2024年度春学期　応用数学（解析）第3回　実数とは何か (2024. 4. 25)

関西大学総合情報学部浅野　晃応用数学（解析） 2024年度春学期第1部・「無限」の理解／第3回実数とは何か

拡張されていく「数」🤔🤔

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃拡張されていく「数」 3 1, 2, 3, … 自然数

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃拡張されていく「数」 3 …, -3, -2, -1, 0,
1, 2, 3, … 自然数

1, 2, 3, … 自然数整数

…, 2/3, 1/2, 1/3, … 1, 2, 3, … 自然数整数

…, 2/3, 1/2, 1/3, … 1, 2, 3, … 自然数整数有限小数と循環する無限小数

…, 2/3, 1/2, 1/3, … 1, 2, 3, … 自然数整数有理数有限小数と循環する無限小数

…, 2/3, 1/2, 1/3, … 1, 2, 3, … 自然数整数有理数 √2, 3√3 有限小数と循環する無限小数

…, 2/3, 1/2, 1/3, … 1, 2, 3, … 自然数整数有理数 √2, 3√3 π, e 有限小数と循環する無限小数

…, 2/3, 1/2, 1/3, … 1, 2, 3, … 自然数整数有理数 √2, 3√3 π, e 有限小数と循環する無限小数循環しない無限小数

…, 2/3, 1/2, 1/3, … 1, 2, 3, … 自然数整数有理数 √2, 3√3 π, e 無理数有限小数と循環する無限小数循環しない無限小数

…, 2/3, 1/2, 1/3, … 1, 2, 3, … 自然数整数有理数 √2, 3√3 π, e 無理数実数有限小数と循環する無限小数循環しない無限小数

…, 2/3, 1/2, 1/3, … 今日扱うのは「実数の連続性を示す方法」 1, 2, 3, … 自然数整数有理数 √2, 3√3 π, e 無理数実数有限小数と循環する無限小数循環しない無限小数

…, 2/3, 1/2, 1/3, … 今日扱うのは「実数の連続性を示す方法」 1, 2, 3, … 自然数整数有理数 √2, 3√3 π, e 無理数実数有限小数と循環する無限小数循環しない無限小数いくつか挙げますが，どれも等価です

無限小数とカントールの公理🤔🤔

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃点と区間 5 「循環しない無限小数」は，　数直線上の一つの「点」なのか？ 1

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃点と区間 5 「循環しない無限小数」は，　数直線上の一つの「点」なのか？ 1 1.4

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃点と区間 5 「循環しない無限小数」は，　数直線上の一つの「点」なのか？ 1 1.4 1.41

1.414

1.414 1.4142

1.414 1.4142 √2 は「このへん」

1.414 1.4142 √2 は本当に「点」か？　よくわからない… √2 は「このへん」

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃点と区間 5 「循環しない無限小数」は，　数直線上の一つの「点」なのか？点ではなく［区間］で考える 1 1.4
1.41 1.414 1.4142 √2 は本当に「点」か？　よくわからない… √2 は「このへん」

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃閉区間と開区間 6 a < b のとき，a と
b の間にある数の集合→［区間］ a b 両端を含む　［閉区間］[a, b] 最小値はa，最大値はb 両端を含まない　［開区間］(a, b) 最小値・最大値が存在するかどうかは，数の種類による

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃カントールの公理 7 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃カントールの公理 7 実数は，「入れ子」の閉区間の極限で定義する循環しない無限小数 √2 =
1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃カントールの公理 7 実数は，「入れ子」の閉区間の極限で定義する 1 循環しない無限小数 √2
= 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃カントールの公理 7 実数は，「入れ子」の閉区間の極限で定義する 1 2 循環しない無限小数
√2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃カントールの公理 7 実数は，「入れ子」の閉区間の極限で定義する 1 2 [1,
2] 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃カントールの公理 7 実数は，「入れ子」の閉区間の極限で定義する 1 1.4 2
[1, 2] 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

1.5 [1, 2] 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

1.5 [1, 2] [1.4, 1.5] 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

1.5 1.41 [1, 2] [1.4, 1.5] 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

1.5 1.41 1.42 [1, 2] [1.4, 1.5] 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

1.5 1.41 1.42 [1, 2] [1.4, 1.5] [1.41, 1.42] 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

1.5 1.41 1.42 [1, 2] [1.4, 1.5] [1.41, 1.42] 1.414 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

