2026年度秋学期　応用数学（解析）　第1部・「無限」の理解／第4回　収束とは何か，ε - δ 論法 (2026. 10. 16)

2026年度秋学期応用数学（解析）第1部・「無限」の理解／第4回収束とは何か，ε-δ論法関西大学総合情報学部浅野晃

微分を習ったときの説明💡💡

何かごまかされている気がする🤔🤔

微分の説明関数 f(x) = x2 の微分 df (x) f (x
+ h) − f (x) = lim h→0 dx h 2 2 (x + h) − x = lim h→0 h h(2x + h) = lim h→0 h = lim (2x + h) = 2x h→0 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 4 30

+ h) − f (x) = lim h→0 dx h 2 2 (x + h) − x = lim h→0 h h はゼロに近づいているだけで， h(2x + h) ゼロではないから， = lim h→0 h 分母分子を h で割る = lim (2x + h) = 2x h→0 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 4 30

+ h) − f (x) = lim h→0 dx h 2 2 (x + h) − x = lim h→0 h h はゼロに近づいているだけで， h(2x + h) ゼロではないから， = lim h→0 h 分母分子を h で割る = lim (2x + h) = 2x h→0 やっぱり h はゼロ 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 4 30

+ h) − f (x) = lim h→0 dx h 2 2 (x + h) − x = lim h→0 h h はゼロに近づいているだけで， h(2x + h) ゼロではないから， = lim h→0 h 分母分子を h で割る = lim (2x + h) = 2x h→0 やっぱり h はゼロこれっておかしくありませんか？ 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 4 30

収束＝「限りなく近づく」ことの意味🤔🤔

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α
+ ε] (ε > 0) を設定しても， 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 6 30

+ ε] (ε > 0) を設定しても， α 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 6 30

+ ε] (ε > 0) を設定しても， α ε ε 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 6 30

+ ε] (ε > 0) を設定しても， α α–ε α+ε ε ε 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 6 30

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは α α–ε α+ε ε ε a1
2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 7 30

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば α α–ε α+ε
ε ε a1 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 7 30

ε ε a2 a1 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 7 30

ε ε a3 a2 a1 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 7 30

ε ε … a3 a2 a1 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 7 30

ε ε … aN–1 a3 a2 a1 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 7 30

ε ε aN … aN–1 a3 a2 a1 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 7 30

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n
については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る α α–ε α+ε ε ε aN … aN–1 a3 a2 a1 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 7 30

については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る α α–ε α+ε ε ε aN+1 aN … aN–1 a3 a2 a1 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 7 30

については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る α α–ε α+ε … … ε ε aN+1 aN aN–1 a3 a2 a1 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 7 30

については， anは，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る α α–ε α+ε … ε ε a3 a2 a1 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 8 30

については， anは，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る α α–ε α+ε … ε ε a3 a2 a1 εをどんなに小さくしても 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 8 30

については， anは，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る α α–ε α+ε ε ε … a3 a2 a1 εをどんなに小さくしても 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 8 30

については， anは，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る α α–ε α+ε ε ε aN … a3 a2 a1 εをどんなに小さくしても 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 8 30

については， anは，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る α α–ε α+ε … ε ε aN … a3 a2 a1 εをどんなに小さくしても 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 8 30

については， anは，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る α α–ε α+ε … ε ε aN εをどんなに小さくしても … a3 a2 a1 そういうNがある 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 8 30

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃
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数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは α のまわりにどんなに狭い区間[α – ε, α +
ε]を設定しても(ε > 0) 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 9 30

ε]を設定しても(ε > 0) 数列が十分大きな番号 N まで進めば 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 9 30

ε]を設定しても(ε > 0) 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 9 30

ε]を設定しても(ε > 0) 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ∀ε > 0, ∃N ; n > N ⇒ |an − α| < ε 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 9 30

ε]を設定しても(ε > 0) 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ∀ε > 0, ∃N ; n > N ⇒ |an − α| < ε ε – N 論法 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 9 30

