変化」がわかる f′ ′ (a) 定数関数 1次 関 数 2次関数 3次関数 3階微分 がわかると， 「『進む方向の変化』の変化」がわかる f′ ′ ′ (a) 関数 f(x) f(a) がすべてわかるなら，関数 の「行く末」はすべてわかる f(a), f′ (a), f′ ′ (a), …, f(n)(a), … f(x)
51. 25 9
52. 25 9 複素関数と微分 正則関数
53. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数の微分 10 複素関数の微分の定義は，実関数と同様 f′(z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 　 　
54. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数の微分 10 複素関数の微分の定義は，実関数と同様 f′(z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 　 　 ただし，変数は複素平面上にあるのが，大きな違い
55. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数の微分 10 複素関数の微分の定義は，実関数と同様 f′(z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 　 　 ただし，変数は複素平面上にあるのが，大きな違い
56. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数の微分 10 複素関数の微分の定義は，実関数と同様 f′(z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 　 　 複素関数 f(z) が，複素平面の領域 D で［正則］ ただし，変数は複素平面上にあるのが，大きな違い
57. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数の微分 10 複素関数の微分の定義は，実関数と同様 → f(z) が D 内のどこでも微分可能 f′(z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 　 　 複素関数 f(z) が，複素平面の領域 D で［正則］ ただし，変数は複素平面上にあるのが，大きな違い
58. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数の微分 10 複素関数の微分の定義は，実関数と同様 → f(z) が D 内のどこでも微分可能 f′(z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 　 　 複素関数 f(z) が，複素平面の領域 D で［正則］ ただし，変数は複素平面上にあるのが，大きな違い
59. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数の微分 10 複素関数の微分の定義は，実関数と同様 → f(z) が D 内のどこでも微分可能 f′(z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 　 　 複素関数 f(z) が，複素平面の領域 D で［正則］ ただし，変数は複素平面上にあるのが，大きな違い 複素平面上で微分可能とは？
60. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素平面上での「微分可能」 11 複素関数 f(z) が，複素平面上のある点 z で微分可能とは f′(z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 　 　
61. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素平面上での「微分可能」 11 複素関数 f(z) が，複素平面上のある点 z で微分可能とは 複素平面上で z + Δz が z にどのように近づいても，極限値はひとつに定まる f′(z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 　 　
62. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素平面上での「微分可能」 11 複素関数 f(z) が，複素平面上のある点 z で微分可能とは 複素平面上で z + Δz が z にどのように近づいても，極限値はひとつに定まる f′(z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 　 　
63. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素平面上での「微分可能」 11 複素関数 f(z) が，複素平面上のある点 z で微分可能とは 複素平面上で z + Δz が z にどのように近づいても，極限値はひとつに定まる f′(z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 　 　
64. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素平面上での「微分可能」 11 複素関数 f(z) が，複素平面上のある点 z で微分可能とは 複素平面上で z + Δz が z にどのように近づいても，極限値はひとつに定まる f′(z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 　 　
65. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素平面上での「微分可能」 11 複素関数 f(z) が，複素平面上のある点 z で微分可能とは 複素平面上で z + Δz が z にどのように近づいても，極限値はひとつに定まる f′(z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 　 　 実軸 虚軸 z z + Δz
66. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素平面上での「微分可能」 11 複素関数 f(z) が，複素平面上のある点 z で微分可能とは 複素平面上で z + Δz が z にどのように近づいても，極限値はひとつに定まる f′(z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 　 　 実軸 虚軸 z z + Δz
67. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素平面上での「微分可能」 11 複素関数 f(z) が，複素平面上のある点 z で微分可能とは 複素平面上で z + Δz が z にどのように近づいても，極限値はひとつに定まる f′(z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 　 　 実軸 虚軸 z z + Δz
68. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素平面上での「微分可能」 11 複素関数 f(z) が，複素平面上のある点 z で微分可能とは 複素平面上で z + Δz が z にどのように近づいても，極限値はひとつに定まる f′(z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 　 　 実軸 虚軸 z z + Δz
69. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素平面上での「微分可能」 11 複素関数 f(z) が，複素平面上のある点 z で微分可能とは 複素平面上で z + Δz が z にどのように近づいても，極限値はひとつに定まる f′(z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 　 　 実軸 虚軸 z z + Δz どのように近づいても，極限値は同じ
70. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素平面上での「微分可能」 11 複素関数 f(z) が，複素平面上のある点 z で微分可能とは 複素平面上で z + Δz が z にどのように近づいても，極限値はひとつに定まる f′(z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 　 　 実軸 虚軸 z z + Δz どのように近づいても，極限値は同じ 正則関数は，「折り目のないぐにゃぐにゃの板」
71. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正則関数を図示すると 12 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 f(z) = z 実軸 虚軸 f(z)の実部 色： f(z)の虚部 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 f(z) = z3 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ez MATLABで描画 参考：http://jp.mathworks.com/help/matlab/examples/functions-of-complex-variables.html
72. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正則でない例 13 f(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 MATLABで描画 参考：http://jp.mathworks.com/help/matlab/examples/functions-of-complex-variables.html
73. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正則でない例 13 f(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 こういう「穴」が問題になる MATLABで描画 参考：http://jp.mathworks.com/help/matlab/examples/functions-of-complex-variables.html
74. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシー・リーマンの関係式 14 複素関数 f(z) が正則である必要十分条件は z = x + yi とするとき f(z) = u(x, y) + iv(x, y) と表せるなら ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∂u ∂x = ∂v ∂y かつ ∂u ∂y = − ∂v ∂x
75. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシー・リーマンの関係式 14 複素関数 f(z) が正則である必要十分条件は z = x + yi とするとき f(z) = u(x, y) + iv(x, y) と表せるなら ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∂u ∂x = ∂v ∂y かつ ∂u ∂y = − ∂v ∂x 実軸 虚軸 z = x + yi
76. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシー・リーマンの関係式 14 複素関数 f(z) が正則である必要十分条件は z = x + yi とするとき f(z) = u(x, y) + iv(x, y) と表せるなら ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∂u ∂x = ∂v ∂y かつ ∂u ∂y = − ∂v ∂x 実軸 虚軸 z = x + yi 極限をとるときにどのように近づいてもよいので
77. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシー・リーマンの関係式 14 複素関数 f(z) が正則である必要十分条件は z = x + yi とするとき f(z) = u(x, y) + iv(x, y) と表せるなら ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∂u ∂x = ∂v ∂y かつ ∂u ∂y = − ∂v ∂x x + (y + Δy)i 実軸 虚軸 z = x + yi 極限をとるときにどのように近づいてもよいので
78. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシー・リーマンの関係式 14 複素関数 f(z) が正則である必要十分条件は z = x + yi とするとき f(z) = u(x, y) + iv(x, y) と表せるなら (x + Δx) + yi ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∂u ∂x = ∂v ∂y かつ ∂u ∂y = − ∂v ∂x x + (y + Δy)i 実軸 虚軸 z = x + yi 極限をとるときにどのように近づいてもよいので
79. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシー・リーマンの関係式 14 複素関数 f(z) が正則である必要十分条件は z = x + yi とするとき f(z) = u(x, y) + iv(x, y) と表せるなら (x + Δx) + yi ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∂u ∂x = ∂v ∂y かつ ∂u ∂y = − ∂v ∂x x + (y + Δy)i 実軸 虚軸 z = x + yi 極限をとるときにどのように近づいてもよいので この２通りを考える
80. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシー・リーマンの関係式 15 実軸 虚軸 z = x + yi (x + Δx) + yi x + (y + Δy)i この２通りの近づき方で極限値は等しいので を2通りの近づき方で表す f′ (z)
81. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシー・リーマンの関係式 15 実軸 虚軸 z = x + yi (x + Δx) + yi x + (y + Δy)i この２通りの近づき方で極限値は等しいので を2通りの近づき方で表す f′ (z)
82. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシー・リーマンの関係式 15 実軸 虚軸 z = x + yi (x + Δx) + yi x + (y + Δy)i この２通りの近づき方で極限値は等しいので を2通りの近づき方で表す f′ (z) f′(z) = lim ∆x→0 {u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} ((x + ∆x) + yi) − (x + yi) = lim ∆x→0 u(x + ∆x, y) − u(x, y) ∆x + i lim ∆x→0 v(x + ∆x, y) − v(x, y) ∆x = ∂u ∂x + i ∂v ∂x
83. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシー・リーマンの関係式 15 実軸 虚軸 z = x + yi (x + Δx) + yi x + (y + Δy)i この２通りの近づき方で極限値は等しいので を2通りの近づき方で表す f′ (z) f′(z) = lim ∆x→0 {u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} ((x + ∆x) + yi) − (x + yi) = lim ∆x→0 u(x + ∆x, y) − u(x, y) ∆x + i lim ∆x→0 v(x + ∆x, y) − v(x, y) ∆x = ∂u ∂x + i ∂v ∂x
84. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシー・リーマンの関係式 15 実軸 虚軸 z = x + yi (x + Δx) + yi x + (y + Δy)i この２通りの近づき方で極限値は等しいので を2通りの近づき方で表す f′ (z) f′(z) = lim ∆x→0 {u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} ((x + ∆x) + yi) − (x + yi) = lim ∆x→0 u(x + ∆x, y) − u(x, y) ∆x + i lim ∆x→0 v(x + ∆x, y) − v(x, y) ∆x = ∂u ∂x + i ∂v ∂x f′(z) = lim ∆y→0 {u(x, y + ∆y) + iv(x, y + ∆y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} (x + (y + ∆y)i) − (x + yi) = lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) i∆y + i lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) i∆y = −i lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) ∆y + lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) ∆y = ∂v ∂y − i ∂u ∂y
85. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシー・リーマンの関係式 15 実軸 虚軸 z = x + yi (x + Δx) + yi x + (y + Δy)i この２通りの近づき方で極限値は等しいので を2通りの近づき方で表す f′ (z) f′(z) = lim ∆x→0 {u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} ((x + ∆x) + yi) − (x + yi) = lim ∆x→0 u(x + ∆x, y) − u(x, y) ∆x + i lim ∆x→0 v(x + ∆x, y) − v(x, y) ∆x = ∂u ∂x + i ∂v ∂x f′(z) = lim ∆y→0 {u(x, y + ∆y) + iv(x, y + ∆y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} (x + (y + ∆y)i) − (x + yi) = lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) i∆y + i lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) i∆y = −i lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) ∆y + lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) ∆y = ∂v ∂y − i ∂u ∂y
86. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシー・リーマンの関係式 15 実軸 虚軸 z = x + yi (x + Δx) + yi x + (y + Δy)i この２通りの近づき方で極限値は等しいので を2通りの近づき方で表す f′ (z) f′(z) = lim ∆x→0 {u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} ((x + ∆x) + yi) − (x + yi) = lim ∆x→0 u(x + ∆x, y) − u(x, y) ∆x + i lim ∆x→0 v(x + ∆x, y) − v(x, y) ∆x = ∂u ∂x + i ∂v ∂x f′(z) = lim ∆y→0 {u(x, y + ∆y) + iv(x, y + ∆y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} (x + (y + ∆y)i) − (x + yi) = lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) i∆y + i lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) i∆y = −i lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) ∆y + lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) ∆y = ∂v ∂y − i ∂u ∂y これらが実部・虚部とも等しい
87. 25 16
88. 25 16 複素関数の積分
89. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実関数の積分 17 この面積を 求めたい … f(x) x f(x) x 長方形で近似 a b
90. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実関数の積分 17 この面積を 求めたい … f(x) x f(x) x x0 長方形で近似 a b xn
91. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実関数の積分 17 この面積を 求めたい … f(x) x f(x) x x0 長方形で近似 a b xn xi
92. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実関数の積分 17 この面積を 求めたい … f(x) x f(x) x x0 長方形で近似 a b xn xi xi+1
93. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実関数の積分 17 この面積を 求めたい … f(x) x f(x) x x0 長方形で近似 a b xn xi xi+1 ξi
94. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実関数の積分 17 この面積を 求めたい … f(x) x f(x) x x0 長方形で近似 高さ f(ξi) a b xn xi xi+1 ξi
95. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実関数の積分 17 この面積を 求めたい … f(x) x f(x) x x0 長方形で近似 高さ f(ξi) a b xn xi xi+1 ξi ∞ n−1 i=0 f(ξi)(xi+1 − xi)
96. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実関数の積分 17 この面積を 求めたい 区切りを無限に細かく かつ分点の間隔の最大値→0 … f(x) x f(x) x x0 長方形で近似 高さ f(ξi) a b xn xi xi+1 ξi ∞ n−1 i=0 f(ξi)(xi+1 − xi)
97. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実関数の積分 17 この面積を 求めたい 区切りを無限に細かく かつ分点の間隔の最大値→0 … f(x) x f(x) x x0 長方形で近似 高さ f(ξi) a b xn xi xi+1 ξi ∞ n−1 i=0 f(ξi)(xi+1 − xi) b a f(x)dx = lim n→∞ n−1 i=0 f(ξi)(xi+1 − xi)
98. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実関数の積分 17 この面積を 求めたい 区切りを無限に細かく かつ分点の間隔の最大値→0 … f(x) x f(x) x x0 長方形で近似 高さ f(ξi) a b 実関数の積分 xn xi xi+1 ξi ∞ n−1 i=0 f(ξi)(xi+1 − xi) b a f(x)dx = lim n→∞ n−1 i=0 f(ξi)(xi+1 − xi)
99. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数の積分 18 積分区間だけでなく複素平面のどこを通って積分するか［経路］が重要
100. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数の積分 18 積分区間だけでなく複素平面のどこを通って積分するか［経路］が重要 実軸 虚軸 経路C
101. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数の積分 18 積分区間だけでなく複素平面のどこを通って積分するか［経路］が重要 実軸 虚軸 経路C 経路を z = z(t) のように パラメータで表す
102. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数の積分 18 積分区間だけでなく複素平面のどこを通って積分するか［経路］が重要 実軸 虚軸 経路C 経路を z = z(t) のように パラメータで表す t t t
103. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数の積分 18 積分区間だけでなく複素平面のどこを通って積分するか［経路］が重要 実軸 虚軸 経路C 経路を z = z(t) のように パラメータで表す t t t
104. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数の積分 18 積分区間だけでなく複素平面のどこを通って積分するか［経路］が重要 実軸 虚軸 経路C 経路を z = z(t) のように パラメータで表す t t t z(ti) z(ti+1)
105. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数の積分 18 積分区間だけでなく複素平面のどこを通って積分するか［経路］が重要 実軸 虚軸 経路C 経路を z = z(t) のように パラメータで表す t t t z(ti) z(ti+1) ξi
106. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数の積分 18 積分区間だけでなく複素平面のどこを通って積分するか［経路］が重要 実軸 虚軸 経路C 経路を z = z(t) のように パラメータで表す t t t 経路の上に「板」が載っているイメージ （ただし「高さ」は複素数） z(ti) z(ti+1) ξi
107. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数の積分 18 積分区間だけでなく複素平面のどこを通って積分するか［経路］が重要 実軸 虚軸 経路C 経路を z = z(t) のように パラメータで表す t t t 経路の上に「板」が載っているイメージ （ただし「高さ」は複素数） z(ti) z(ti+1) ξi 「高さ」 f(ξi)
108. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数の積分 18 積分区間だけでなく複素平面のどこを通って積分するか［経路］が重要 実軸 虚軸 経路C 経路を z = z(t) のように パラメータで表す t t t 経路の上に「板」が載っているイメージ （ただし「高さ」は複素数） z(ti) z(ti+1) ξi 「高さ」 f(ξi) C f(z)dz = lim n→∞ n−1 i=0 f(ξi)(z(ti+1) − z(ti))
109. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数の積分 18 積分区間だけでなく複素平面のどこを通って積分するか［経路］が重要 実軸 虚軸 経路C 経路を z = z(t) のように パラメータで表す t t t 経路の上に「板」が載っているイメージ （ただし「高さ」は複素数） z(ti) z(ti+1) ξi 「高さ」 f(ξi) C f(z)dz = lim n→∞ n−1 i=0 f(ξi)(z(ti+1) − z(ti)) f(z) の経路 C に沿った積分
110. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正則関数と積分 19 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば F′(z) = f(z) ならば C f(z)dz = F(b) − F(a)
111. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正則関数と積分 19 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば F′(z) = f(z) ならば C f(z)dz = F(b) − F(a) 積分は経路に依存しない
112. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正則関数と積分 20 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば F′(z) = f(z) ならば C f(z)dz = F(b) − F(a) 積分は経路に依存しない
113. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正則関数と積分 20 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば F′(z) = f(z) ならば C f(z)dz = F(b) − F(a) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す　両端は z(0) = a, z(1) = b
114. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正則関数と積分 20 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば F′(z) = f(z) ならば C f(z)dz = F(b) − F(a) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す　両端は z(0) = a, z(1) = b C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt
115. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正則関数と積分 20 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば F′(z) = f(z) ならば C f(z)dz = F(b) − F(a) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す　両端は z(0) = a, z(1) = b （置換積分） C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt
116. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正則関数と積分 20 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば F′(z) = f(z) ならば C f(z)dz = F(b) − F(a) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す　両端は z(0) = a, z(1) = b （置換積分） C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt
117. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正則関数と積分 20 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば F′(z) = f(z) ならば C f(z)dz = F(b) − F(a) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す　両端は z(0) = a, z(1) = b （置換積分） C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt
118. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正則関数と積分 20 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば F′(z) = f(z) ならば C f(z)dz = F(b) − F(a) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す　両端は z(0) = a, z(1) = b （置換積分） C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt
119. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正則関数と積分 20 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば F′(z) = f(z) ならば C f(z)dz = F(b) − F(a) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す　両端は z(0) = a, z(1) = b （置換積分） C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt
120. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正則関数と積分 20 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば F′(z) = f(z) ならば C f(z)dz = F(b) − F(a) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す　両端は z(0) = a, z(1) = b dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt （置換積分） C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt
121. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正則関数と積分 20 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば F′(z) = f(z) ならば C f(z)dz = F(b) − F(a) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す　両端は z(0) = a, z(1) = b dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt （置換積分） C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt （合成関数の微分）
122. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正則関数と積分 20 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば F′(z) = f(z) ならば C f(z)dz = F(b) − F(a) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す　両端は z(0) = a, z(1) = b dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt （置換積分） C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt （合成関数の微分）
123. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正則関数と積分 20 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば F′(z) = f(z) ならば C f(z)dz = F(b) − F(a) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す　両端は z(0) = a, z(1) = b dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt （置換積分） C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt （合成関数の微分） C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a)
124. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正則関数と積分 20 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば F′(z) = f(z) ならば C f(z)dz = F(b) − F(a) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す　両端は z(0) = a, z(1) = b dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt （置換積分） C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt （合成関数の微分） C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a)
125. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 閉曲線に沿った積分 21 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば F′(z) = f(z) ならば C f(z)dz = F(b) − F(a) 積分は経路に依存しない さっきの定理
126. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 閉曲線に沿った積分 21 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば F′(z) = f(z) ならば C f(z)dz = F(b) − F(a) 積分は経路に依存しない さっきの定理 ということは，
127. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 閉曲線に沿った積分 21 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば F′(z) = f(z) ならば C f(z)dz = F(b) − F(a) 積分は経路に依存しない さっきの定理 ということは， 経路 C が単純閉曲線なら，始点も終点も同じだから ず C f(z)dz = 0 積分定 　
128. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 22 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば F′(z) = f(z) ならば 閉曲線に沿った積分 ず C f(z)dz = 0 積分定 　 　
129. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 22 実は 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば F′(z) = f(z) ならば 閉曲線に沿った積分 ず C f(z)dz = 0 積分定 　 　
130. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 22 実は 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば F′(z) = f(z) ならば 閉曲線に沿った積分 ず C f(z)dz = 0 積分定 　 　 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば ず C f(z)dz = 0 積分定 　 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で
131. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 22 実は 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば F′(z) = f(z) ならば 閉曲線に沿った積分 ず C f(z)dz = 0 積分定 　 　 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば ず C f(z)dz = 0 積分定 　 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で
132. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 22 実は 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば F′(z) = f(z) ならば 閉曲線に沿った積分 ず C f(z)dz = 0 積分定 　 　 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば ず C f(z)dz = 0 積分定 　 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で
133. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 22 実は 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば F′(z) = f(z) ならば 閉曲線に沿った積分 ず C f(z)dz = 0 積分定 　 　 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば ず C f(z)dz = 0 積分定 　 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で ［コーシーの積分定理］
134. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 22 実は 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば F′(z) = f(z) ならば 閉曲線に沿った積分 ず C f(z)dz = 0 積分定 　 　 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば ず C f(z)dz = 0 積分定 　 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で ［コーシーの積分定理］ 示唆しているのは
135. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 22 実は 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば F′(z) = f(z) ならば 閉曲線に沿った積分 ず C f(z)dz = 0 積分定 　 　 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば ず C f(z)dz = 0 積分定 　 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で ［コーシーの積分定理］ 示唆しているのは 正則関数の微分は正則関数
136. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 22 実は 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば F′(z) = f(z) ならば 閉曲線に沿った積分 ず C f(z)dz = 0 積分定 　 　 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば ず C f(z)dz = 0 積分定 　 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で ［コーシーの積分定理］ 示唆しているのは 正則関数の微分は正則関数 正則関数は何度でも微分できる
137. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 22 実は 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば F′(z) = f(z) ならば 閉曲線に沿った積分 ず C f(z)dz = 0 積分定 　 　 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば ず C f(z)dz = 0 積分定 　 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で ［コーシーの積分定理］ 示唆しているのは 正則関数の微分は正則関数 正則関数は何度でも微分できる （証明の概略に，次回で少し触れます）
138. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 22 実は 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば F′(z) = f(z) ならば 閉曲線に沿った積分 ず C f(z)dz = 0 積分定 　 　 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば ず C f(z)dz = 0 積分定 　 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で ［コーシーの積分定理］ 示唆しているのは 正則関数の微分は正則関数 正則関数は何度でも微分できる 注： 「領域内で正則」であって， 「経路上で正則」ではない （証明の概略に，次回で少し触れます）
139. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 22 実は 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば F′(z) = f(z) ならば 閉曲線に沿った積分 ず C f(z)dz = 0 積分定 　 　 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば ず C f(z)dz = 0 積分定 　 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で ［コーシーの積分定理］ 示唆しているのは 正則関数の微分は正則関数 正則関数は何度でも微分できる C f(z)dz 閉曲線上の積分を表す 注： 「領域内で正則」であって， 「経路上で正則」ではない （証明の概略に，次回で少し触れます）
140. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 23 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある閉曲線ならば コーシーの積分定理 証明は，グリーンの定理で ず C f(z)dz = 0 積分定 　 　 　
141. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 23 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある閉曲線ならば コーシーの積分定理 証明は，グリーンの定理で ず C f(z)dz = 0 積分定 　 　 　 C (Pdx + Qdy) = D′ ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy
142. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 23 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある閉曲線ならば コーシーの積分定理 証明は，グリーンの定理で ず C f(z)dz = 0 積分定 　 　 　 C (Pdx + Qdy) = D′ ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy ２次元関数
143. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 23 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある閉曲線ならば コーシーの積分定理 証明は，グリーンの定理で ず C f(z)dz = 0 積分定 　 　 　 閉曲線 C 上での（線）積分 C (Pdx + Qdy) = D′ ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy ２次元関数
144. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 23 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある閉曲線ならば コーシーの積分定理 証明は，グリーンの定理で ず C f(z)dz = 0 積分定 　 　 　 閉曲線 C 上での（線）積分 C (Pdx + Qdy) = D′ ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy ２次元関数 閉曲線 C に囲まれた領域 D´ 内での（面）積分
145. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 23 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある閉曲線ならば コーシーの積分定理 証明は，グリーンの定理で ず C f(z)dz = 0 積分定 　 　 　 閉曲線 C 上での（線）積分 C (Pdx + Qdy) = D′ ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy ２次元関数 閉曲線 C に囲まれた領域 D´ 内での（面）積分 線積分と面積分を交換
146. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 23 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある閉曲線ならば コーシーの積分定理 証明は，グリーンの定理で ず C f(z)dz = 0 積分定 　 　 　 閉曲線 C 上での（線）積分 C (Pdx + Qdy) = D′ ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy ２次元関数 閉曲線 C に囲まれた領域 D´ 内での（面）積分 f(z) = u(x, y) + iv(x, y) として 線積分と面積分を交換
147. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 23 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある閉曲線ならば コーシーの積分定理 証明は，グリーンの定理で ず C f(z)dz = 0 積分定 　 　 　 閉曲線 C 上での（線）積分 C (Pdx + Qdy) = D′ ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy ２次元関数 閉曲線 C に囲まれた領域 D´ 内での（面）積分 C f(z)dz = C {u(x, y) + iv(x, y)}(dx + idy) = C (udx − vdy) + i C (vdx + udy) = D′ − ∂v ∂x − ∂u ∂y dxdy + i D′ ∂u ∂x − ∂v ∂y dxdy f(z) = u(x, y) + iv(x, y) として 線積分と面積分を交換
148. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 23 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある閉曲線ならば コーシーの積分定理 証明は，グリーンの定理で ず C f(z)dz = 0 積分定 　 　 　 閉曲線 C 上での（線）積分 C (Pdx + Qdy) = D′ ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy ２次元関数 閉曲線 C に囲まれた領域 D´ 内での（面）積分 C f(z)dz = C {u(x, y) + iv(x, y)}(dx + idy) = C (udx − vdy) + i C (vdx + udy) = D′ − ∂v ∂x − ∂u ∂y dxdy + i D′ ∂u ∂x − ∂v ∂y dxdy f(z) = u(x, y) + iv(x, y) として 正則関数なので，コーシー・リーマンの 関係式よりどちらもゼロ 線積分と面積分を交換
149. 25 24
150. 25 24 問題🌀🌀
151. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題(1) 25 という関係をつかって， を指数関数で表してください。 eiθ = cos θ + i sin θ sin θ, cos θ より eiθ = cos θ + i sin θ e−iθ = cos(−θ) + i sin(−θ) = cos θ − i sin θ だから， だから， eiθ + e−iθ = 2 cos θ cos θ = eiθ + e−iθ 2 eiθ − e−iθ = 2i sin θ sin θ = eiθ − e−iθ 2i
152. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題(2) 26 の加法定理 を 三角関数と指数関数の関係を使って導いてください。 sin sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y を指数関数で表すと sin x cos y + cos x sin y sin x cos y + cos x sin y = eix − e−ix 2i · eiy + e−iy 2 + eix + e−ix 2 · eiy − e−iy 2i = 1 4i (eix − e−ix)(eiy + e−iy) + (eix + e−ix)(eiy − e−iy)
153. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題(2) 27 sin x cos y + cos x sin y = eix − e−ix 2i · eiy + e−iy 2 + eix + e−ix 2 · eiy − e−iy 2i = 1 4i (eix − e−ix)(eiy + e−iy) + (eix + e−ix)(eiy − e−iy) 右辺を展開して整理すると sin x cos y + cos x sin y = 1 4i (ei(x+y) − e−i(x+y)) + (ei(x−y) − e−i(x−y)) + (ei(x+y) − e−i(x+y)) − (ei(x−y) − e−i(x−y)) = 1 4i 2(ei(x+y) − e−i(x+y)) = ei(x+y) − e−i(x+y) 2i = sin(x + y)
154. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 今日のまとめ 28 複素関数 　複素数の指数関数 　複素関数の微分→「正則関数」 　複素関数の積分（経路に沿った積分） コーシーの積分定理 領域内で正則な関数を， 領域内の閉曲線に沿って積分すると０
155. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 今日のまとめ 28 複素関数 　複素数の指数関数 　複素関数の微分→「正則関数」 　複素関数の積分（経路に沿った積分） コーシーの積分定理 領域内で正則な関数を， 領域内の閉曲線に沿って積分すると０ 正則でない点を囲んで積分したら？
156. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 次回に向けて 29 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ez f(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 正則でない点を囲んで積分したら？
157. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 次回に向けて 29 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ez f(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 正則でない点を囲んで積分したら？
158. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 次回に向けて 29 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ez f(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 正則でない点を囲んで積分したら？ 積分は0
159. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 次回に向けて 29 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ez f(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 正則でない点を囲んで積分したら？ 積分は0
160. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 次回に向けて 29 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ez f(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 正則でない点を囲んで積分したら？ 積分は0 積分は？
161. 29 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 次回に向けて 29 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ez f(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 正則でない点を囲んで積分したら？ 積分は0 積分は？ 正則でない「穴」によって決まる