1.5 1.41 1.42 [1, 2] [1.4, 1.5] [1.41, 1.42] 1.414 1.415 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

1.5 1.41 1.42 [1, 2] [1.4, 1.5] [1.41, 1.42] [1.414, 1.415] 1.414 1.415 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

1.5 1.41 1.42 [1, 2] [1.4, 1.5] [1.41, 1.42] [1.414, 1.415] ⋮ 1.414 1.415 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

1.5 1.41 1.42 [1, 2] [1.4, 1.5] [1.41, 1.42] [1.414, 1.415] ⋮ その極限が，√2 = 1.4142135…であるとする 1.414 1.415 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

実数とデデキントの切断✂

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃デデキントの切断 9 数直線をある場所で切断し，数の集合を「大きい方」と「小さい方」に分ける切断（ある集合の）すべての数を，「大きい方」
「小さい方」一方の組のどの数ももう一方の組のどの数よりも小さくなるように，２つの組に分ける

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃整数の切断 10 整数の場合 1 「大きい方」「小さい方」０

跳び(leap)ができる

跳び(leap)ができる最大値がある

跳び(leap)ができる最小値がある最大値がある

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃有理数の切断 11 有理数の場合 1（有理数）「大きい方」「小さい方」 1
「大きい方」「小さい方」

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃有理数の切断 11 有理数の場合 1（有理数）「大きい方」「小さい方」最小値がある
1 「大きい方」「小さい方」

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃有理数の切断 11 有理数の場合 1（有理数）「大きい方」「小さい方」最小値がある
「小さい方」の最大値がない 1よりも小さく 1にいくらでも近い有理数が存在する 1 「大きい方」「小さい方」

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃有理数の切断 11 有理数の場合 1（有理数）「大きい方」「小さい方」途切れ(gap)ができる
最小値がある「小さい方」の最大値がない 1よりも小さく 1にいくらでも近い有理数が存在する 1 「大きい方」「小さい方」

最小値がある「小さい方」の最大値がない 1よりも小さく 1にいくらでも近い有理数が存在する 1 「大きい方」「小さい方」最大値がある

最小値がある「小さい方」の最大値がない 1よりも小さく 1にいくらでも近い有理数が存在する 1 「大きい方」「小さい方」最大値がある「大きい方」の最小値がない 1よりも大きく 1にいくらでも近い有理数が存在する

最小値がある「小さい方」の最大値がない 1よりも小さく 1にいくらでも近い有理数が存在する 1 「大きい方」「小さい方」途切れができる最大値がある「大きい方」の最小値がない 1よりも大きく 1にいくらでも近い有理数が存在する

最小値がある「小さい方」の最大値がない 1よりも小さく 1にいくらでも近い有理数が存在する［稠密性］ 1 「大きい方」「小さい方」途切れができる最大値がある「大きい方」の最小値がない 1よりも大きく 1にいくらでも近い有理数が存在する

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃有理数の切断 12 有理数の場合こういう場合もある √2（無理数）「大きい方」「小さい方」

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃有理数の切断 12 有理数の場合こういう場合もある √2（無理数）「大きい方」「小さい方」途切れができるが

最大値がない

最小値がない最大値がない

最小値がない最大値がない √2よりも小さく √2にいくらでも近い有理数も √2よりも大きく √2にいくらでも近い有理数も

最小値がない最大値がない √2よりも小さく √2にいくらでも近い有理数も √2よりも大きく √2にいくらでも近い有理数もどちらも存在する

最小値がない最大値がない √2よりも小さく √2にいくらでも近い有理数も √2よりも大きく √2にいくらでも近い有理数もどちらも存在する「稠密」とは，いくらでも細かく「びっしり」と毛の植わっているブラシのようなもの

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃実数の切断 13 実数は，必ず下のどちらかになる「大きい方」「小さい方」切り口ができる最小値がある
「大きい方」「小さい方」切り口ができる最大値がある最大値がない最小値がない

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃実数の切断 13 実数は，必ず下のどちらかになるある実数a 「大きい方」「小さい方」切り口ができる
最小値がある「大きい方」「小さい方」切り口ができる最大値がある最大値がない最小値がない

最小値がある「大きい方」「小さい方」切り口ができる最大値がある最大値がない最小値がない aより小さい数（aを含まない）

最小値があるある実数a 「大きい方」「小さい方」切り口ができる最大値がある最大値がない最小値がない aより小さい数（aを含まない）

最小値があるある実数a 「大きい方」「小さい方」切り口ができる最大値がある最大値がない最小値がない aより小さい数（aを含まない） aより大きい数（aを含まない）