数列の発散の定義数列{an}が ∞ に発散する 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃
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数列の発散の定義数列{an}が ∞ に発散するどんなに大きな数 G を持ってきても， 2026年度秋学期応用数学（解析）／
関西大学総合情報学部浅野晃 10 30

数列の発散の定義数列{an}が ∞ に発散するどんなに大きな数 G を持ってきても，数列が十分大きな番号 N まで進めば

N 番より大きな番号 n については，anはみな G より大きくなる 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 10 30

N 番より大きな番号 n については，anはみな G より大きくなる ∀G, ∃N ; n > N ⇒ an > G 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 10 30

収束や発散は「無限」なのか「無限」とはひとことも言っていない 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 11 30

収束や発散は「無限」なのか「無限」とはひとことも言っていないどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε] でも

どんなに大きな数 G でも十分大きな番号 N なら 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 11 30

どんなに大きな数 G でも十分大きな番号 N ならどれも「無限」ではなく有限 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 11 30

どんなに大きな数 G でも十分大きな番号 N ならどれも「無限」ではなく有限ただし，求めに応じて好きなだけ狭く・大きくできる 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 11 30

実数の連続性と収束🤔🤔

実数の連続性と収束実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現実数の有界な単調数列は収束する数列{an}が「単調増加」とは，a1 < a2 < … <
an < … 「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > … 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 13 30

an < … 「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > … 有界（このへんに達することはできない） 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 13 30

an < … 「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > … 有界（このへんに達することはできない） … 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 13 30

an < … 「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > … 有界（このへんに達することはできない） … 単調増加だからつねに増加していくが，収束する 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 13 30

ワイエルシュトラスの定理から証明 α 有界だから，上限 α が存在する 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野
晃 14 30

ワイエルシュトラスの定理から証明 α α′ 有界だから，上限 α が存在する α より小さい α′ を考えると

ワイエルシュトラスの定理から証明 α α′ … 有界だから，上限 α が存在する α より小さい α′
を考えると 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 14 30

ワイエルシュトラスの定理から証明 α α′ … 有界だから，上限 α が存在する α より小さい α′
を考えると単調増加なので， α′ と α の間に来る an がある 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 14 30

ワイエルシュトラスの定理から証明 … α an α′ 有界だから，上限 α が存在する α より小さい
α′ を考えると n 番目単調増加なので， α′ と α の間に来る an がある 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 14 30

ワイエルシュトラスの定理から証明 … α an α′ 有界だから，上限 α が存在する α より小さい
α′ を考えると n 番目単調増加なので， α′ と α の間に来る an があるつまり， 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 14 30

ワイエルシュトラスの定理から証明 … α an α′ α より小さい α′ を考えると n
番目 an 有界だから，上限 α が存在する単調増加なので， α′ と α の間に来る an があるつまり， α α′ 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 14 30

番目 an 有界だから，上限 α が存在する α 単調増加なので， α′ と α の間に来る an があるつまり， α − α′ α′ 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 14 30

番目 an 有界だから，上限 α が存在する α 単調増加なので， α′ と α の間に来る an があるつまり， α − α′ |α − an | α′ 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 14 30

番目 an 有界だから，上限 α が存在する α α′ 単調増加なので， α′ と α の間に来る an があるつまり， α − α′ |α − an | |α − an ′ | < α−α 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 14 30

番目 an 有界だから，上限 α が存在する α α′ 単調増加なので， α′ と α の間に来る an があるつまり， α − α′ |α − an | α′ はどれだけ α に近くてもよい |α − an ′ | < α−α 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 14 30

番目 an 有界だから，上限 α が存在する α α′ 単調増加なので， α′ と α の間に来る an があるつまり， α − α′ |α − an | α′ はどれだけ α に近くてもよい |α − an ′ | < α−α これを ε( > 0) と考えると 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 14 30

番目 an 有界だから，上限 α が存在する α α′ 単調増加なので， α′ と α の間に来る an があるつまり， α − α′ |α − an | ε α′ はどれだけ α に近くてもよい |α − an ′ | < α−α これを ε( > 0) と考えると 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 14 30

