確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (teλ1 t )′ = λ1 teλ1 t + eλ1 t = (λ1 t + 1)eλ1 t (teλ1 t )′′ = λ1 (λ1 t + 1)eλ1 t + λ1 eλ1 t = (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 27
確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (teλ1 t )′ = λ1 teλ1 t + eλ1 t = (λ1 t + 1)eλ1 t (teλ1 t )′′ = λ1 (λ1 t + 1)eλ1 t + λ1 eλ1 t = (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t 微分方程式の左辺に代入すると 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 27
確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (teλ1 t )′ = λ1 teλ1 t + eλ1 t = (λ1 t + 1)eλ1 t (teλ1 t )′′ = λ1 (λ1 t + 1)eλ1 t + λ1 eλ1 t = (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t 微分方程式の左辺に代入すると (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t + aλ1 teλ1 t + bteλ1 t = {λ21 + aλ1 + b}teλ1 t + (2λ1 + a)eλ1 t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 27
確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (teλ1 t )′ = λ1 teλ1 t + eλ1 t = (λ1 t + 1)eλ1 t (teλ1 t )′′ = λ1 (λ1 t + 1)eλ1 t + λ1 eλ1 t = (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t 微分方程式の左辺に代入すると (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t + aλ1 teλ1 t + bteλ1 t = {λ21 + aλ1 + b}teλ1 t + (2λ1 + a)eλ1 t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 27
確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (teλ1 t )′ = λ1 teλ1 t + eλ1 t = (λ1 t + 1)eλ1 t (teλ1 t )′′ = λ1 (λ1 t + 1)eλ1 t + λ1 eλ1 t = (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t 微分方程式の左辺に代入すると (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t + aλ1 teλ1 t + bteλ1 t = {λ21 + aλ1 + b}teλ1 t + (2λ1 + a)eλ1 t λ1は特性方程式の解 だから0 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 27
確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (teλ1 t )′ = λ1 teλ1 t + eλ1 t = (λ1 t + 1)eλ1 t (teλ1 t )′′ = λ1 (λ1 t + 1)eλ1 t + λ1 eλ1 t = (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t 微分方程式の左辺に代入すると (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t + aλ1 teλ1 t + bteλ1 t = {λ21 + aλ1 + b}teλ1 t + (2λ1 + a)eλ1 t λ1は特性方程式の解 だから0 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 27
確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (teλ1 t )′ = λ1 teλ1 t + eλ1 t = (λ1 t + 1)eλ1 t (teλ1 t )′′ = λ1 (λ1 t + 1)eλ1 t + λ1 eλ1 t = (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t 微分方程式の左辺に代入すると (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t + aλ1 teλ1 t + bteλ1 t = {λ21 + aλ1 + b}teλ1 t + (2λ1 + a)eλ1 t λ1は特性方程式の解 だから0 特性方程式の 解と係数の関係により0 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 27
確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (teλ1 t )′ = λ1 teλ1 t + eλ1 t = (λ1 t + 1)eλ1 t (teλ1 t )′′ = λ1 (λ1 t + 1)eλ1 t + λ1 eλ1 t = (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t 微分方程式の左辺に代入すると (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t + aλ1 teλ1 t + bteλ1 t = {λ21 + aλ1 + b}teλ1 t + (2λ1 + a)eλ1 t λ1は特性方程式の解 だから0 一般解は C1 eλ1 t + C2 teλ1 t 特性方程式の 解と係数の関係により0 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 27
確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (teλ1 t )′ = λ1 teλ1 t + eλ1 t = (λ1 t + 1)eλ1 t (teλ1 t )′′ = λ1 (λ1 t + 1)eλ1 t + λ1 eλ1 t = (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t 微分方程式の左辺に代入すると (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t + aλ1 teλ1 t + bteλ1 t = {λ21 + aλ1 + b}teλ1 t + (2λ1 + a)eλ1 t λ1は特性方程式の解 だから0 特性方程式の 解と係数の関係により0 一般解は C1 eλ1 t + C2 teλ1 t 見つけ方は前回のテキストで （定数変化法） 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 27