最小値がある稠密な上に［連続性］ある実数a 「大きい方」「小さい方」切り口ができる最大値がある最大値がない最小値がない aより小さい数（aを含まない） aより大きい数（aを含まない）

最小値がある稠密な上に［連続性］ある実数a 「大きい方」「小さい方」切り口ができる最大値がある最大値がない最小値がない実数とは，「切断の切り口」である aより小さい数（aを含まない） aより大きい数（aを含まない）

最小値がある稠密な上に［連続性］ある実数a 「大きい方」「小さい方」切り口ができる最大値がある最大値がない最小値がない実数とは，「切断の切り口」である aより小さい数（aを含まない） aより大きい数（aを含まない）「連続」とは，「べったり」と塗り付けられた塗料のようなもの

上限と下限ワイエルシュトラスの定理🤔🤔

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃有界，上界・下界，上限・下限 15 開区間には最大値も最小値もないが，上にも下にも限界はあるこの区間は

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃有界，上界・下界，上限・下限 15 開区間には最大値も最小値もないが，上にも下にも限界はあるこの区間は ↑ここに達する　
ことはない［上に有界］

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃有界，上界・下界，上限・下限 15 M 開区間には最大値も最小値もないが，上にも下にも限界はあるこの区間は ↑ここに達する
　ことはない［上に有界］

　ことはない［上に有界］ M

　ことはない［上に有界］ M M

　ことはない［上に有界］ M M このへんのM ［上界］

　ことはない［上に有界］ M M このへんのM ［上界］ M

　ことはない［上に有界］ M M このへんのM ［上界］最小の上界［上限(supremum, sup)］ M

　ことはない［上に有界］ここに達する↑ ことはない［下に有界］ M M このへんのM ［上界］最小の上界［上限(supremum, sup)］ M

　ことはない［上に有界］ここに達する↑ ことはない［下に有界］ M M このへんのM ［上界］ N 最小の上界［上限(supremum, sup)］ M

　ことはない［上に有界］ここに達する↑ ことはない［下に有界］ M M このへんのM ［上界］ N N 最小の上界［上限(supremum, sup)］ M

　ことはない［上に有界］ここに達する↑ ことはない［下に有界］ M M このへんのM ［上界］ N N N 最小の上界［上限(supremum, sup)］ M

　ことはない［上に有界］ここに達する↑ ことはない［下に有界］ M M このへんのM ［上界］ N N N このへんのN ［下界］最小の上界［上限(supremum, sup)］ M

　ことはない［上に有界］ここに達する↑ ことはない［下に有界］ M M このへんのM ［上界］ N N N このへんのN ［下界］最小の上界［上限(supremum, sup)］ N M

　ことはない［上に有界］ここに達する↑ ことはない［下に有界］ M M このへんのM ［上界］ N N N このへんのN ［下界］最小の上界［上限(supremum, sup)］最大の下界［下限(inÓmum, inf)］ N M

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃ワイエルシュトラスの定理 16 実数からなる集合が下（上）に有界ならば必ず下限（上限）が存在する

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃ワイエルシュトラスの定理 16 実数からなる集合が下（上）に有界ならば必ず下限（上限）が存在するデデキントの切断から導ける

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃ワイエルシュトラスの定理 16 実数からなる集合が下（上）に有界ならば必ず下限（上限）が存在するデデキントの切断から導ける実数からなるある集合Sが，下に有界とすると，

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃ワイエルシュトラスの定理 16 実数からなる集合が下（上）に有界ならば必ず下限（上限）が存在するデデキントの切断から導ける実数からなるある集合Sが，下に有界とすると， Sの下界でない数
Sの下界である数ある実数s

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃ワイエルシュトラスの定理 16 実数からなる集合が下（上）に有界ならば必ず下限（上限）が存在するデデキントの切断から導ける実数からなるある集合Sが，下に有界とすると，ある実数s
Sの下界でない数 Sの下界である数 Sの下界でない数 Sの下界である数ある実数s

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃ワイエルシュトラスの定理 16 実数からなる集合が下（上）に有界ならば必ず下限（上限）が存在するデデキントの切断から導ける実数からなるある集合Sが，下に有界とすると，ある実数s
Sの下界でない数 Sの下界である数 Sの下界でない数 Sの下界である数ある実数s どちらかの切断を形成し，実数sが定まる。下の切断なら，下限（最大の下界）が存在する。上の切断にならないことを示す