番目 an 有界だから，上限 α が存在する α α′ 単調増加なので， α′ と α の間に来る an があるつまり， α − α′ |α − an | ε α′ はどれだけ α に近くてもよい |α − an ′ | < α−α これを ε( > 0) と考えると α からの隔たり ε をどんなに小さく設定しても，そこに入る an がある 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 14 30

番目 an 有界だから，上限 α が存在する α α′ 単調増加なので， α′ と α の間に来る an があるつまり， α − α′ |α − an | ε α′ はどれだけ α に近くてもよい |α − an ′ | < α−α これを ε( > 0) と考えると α からの隔たり ε をどんなに小さく設定しても，そこに入る an がある {an} は α に収束する 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 14 30

数列の収束に関する例題💡💡

例題 n a = 0 lim a > 0 のとき
n→∞ n! を証明せよ。 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 16 30

n→∞ n! を証明せよ。 ak = C とおく。番号 k は，k > 2a であるとする。 k! 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 16 30

n→∞ n! を証明せよ。 ak = C とおく。番号 k は，k > 2a であるとする。 k! n > k となる番号 n について， 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 16 30

n→∞ n! を証明せよ。 ak = C とおく。番号 k は，k > 2a であるとする。 k! n > k となる番号 n について， ak a a a an = × × × ··· × n! k! k+1 k+2 n 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 16 30

n→∞ n! を証明せよ。 ak = C とおく。番号 k は，k > 2a であるとする。 k! n > k となる番号 n について， ak a a a an = × × × ··· × n! k! k+1 k+2 n a a a × × ··· × =C× k+1 k+2 k + (n − k) 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 16 30

例題 n > k となる番号 n について， ak a a
a an = × × × ··· × n! k! k+1 k+2 n a a a × × ··· × =C× k+1 k+2 k + (n − k) 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 17 30

a an = × × × ··· × n! k! k+1 k+2 n a a a × × ··· × =C× k+1 k+2 k + (n − k) k > 2a なので 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 17 30

a an = × × × ··· × n! k! k+1 k+2 n a a a × × ··· × =C× k+1 k+2 k + (n − k) k > 2a なので a a a an <C× × × ··· × n! 2a + 1 2a + 2 2a + (n − k) 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 17 30

a an = × × × ··· × n! k! k+1 k+2 n a a a × × ··· × =C× k+1 k+2 k + (n − k) k > 2a なので a a a an <C× × × ··· × n! 2a + 1 2a + 2 2a + (n − k) n−k C · 2k 1 <C× = 2 2n 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 17 30

a an = × × × ··· × n! k! k+1 k+2 n a a a × × ··· × =C× k+1 k+2 k + (n − k) k > 2a なので a a a an <C× × × ··· × n! 2a + 1 2a + 2 2a + (n − k) n−k k k C · 2 C ·2 1 < <C× = n 2 2n 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 17 30

a an = × × × ··· × n! k! k+1 k+2 n a a a × × ··· × =C× k+1 k+2 k + (n − k) k > 2a なので a a a an <C× × × ··· × n! 2a + 1 2a + 2 2a + (n − k) n−k k k C · 2 C ·2 1 < <C× = n 2 2n C ⋅ 2k そこで，どんな小さな ε( > 0) についても，番号 n が n > であれば ε 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 17 30

a an = × × × ··· × n! k! k+1 k+2 n a a a × × ··· × =C× k+1 k+2 k + (n − k) k > 2a なので a a a an <C× × × ··· × n! 2a + 1 2a + 2 2a + (n − k) n−k k k C · 2 C ·2 1 < <C× = n 2 2n k C⋅2 そこで，どんな小さな ε( > 0) についても，番号 n が n > であれば ε n a n! <ε 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 17 30

a an = × × × ··· × n! k! k+1 k+2 n a a a × × ··· × =C× k+1 k+2 k + (n − k) k > 2a なので a a a an <C× × × ··· × n! 2a + 1 2a + 2 2a + (n − k) n−k k k C · 2 C ·2 1 < <C× = n 2 2n つまり {an / n!} は 0 に収束する k C⋅2 そこで，どんな小さな ε( > 0) についても，番号 n が n > であれば ε n a n! <ε 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 17 30

