Instationäre Adaptive Stochastische Kollokation auf dünnbesetzten Gittern

Summary of all PhD results

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1. Instation¨ are Adaptive Stochastische Kollokation auf d¨ unnbesetzten Gittern Disputationsvortrag ” Unsteady Adaptive Stochastic Collocation Methods on Sparse Grids“ von Dipl.-Math. Bettina Schieche Graduiertenschule Computational Engineering Technische Universit¨ at Darmstadt Fachbereich Mathematik Numerische Mathematik Darmstadt, den 22. Oktober 2012 www.graduate-school-ce.de
2. Motivation f¨ ur Unsicherheiten Schwankungen in Natur und Klima Schwankungen bei Fertigungsprozessen fehlendes Wissen fehlende Genauigkeit Bettina Schieche | 22.10.12 | Motivation | 2/26
3. Inhalt Problemformulierung Adaptive stochastische Kollokation Adjungierte Fehlersch¨ atzung Exakte Bestimmung von Erwartungswerten Bettina Schieche | 22.10.12 | Inhalt | 3/26
4. ¨ Ubersicht Problemformulierung Adaptive stochastische Kollokation Adjungierte Fehlersch¨ atzung Exakte Bestimmung von Erwartungswerten Bettina Schieche | 22.10.12 | Problemformulierung | 4/26
5. Allgemeine PDE mit stochastischen Parametern A(u, α(x, ξ)) = f, ξ = (ξ1, . . . , ξM) korrelierter stochastischer Prozess α α(x, ξ) = E[α] + M n=1 fn(x)ξn (Karhunen-Lo` eve) vollst¨ andiger Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Σ, P) gesucht: L¨ osung u(x, ξ) bis auf P-Nullmengen Annahme: ξ stochastisch unabh¨ angig Parameterraum Γ := ξ1(Ω) × · · · × ξM(Ω) ⊆ RM y1 y2 Bettina Schieche | 22.10.12 | Problemformulierung | 5/26
6. ¨ Ubersicht Problemformulierung Adaptive stochastische Kollokation Adjungierte Fehlersch¨ atzung Exakte Bestimmung von Erwartungswerten Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 6/26
7. Stochastische Kollokation: allgemeines Vorgehen 1. W¨ ahle P Parameter-Realisierungen: {y(j)}P j=1 → Kollokationspunkte Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 7/26
8. Stochastische Kollokation: allgemeines Vorgehen 1. W¨ ahle P Parameter-Realisierungen: {y(j)}P j=1 → Kollokationspunkte 2. L¨ ose P deterministische Probleme A(uj, α(x, y(j)) = f, uj := u(x, y(j)), j = 1, . . . , P Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 7/26
9. Stochastische Kollokation: allgemeines Vorgehen 1. W¨ ahle P Parameter-Realisierungen: {y(j)}P j=1 → Kollokationspunkte 2. L¨ ose P deterministische Probleme A(uj, α(x, y(j)) = f, uj := u(x, y(j)), j = 1, . . . , P 3. Interpoliere alle L¨ osungen Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 7/26
10. Stochastische Kollokation: allgemeines Vorgehen 1. W¨ ahle P Parameter-Realisierungen: {y(j)}P j=1 → Kollokationspunkte 2. L¨ ose P deterministische Probleme A(uj, α(x, y(j)) = f, uj := u(x, y(j)), j = 1, . . . , P 3. Interpoliere alle L¨ osungen 4. Berechne statistische Gr¨ oßen: Quadratur Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 7/26
11. Stochastische Kollokation: allgemeines Vorgehen 1. W¨ ahle P Parameter-Realisierungen: {y(j)}P j=1 → Kollokationspunkte 2. L¨ ose P deterministische Probleme A(uj, α(x, y(j)) = f, uj := u(x, y(j)), j = 1, . . . , P 3. Interpoliere alle L¨ osungen 4. Berechne statistische Gr¨ oßen: Quadratur 5. F¨ uge adaptiv neue Kollokationspunkte hinzu Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 7/26