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃ワイエルシュトラスの定理 17 こちらの切断だとすると Sの下界でない数 Sの下界である数ある実数s

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃ワイエルシュトラスの定理 17 こちらの切断だとすると Sの下界でない数 Sの下界である数ある実数s Sの下界でない数のうちの最小の数

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃ワイエルシュトラスの定理 17 こちらの切断だとすると Sの下界でない数 Sの下界である数ある実数s 実数
s は，集合Sの下界でない数だから，集合Sを見ると Sの下界でない数のうちの最小の数

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 s 集合S （下界でない）ワイエルシュトラスの定理 17 こちらの切断だとすると Sの下界でない数
Sの下界である数ある実数s 実数 s は，集合Sの下界でない数だから，集合Sを見ると Sの下界でない数のうちの最小の数

Sの下界である数ある実数s 実数 s は，集合Sの下界でない数だから，集合Sを見ると Sの下界でない数のうちの最小の数 t s より小さな数 t が，集合Sに属しているはず

Sの下界である数ある実数s 実数 s は，集合Sの下界でない数だから，集合Sを見ると Sの下界でない数のうちの最小の数 t u s と t の間にある数 u も，集合Sに属しているはず s より小さな数 t が，集合Sに属しているはず

Sの下界である数ある実数s 実数 s は，集合Sの下界でない数だから，集合Sを見ると Sの下界でない数のうちの最小の数 t u s と t の間にある数 u も，集合Sに属しているはず s より小さな数 t が，集合Sに属しているはず u は t より大きいから，u は「集合Sの下界ではない数」である

Sの下界である数ある実数s 実数 s は，集合Sの下界でない数だから，集合Sを見ると Sの下界でない数のうちの最小の数 t u s と t の間にある数 u も，集合Sに属しているはず s より小さな数 t が，集合Sに属しているはず u は t より大きいから，u は「集合Sの下界ではない数」である s は u より大きい。

Sの下界である数ある実数s 実数 s は，集合Sの下界でない数だから，集合Sを見ると Sの下界でない数のうちの最小の数 t u s と t の間にある数 u も，集合Sに属しているはず s より小さな数 t が，集合Sに属しているはず u は t より大きいから，u は「集合Sの下界ではない数」である s は u より大きい。これは，「s は集合Sの下界ではない数のうちで最小」に矛盾　つまり，「こちらの切断ではない」

実数を定義する各公理・定理間の関係🤔🤔

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃カントールの公理とデデキントの切断 19 カントールの公理によって定まる実数は，デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか？

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃カントールの公理とデデキントの切断 19 カントールの公理によって定まる実数は，デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか？「大きい方」「小さい方」切断

a0

a0 b0

a0 b0 a1

a0 b0 a1 b1

a0 b0 a1 b1 ai, biの中点と， ai, biのうち中点と違う側にある点を，それぞれ ai+1, bi+1 とする

a0 b0 a1 b1 a2 ai, biの中点と， ai, biのうち中点と違う側にある点を，それぞれ ai+1, bi+1 とする

a0 b0 a1 b1 b2 a2 ai, biの中点と， ai, biのうち中点と違う側にある点を，それぞれ ai+1, bi+1 とする

a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 ai, biの中点と， ai, biのうち中点と違う側にある点を，それぞれ ai+1, bi+1 とする

a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ai, biの中点と， ai, biのうち中点と違う側にある点を，それぞれ ai+1, bi+1 とする

a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ai, biの中点と， ai, biのうち中点と違う側にある点を，それぞれ ai+1, bi+1 とする ⋮

a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ai, biの中点と， ai, biのうち中点と違う側にある点を，それぞれ ai+1, bi+1 とする ⋮ [ai, bi]の極限は，カントールの公理により，１つの実数 s を定める

a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ai, biの中点と， ai, biのうち中点と違う側にある点を，それぞれ ai+1, bi+1 とする ⋮ [ai, bi]の極限は，カントールの公理により，１つの実数 s を定めるこの s は，デデキントの切断による「切り口」にあるか？