関数の極限🤔🤔

関数の極限数列の収束と同じ論法を用いる lim f (x) = A x→a 関数 f(x)
の x→a の極限が A であるとは x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 19 30

の x→a の極限が A であるとは縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても A ε ε x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 19 30

の x→a の極限が A であるとは縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても A ε ε δ δ a 横軸で a との隔たり δ をそれに応じて小さくすれば x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 19 30

の x→a の極限が A であるとは縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても A ε ε δ δ a 横軸で a との隔たり δ をそれに応じて小さくすれば x x と a との隔たりが δ より小さいとき 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 19 30

の x→a の極限が A であるとは縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても A ε ε δ δ ax 横軸で a との隔たり δ をそれに応じて小さくすれば x x と a との隔たりが δ より小さいとき 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 19 30

の x→a の極限が A であるとは縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても f(x) A ε ε δ δ ax 横軸で a との隔たり δ をそれに応じて小さくすれば x x と a との隔たりが δ より小さいとき 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 19 30

の x→a の極限が A であるとは縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても f(x) A f(x) と A との隔たりも ε より小さい ε ε δ δ ax 横軸で a との隔たり δ をそれに応じて小さくすれば x x と a との隔たりが δ より小さいとき 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 19 30

関数の極限どんなに小さな ε を考えても (ε > 0) x と a
との隔たりを δ より小さくすれば f(x) と A の隔たりも ε より小さくできる 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 20 30

との隔たりを δ より小さくすれば f(x) と A の隔たりも ε より小さくできる ∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − A| < ε 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 20 30

との隔たりを δ より小さくすれば f(x) と A の隔たりも ε より小さくできる ∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − A| < ε ε – δ 論法 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 20 30

との隔たりを δ より小さくすれば f(x) と A の隔たりも ε より小さくできる ∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − A| < ε ε – δ 論法 ε も δ も，ただの正の数で，0ではないし， 0に「無限に」近づくわけでもない 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 20 30

最初の微分の例 h → 0 と書いてあっても， h はあくまで正の数で，0ではない df (x) f
(x + h) − f (x) = lim h→0 dx h (x + h)2 − x2 = lim h→0 h hはゼロに近づいているだけで， h(2x + h) = lim ゼロではないから，分母分子をhで割る h→0 h = lim (2x + h) = 2x h→0 やっぱりh はゼロ 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 21 30

(x + h) − f (x) = lim h→0 dx h (x + h)2 − x2 = lim h→0 h hはゼロに近づいているだけで， h(2x + h) = lim ゼロではないから，分母分子をhで割る h→0 h = lim (2x + h) = 2x h→0 やっぱりh はゼロではなくて 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 21 30

(x + h) − f (x) = lim h→0 dx h (x + h)2 − x2 = lim h→0 h hはゼロに近づいているだけで， h(2x + h) = lim ゼロではないから，分母分子をhで割る h→0 h = lim (2x + h) = 2x h→0 やっぱりh はゼロではなくて収束する先が h = 0 を代入したときの値と同じ，というだけ 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 21 30

左極限と右極限 lim f (x) = A x→a 関数 f(x) の
x→a の極限が A であるとは A A B a x a x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 22 30

x→a の極限が A であるとは x が大きい方から a に近づいても，小さい方から a に近づいても，どちらの極限も A A A B a x a x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 22 30

x→a の極限が A であるとは x が大きい方から a に近づいても，小さい方から a に近づいても，どちらの極限も A A 右極限 x→a+0 lim A B a x a x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 22 30

x→a の極限が A であるとは x が大きい方から a に近づいても，小さい方から a に近づいても，どちらの極限も A A 右極限 x→a+0 lim A B lim , 左極限 x→a−0 a x a x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 22 30