の一般解を求めよ。 特殊解を， x = A cos t + B sin t と見当をつける これを元の方程式に代入して整理すると (−4A + 2B − 2) cos t + (−2A − 4B) sin t = 0 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 21 27
の一般解を求めよ。 特殊解を， x = A cos t + B sin t と見当をつける これを元の方程式に代入して整理すると (−4A + 2B − 2) cos t + (−2A − 4B) sin t = 0 cos, sinは独立（あとで説明） 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 21 27
の一般解を求めよ。 特殊解を， x = A cos t + B sin t と見当をつける これを元の方程式に代入して整理すると (−4A + 2B − 2) cos t + (−2A − 4B) sin t = 0 cos, sinは独立（あとで説明） −4A + 2B − 2 = 0 =0 −2A − 4B 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 21 27
の一般解を求めよ。 特殊解を， x = A cos t + B sin t と見当をつける これを元の方程式に代入して整理すると (−4A + 2B − 2) cos t + (−2A − 4B) sin t = 0 cos, sinは独立（あとで説明） 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は 1 2 x = − cos t + sin t 5 5 −4A + 2B − 2 = 0 =0 −2A − 4B 1 2 A=− , B= 5 5 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 21 27
の一般解を求めよ。 特殊解を， x = A cos t + B sin t と見当をつける これを元の方程式に代入して整理すると (−4A + 2B − 2) cos t + (−2A − 4B) sin t = 0 cos, sinは独立（あとで説明） 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は 1 2 x = − cos t + sin t 5 5 −4A + 2B − 2 = 0 =0 −2A − 4B 1 2 A=− , B= 5 5 対応する斉次形の方程式は 解 x′′ + 2x′ − 3x = 0 t + C e−3t x = C e 1 2 一般解は 定数 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 21 27
の一般解を求めよ。 特殊解を， x = A cos t + B sin t と見当をつける これを元の方程式に代入して整理すると (−4A + 2B − 2) cos t + (−2A − 4B) sin t = 0 cos, sinは独立（あとで説明） 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は 1 2 x = − cos t + sin t 5 5 −4A + 2B − 2 = 0 =0 −2A − 4B 1 2 A=− , B= 5 5 対応する斉次形の方程式は 解 x′′ + 2x′ − 3x = 0 t + C e−3t x = C e 1 2 一般解は 定数 1 2 t −3t 以上から，非斉次形方程式の一般解は x = C1 e + C2 e − 5 cos t + 5 sin t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 21 27
+ C2 x2 (t) = 0 が どんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 cos t と sin t は？ cos t sin t Wronskianは −sin t cos t cos t sin t 2 2 = cos t + sin t = 1 で，Wronskianが0でないので， −sin t cos t cos t と sin t は1次独立 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 24 27
特殊解を，x = A cos 2t と見当をつける x′ = − 2A sin 2t ，x′′ = − 4A cos 2t なので，x′, x′′ を元の方程式に代入すると −4A cos 2t + A cos 2t = cos 2t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 27 27
特殊解を，x = A cos 2t と見当をつける x′ = − 2A sin 2t ，x′′ = − 4A cos 2t なので，x′, x′′ を元の方程式に代入すると −4A cos 2t + A cos 2t = cos 2t (−4A + A − 1)cos 2t = 0 1 これが t に関係なくなりたつから, A = − 3 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 27 27
特殊解を，x = A cos 2t と見当をつける x′ = − 2A sin 2t ，x′′ = − 4A cos 2t なので，x′, x′′ を元の方程式に代入すると −4A cos 2t + A cos 2t = cos 2t (−4A + A − 1)cos 2t = 0 1 これが t に関係なくなりたつから, A = − 3 1 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = − cos 2t 3 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 27 27
特殊解を，x = A cos 2t と見当をつける x′ = − 2A sin 2t ，x′′ = − 4A cos 2t なので，x′, x′′ を元の方程式に代入すると −4A cos 2t + A cos 2t = cos 2t (−4A + A − 1)cos 2t = 0 1 これが t に関係なくなりたつから, A = − 3 1 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = − cos 2t 3 あとは，対応する斉次形の方程式 x′′ + x = 0 の一般解を求めてください。 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 27 27
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