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃カントールの公理とデデキントの切断 20 「大きい方」「小さい方」切断 a0 b0
a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t についてはどんなに t が s に近くても ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t についてはどんなに t が s に近くても s t ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t についてはどんなに t が s に近くても区間[ai, bi]がs に到達する途中で区間の右端（「大きい方」）が s と t の間に入るときがあるはず s t ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t についてはどんなに t が s に近くても区間[ai, bi]がs に到達する途中で区間の右端（「大きい方」）が s と t の間に入るときがあるはず [ai, bi] s t ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t についてはどんなに t が s に近くても区間[ai, bi]がs に到達する途中で区間の右端（「大きい方」）が s と t の間に入るときがあるはず [ai, bi] s t [ai, bi] ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t についてはどんなに t が s に近くても区間[ai, bi]がs に到達する途中で区間の右端（「大きい方」）が s と t の間に入るときがあるはず [ai, bi] s t [ai, bi] [ai, bi] ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t についてはどんなに t が s に近くても区間[ai, bi]がs に到達する途中で区間の右端（「大きい方」）が s と t の間に入るときがあるはず [ai, bi] s t [ai,bi] [ai, bi] [ai, bi] ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t についてはどんなに t が s に近くても区間[ai, bi]がs に到達する途中で区間の右端（「大きい方」）が s と t の間に入るときがあるはず t は「大きい方」に属する [ai, bi] s t [ai,bi] [ai, bi] [ai, bi] ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t についてはどんなに t が s に近くても区間[ai, bi]がs に到達する途中で区間の右端（「大きい方」）が s と t の間に入るときがあるはず s は「小さい方」の最大値である t は「大きい方」に属する [ai, bi] s t [ai,bi] [ai, bi] [ai, bi] ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t についてはどんなに t が s に近くても区間[ai, bi]がs に到達する途中で区間の右端（「大きい方」）が s と t の間に入るときがあるはず s は「小さい方」の最大値である t は「大きい方」に属する [ai, bi] s t [ai,bi] [ai, bi] [ai, bi] ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る「大きい方」に最小値はない

a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t についてはどんなに t が s に近くても区間[ai, bi]がs に到達する途中で区間の右端（「大きい方」）が s と t の間に入るときがあるはず s は「小さい方」の最大値である t は「大きい方」に属する [ai, bi] s t [ai,bi] [ai, bi] [ai, bi] ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る「大きい方」に最小値はない → s は切断の切り口で，「小さい方」にある

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃実数の連続性を示すさまざまな公理 21 カントールの公理　実数は入れ子の閉区間の極限ワイエルシュトラスの定理　　実数の集合が有界ならば，上限か下限があるデデキントの切断による公理　　実数は切断の「切り口」いずれも同値である

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃実数の連続性を示すさまざまな公理 21 カントールの公理　実数は入れ子の閉区間の極限ワイエルシュトラスの定理　　実数の集合が有界ならば，上限か下限があるデデキントの切断による公理　　実数は切断の「切り口」実数の有界な単調数列は収束する　　（これは次回）
いずれも同値である

連続性裁判〜こんな数学，何か役に立つの？〜🤔🤔

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃連続性裁判 23 映画の著作権 1953年公開の映画の著作権は 50年後の2003年末で消滅？公開から50年後の年の年末まで有効 →2004年1月1日から「70年」に延長

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃連続性裁判 24 1953年公開の映画の著作権は

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃連続性裁判 24 1953年公開の映画の著作権はビデオ業者の言い分

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃連続性裁判 24 1953年公開の映画の著作権は 2004年 2003年 12月31日24時ビデオ業者の
言い分

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃連続性裁判 24 1953年公開の映画の著作権は 2003年12月31日24時で著作権が消滅したので 2004年 2003年
12月31日24時ビデオ業者の言い分

12月31日24時 2004年1月1日からの新法は適用されないビデオ業者の言い分

12月31日24時 2004年1月1日からの新法は適用されないビデオ業者の言い分文化庁の言い分

12月31日24時 2004年1月1日からの新法は適用されないビデオ業者の言い分 2004年 2003年 12月31日24時＝1月1日0時文化庁の言い分

12月31日24時 2004年1月1日からの新法は適用されないビデオ業者の言い分 2003年12月31日24時と 2004年1月1日0時は同じ時刻だから 2004年 2003年 12月31日24時＝1月1日0時文化庁の言い分

12月31日24時 2004年1月1日からの新法は適用されないビデオ業者の言い分 2003年12月31日24時と 2004年1月1日0時は同じ時刻だから 2004年 2003年 12月31日24時＝1月1日0時 2004年1月1日からの新法が適用され，著作権はあと20年有効文化庁の言い分