関数の「連続」と「一様連続」🤔🤔

関数の連続性関数 f(x) が x = a で連続であるとは関数 f(x)
の x→a の極限が f(a) であること f(a) f(a) a x a x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 24 30

の x→a の極限が f(a) であること f(a) f(a) a x a x a で連続 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 24 30

の x→a の極限が f(a) であること右極限はf(a)でない f(a) f(a) a x a x a で連続 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 24 30

の x→a の極限が f(a) であること右極限はf(a)でない f(a) f(a) a x 左極限はf(a) a x a で連続 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 24 30

の x→a の極限が f(a) であること右極限はf(a)でない f(a) f(a) a a で連続 x 左極限はf(a) a x a で不連続 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 24 30

の x→a の極限が f(a) であること右極限はf(a)でない f(a) f(a) a a で連続 x 左極限はf(a) a x a で不連続区間 I のどの点でも連続なら「区間 I で連続」 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 24 30

ε – δ 論法で話をすると x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野
晃 25 30

ε – δ 論法で話をすると f(a) ε ε x 2026年度秋学期応用数学（解析）
／関西大学総合情報学部浅野晃 25 30

ε – δ 論法で話をすると f(x)が f(a)の上下 ε の範囲に入るためには f(a)
ε ε x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 25 30

ε ε δ δ a x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 25 30

ε ε δ δ a x xが a の左右 δ の範囲に入ればよい 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 25 30

ε – δ 論法で話をすると ε ε f(b) f(x)が f(a)の上下 ε
の範囲に入るためには f(a) ε ε δ δ a x xが a の左右 δ の範囲に入ればよい 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 25 30

ε – δ 論法で話をすると同じ ε でも ε ε f(b)
f(x)が f(a)の上下 ε の範囲に入るためには f(a) ε ε δ δ a x xが a の左右 δ の範囲に入ればよい 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 25 30

f(x)が δδ f(a)の上下 ε の範囲に入るためには f(a) ε ε δ δ a b x xが a の左右 δ の範囲に入ればよい 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 25 30

要求される δ の「狭さ」は f(x)が f(a)の上下 ε の範囲に入るためには f(a) δ δ 異なる ε ε δ δ a b x xが a の左右 δ の範囲に入ればよい 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 25 30

一様連続同じ ε でも ε ε f(b) f(x)が f(a)の上下 ε
の範囲に入るには f(a) ε ε 求められる δ の「狭さ」は δδ 異なる δ δ a x が a の左右 δ の範囲に入ればよい b x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 26 30

の範囲に入るには f(a) ε ε 求められる δ の「狭さ」は δδ 異なる δ δ a x が a の左右 δ の範囲に入ればよい b x この場合は「狭い方の δ 」をどこででも用いればよい 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 26 30

の範囲に入るには f(a) ε ε 求められる δ の「狭さ」は δδ 異なる δ δ a x が a の左右 δ の範囲に入ればよい b x この場合は「狭い方の δ 」をどこででも用いればよいどの点でも「共通の δ 」を用いれば連続といえるとき［一様連続］という 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 26 30

連続だが一様連続でない例区間 [0, 1) を考える -1 1 f(x) 1 f
(x) = x−1 変化対も 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 27 30

連続だが一様連続でない例区間 [0, 1) を考える -1 ε 1 f (x)
= x−1 変化対も 1 f(x) 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 27 30

連続だが一様連続でない例区間 [0, 1) を考える 1 δ -1 ε 1
f (x) = x−1 変化対も f(x) 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 27 30

連続だが一様連続でない例区間 [0, 1) を考える 1 δ -1 ε 1
f (x) = x−1 変化対も f(x) x が 1 に近づくと f(x) は，いくらでも大きく変化する 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 27 30

連続だが一様連続でない例区間 [0, 1) を考える 1 δ -1 ε f(x)
x が 1 に近づくと f(x) は，いくらでも大きく変化する ε 1 f (x) = x−1 変化対も 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 27 30

