2D 绘图中的坐标系统和坐标变换

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1. 坐标系统与坐标变换 FEX 刘家鸣

2. 坐标系统概述 • 原点 • 互相垂直的两条数轴 • ⾓角度定义

3. 数学上 X（0°） Y（90°） 45° 坐标系统概述

4. 屏幕上 X（0°） Y（90°） 45° 坐标系统概述

5. 视野与世界 • 世界是⽆无穷⼤大的 • 视野是观察世界的⼀一个矩形区域 • 坐标系在世界中

6. 世界 视野

7. 锤⼦子的故事

8. 从前有⼀一个画家

9. 他很擅⻓长画锤⼦子

10. 有⼀一天他改⾏行当程序员

11. ⽼老板说 “你用程序画一个锤子吧”

12. 太简单了 x1 y1 h1 x2 y2 h2 w1 w2 X

    Y

13. ⽼老板⼜又说 “锤子往右挪100像素吧”

14. 没问题 x1 y1 h1 x2 y2 h2 w1 w2 X

    Y

15. 没问题 x1 + 100 y1 h1 x2 + 100 y2

    h2 w1 w2 X Y

16. ？ ？ ？

17. ⾃自⾝身坐标系和参考坐标系 • 为图形复合⽽而⽣生的机制 • 只在⾼高层绘图技术中⽀支持（如SVG、VML） • 定义 • 区别

18. 定义 OC OB OA var a = new Rect(100, 50,

    0, 0); var b = new Rect(20, 120, 40, 50); var c = new Group().addShapes([a, b]); ⾃自⾝身坐标系和参考坐标系

19. 区别 OC OB OA ⾃自⾝身坐标系和参考坐标系 1. 产⽣生的场景不同 ⾃自⾝身坐标系：与⽣生俱来 参考坐标系：在从属关系中 2.

    数量不同 ⾃自⾝身坐标系：有且仅有 1 个 参考坐标系：可以有 n 个 3. 使⽤用的⺫⽬目的不同 ⾃自⾝身坐标系：为了定义图形 参考坐标系：为了观察图形 Live Example

20. 坐标变换 • 定义 • 线性变换 • 线性变换列表 • 前驱坐标系与图形的变换矩阵

21. 定义 • 数学上，「坐标变换」 是采⽤用⼀一定的数学⽅方法 将⼀一个坐标系的坐标变 换为另⼀一个坐标系的坐 标的过程。 • 2D 绘图中，「坐标变

    换」是对⼀一个坐标系到 另⼀一个坐标系的变换的 描述 坐标变换 OC OB OA

22. 线性变换 坐标变换 • 线性变换公式 X’ = aX + cY +

    e
 Y’ = bX + dY + f • 变换矩阵，记为 M a c e b d f 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥

23. 线性变换 • 线性变换公式 X’ = aX + cY + e


    Y’ = bX + dY + f • 变换矩阵，记为 M OA OB 坐标变换 1 0 10 0 1 10 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ a c e b d f 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥

24. 平移 OA OB 线性变换 1 0 10 0 1 10

    0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥

25. 旋转 OA 线性变换 • 使⽤用极坐标求变换矩阵 OB X = r ⋅cos(α)

    Y = r isin(α) ⎧ ⎨ ⎩ 极坐标⽅方程： 旋转 θ 度后： X ' = r ⋅cos(α +θ) Y ' = r isin(α +θ) ⎧ ⎨ ⎩ 展开： X ' = r ⋅cos α ( )cos θ ( )− r ⋅sin α ( )sin θ ( )= cos θ ( )X − sin θ ( )Y + 0 Y ' = r ⋅cos α ( )sin θ ( )+ r ⋅sin α ( )cos θ ( )= sin θ ( )X + cos θ ( )Y + 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪

26. 旋转 OA 线性变换 O B • 使⽤用极坐标求变换矩阵 cos(30°) −sin(30°) 0

    sin(30°) cos(30°) 0 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ X = r ⋅cos(α) Y = r isin(α) ⎧ ⎨ ⎩ 极坐标⽅方程： 旋转 θ 度后： X ' = r ⋅cos(α +θ) Y ' = r isin(α +θ) ⎧ ⎨ ⎩ 展开： X ' = r ⋅cos α ( )cos θ ( )− r ⋅sin α ( )sin θ ( )= cos θ ( )X − sin θ ( )Y + 0 Y ' = r ⋅cos α ( )sin θ ( )+ r ⋅sin α ( )cos θ ( )= sin θ ( )X + cos θ ( )Y + 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪

27. 缩放 OA 线性变换 • a 和 c 直观控制缩放 OB

28. 缩放 OA 线性变换 • a 和 c 直观控制缩放 OB 2

    0 0 0 2 0 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥

29. 变换列表 OA 线性变换 • 表⽰示⼀一系列的变换，结 果为变换的矩阵的乘积 M = Mn ·

    Mn-1 · ... · M2 · M1 · M0 • 后⾯面的变换乘在前⾯面 1 0 10 0 1 10 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ i cos(30°) −sin(30°) 0 sin(30°) cos(30°) 0 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ Mtranslate · Mrotate O B

30. 变换列表 OA 线性变换 • 表⽰示⼀一系列的变换，结 果为变换的矩阵的乘积 O B M =

    Mn · Mn-1 · ... · M2 · M1 · M0 • 后⾯面的变换乘在前⾯面 O C Mtranslate · Mrotate Mrotate · Mtranslate • 顺序影响结果

31. 前驱坐标系和图形的变换矩阵 线性变换 • 前驱坐标系：⽗父容器的坐标系 • 图形的变换矩阵M：⾃自⾝身坐标系到前驱坐标系的变换 • 变换的效果会叠加

32. 前驱坐标系和图形的变换矩阵 线性变换 OB OA

33. 前驱坐标系和图形的变换矩阵 线性变换 OB OA MA 1. 设置A的变换矩阵MA

34. OC 前驱坐标系和图形的变换矩阵 线性变换 OB OA MA 1. 设置A的变换矩阵MA 2. 把B放置在C中

35. 前驱坐标系和图形的变换矩阵 线性变换 1. 设置A的变换矩阵MA 2. 把B放置在C中 3. 设置B的变换矩阵MB OC O

    B O A M A MB 此时，OA 到OC 的变换为： MB·MA

36. Q&A