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃裁判の結果は 25

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃裁判の結果は 25 「2003年12月31日24時」と「2004年1月1日0時」の　2つの名前が同じ時刻をさすことはない 2003年12月31日24時で著作権が消滅したので 2004年
2003年 12月31日24時 2004年1月1日からの新法は適用されないビデオ業者の言い分こちらが認められた。

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃裁判の結果は 25 「2003年12月31日24時」と「2004年1月1日0時」の　2つの名前が同じ時刻をさすことはない 2003年12月31日24時で著作権が消滅したので 2004年
2003年 12月31日24時 2004年1月1日からの新法は適用されないビデオ業者の言い分こちらが認められた。「時の流れは連続」

問題🌀🌀

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃問題の解説 27 有理数の間には有理数しかないと仮定する🤔🤔 a, b 相異なる２つの有理数の間には必ず無理数があること
を証明してください。を無理数とすると，は有理数なので，も無理数 m a, b m − a b − a となる整数が存在する n − 1 < m − a b − a < n n

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃問題の解説 27 有理数の間には有理数しかないと仮定する🤔🤔 a, b 相異なる２つの有理数の間には必ず無理数があること
を証明してください。を無理数とすると，は有理数なので，も無理数 m a, b m − a b − a となる整数が存在する n − 1 < m − a b − a < n n （の整数部分が） m − a b − a n − 1

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃問題の解説 28 となる整数が存在する n −
1 < m − a b − a < n n

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃問題の解説 28 a < m − (n
− 1)(b − a) となる整数が存在する n − 1 < m − a b − a < n n

− 1)(b − a) となる整数が存在する n − 1 < m − a b − a < n n m − a < n(b − a)

− 1)(b − a) となる整数が存在する n − 1 < m − a b − a < n n m − a < n(b − a) m + (n − 1)a < nb m + (n − 1)a − (n − 1)b < b m − (n − 1)(b − a) < b

− 1)(b − a) となる整数が存在する n − 1 < m − a b − a < n n m − a < n(b − a) m + (n − 1)a < nb m + (n − 1)a − (n − 1)b < b m − (n − 1)(b − a) < b a < m − (n − 1)(b − a) < b

− 1)(b − a) となる整数が存在する n − 1 < m − a b − a < n n m − a < n(b − a) m + (n − 1)a < nb m + (n − 1)a − (n − 1)b < b m − (n − 1)(b − a) < b a < m − (n − 1)(b − a) < b 無

− 1)(b − a) となる整数が存在する n − 1 < m − a b − a < n n m − a < n(b − a) m + (n − 1)a < nb m + (n − 1)a − (n − 1)b < b m − (n − 1)(b − a) < b a < m − (n − 1)(b − a) < b 無整

− 1)(b − a) となる整数が存在する n − 1 < m − a b − a < n n m − a < n(b − a) m + (n − 1)a < nb m + (n − 1)a − (n − 1)b < b m − (n − 1)(b − a) < b a < m − (n − 1)(b − a) < b 無整有

− 1)(b − a) となる整数が存在する n − 1 < m − a b − a < n n m − a < n(b − a) m + (n − 1)a < nb m + (n − 1)a − (n − 1)b < b m − (n − 1)(b − a) < b a < m − (n − 1)(b − a) < b 無整有有

− 1)(b − a) となる整数が存在する n − 1 < m − a b − a < n n m − a < n(b − a) m + (n − 1)a < nb m + (n − 1)a − (n − 1)b < b m − (n − 1)(b − a) < b a < m − (n − 1)(b − a) < b 無整有有無理数

− 1)(b − a) となる整数が存在する n − 1 < m − a b − a < n n m − a < n(b − a) m + (n − 1)a < nb m + (n − 1)a − (n − 1)b < b m − (n − 1)(b − a) < b a < m − (n − 1)(b − a) < b 有理数の間には有理数しかないという仮定に矛盾する🌀🌀 a, b 無整有有無理数

29 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃今日のまとめ 29 実数の連続性を示す方法実数の「連続性」カントールの公理デデキントの切断による公理ワイエルシュトラスの定理

2024年度春学期 応用数学（解析）第3回 実数とは何か (2024. 4. 25)

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2024年度春学期　応用数学（解析）第3回　実数とは何か (2024. 4. 25)

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