連続だが一様連続でない例区間 [0, 1) を考える 1 δ -1 ε x
が 1 に近づくと f(x) f(x) は，いくらでも大きく変化する δ ε 1 f (x) = x−1 変化対も 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 27 30

が 1 に近づくと f(x) f(x) は，いくらでも大きく変化する δ 要求される δ の「狭さ」はいくらでも狭くなる ε 1 f (x) = x−1 変化対も 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 27 30

が 1 に近づくと f(x) f(x) は，いくらでも大きく変化する δ 要求される δ の「狭さ」はいくらでも狭くなる ε 区間内で「共通の δ 」は 1 f (x) = x−1 変化対も存在しない 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 27 30

関数列の収束🤔🤔

関数列の収束と「一様収束」 f(x) f(x) x x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野
晃 29 30

関数列の収束と「一様収束」 f1(x) f(x) f(x) x x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部
浅野晃 29 30

関数列の収束と「一様収束」 f1(x) f2(x) f(x) f(x) x x 2026年度秋学期応用数学（解析）／
関西大学総合情報学部浅野晃 29 30

関数列の収束と「一様収束」 f1(x) f2(x) f(x) … f(x) x x 2026年度秋学期応用数学（解析）
／関西大学総合情報学部浅野晃 29 30

関数列の収束と「一様収束」 f1(x) f2(x) f(x) … f(x) x x 区間内の各点で， fn(x)
と f(x)の隔たりが0に近づく 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 29 30

関数列の収束と「一様収束」 f1(x) f2(x) f(x) … f(x) x x 区間内の各点で， fn(x)
と f(x)の隔たりが0に近づく f1(x), f2(x), … が f(x) に［各点収束］する 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 29 30

関数列の収束と「一様収束」 f1(x) f2(x) f1(x) f(x) … f(x) x x 区間内の各点で，
fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく f1(x), f2(x), … が f(x) に［各点収束］する 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 29 30

関数列の収束と「一様収束」 f1(x) f2(x) f1(x) f (x) 2 f(x) … f(x)
x x 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく f1(x), f2(x), … が f(x) に［各点収束］する 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 29 30

関数列の収束と「一様収束」 f1(x) f2(x) f1(x) f (x) 2 f(x) … f(x)
f3(x) x x 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく f1(x), f2(x), … が f(x) に［各点収束］する 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 29 30

関数列の収束と「一様収束」 f1(x) f2(x) f1(x) f (x) 2 f(x) f3(x) f(x)
… … x x 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく f1(x), f2(x), … が f(x) に［各点収束］する 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 29 30

関数列の収束と「一様収束」 f1(x) f2(x) f(x) f1(x) f (x) 2 f3(x) f(x)
… … x 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく x 左のほうでは収束していくが f1(x), f2(x), … が f(x) に［各点収束］する 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 29 30

… … x 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく f1(x), f2(x), … が f(x) に x 左のほうでは収束していくがいくらでも右に行けばいつまでたっても収束しない［各点収束］する 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 29 30

… … x 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく f1(x), f2(x), … が f(x) に［各点収束］する x 左のほうでは収束していくがいくらでも右に行けばいつまでたっても収束しない各点収束ではあるが［一様収束］でない 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 29 30

今日のまとめ「限りなく近づく」とは，「無限」ではない求めに応じて好きなだけ近くできること 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野
晃 30 30

2026年度秋学期 応用数学（解析） 第1部・「無限」の理解 ／ 第4回 収束とは何か，ε -...

2026年度秋学期 応用数学（解析） 第1部・「無限」の理解 ／ 第4回 収束とは何か，ε - δ 論法 (2026. 10. 16)

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2026年度秋学期　応用数学（解析）　第1部・「無限」の理解／第4回　収束とは何か，ε -...

2026年度秋学期　応用数学（解析）　第1部・「無限」の理解／第4回　収束とは何か，ε - δ 論法 (2026. 10. 16)