12. Stochastische Kollokation: allgemeines Vorgehen 1. W¨ ahle P Parameter-Realisierungen: {y(j)}P j=1 → Kollokationspunkte 2. L¨ ose P deterministische Probleme A(uj, α(x, y(j)) = f, uj := u(x, y(j)), j = 1, . . . , P 3. Interpoliere alle L¨ osungen 4. Berechne statistische Gr¨ oßen: Quadratur 5. F¨ uge adaptiv neue Kollokationspunkte hinzu Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 7/26
13. Volle versus d¨ unne Gitter Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 8/26
14. Volle versus d¨ unne Gitter vollbesetzt, isotrop Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 8/26
15. Volle versus d¨ unne Gitter vollbesetzt, isotrop Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 8/26
16. Volle versus d¨ unne Gitter vollbesetzt, isotrop Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 8/26
17. Volle versus d¨ unne Gitter vollbesetzt, isotrop Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 8/26
18. Volle versus d¨ unne Gitter d¨ unnbesetzt, isotrop Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 8/26
19. Volle versus d¨ unne Gitter d¨ unnbesetzt, isotrop Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 8/26
20. Volle versus d¨ unne Gitter d¨ unnbesetzt, isotrop Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 8/26
21. Volle versus d¨ unne Gitter vollbesetzt, anisotrop Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 8/26
22. Volle versus d¨ unne Gitter d¨ unnbesetzt, anisotrop Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 8/26
23. Algorithmische Details Geeignete Kollokationspunkte: → Clenshaw-Curtis, Gauss-Patterson Paralleles L¨ osen von PDEs in jeder Iteration: → KARDOS, MATLAB, FASTEST, . . . Globale Interpolation (Lagrange) Dimensions-adaptive Verfeinerung∗ bzgl. eines L¨ osungsfunktionals → Fehlerindikator: relative Ver¨ anderung ∗[Gerstner & Griebel ’03] Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 9/26
24. Beispiel: Boussinesq Gleichung (KARDOS) ∂u ∂t + (u · ∇)u − 2 Re div (u) + ∇p = − 1 Fr T g div u = 0 ∂T ∂t + (u · ∇)T − 1 Pe ∆T = 0 Geschwindigkeit u Druck p Temperatur T Re = 10, Pe = 20/3, Fr = 1/150∗ normierter Gravitationsvektor g ↓ T = 1 (0,0) (10,0) T = 0 (0,1) ∗[Evans, Paolucci ’90] Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 10/26
25. Beispiel: Boussinesq Gleichung (KARDOS) ∂u ∂t + (u · ∇)u − 2 Re div (u) + ∇p = − 1 Fr T g div u = 0 ∂T ∂t + (u · ∇)T − 1 Pe ∆T = 0 Geschwindigkeit u Druck p Temperatur T Re = 10, Pe = 20/3, Fr = 1/150∗ normierter Gravitationsvektor g ↓ T = 1 (0,0) (10,0) T = 0 (0,1) ∗[Evans, Paolucci ’90] Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 10/26
26. Beispiel: Boussinesq Gleichung (KARDOS) ∂u ∂t + (u · ∇)u − 2 Re div (u) + ∇p = − 1 Fr T g div u = 0 ∂T ∂t + (u · ∇)T − 1 Pe ∆T = 0 Geschwindigkeit u Druck p Temperatur T Re = 10, Pe = 20/3, Fr = 1/150∗ normierter Gravitationsvektor g ↓ T = 1 (0,0) (10,0) T = 0 (0,1) ∗[Evans, Paolucci ’90] Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 10/26
27. Beispiel: Boussinesq Gleichung (KARDOS) ∂u ∂t + (u · ∇)u − 2 Re div (u) + ∇p = − 1 Fr T g div u = 0 ∂T ∂t + (u · ∇)T − 1 Pe ∆T = 0 Geschwindigkeit u Druck p Temperatur T Re = 10, Pe = 20/3, Fr = 1/150∗ normierter Gravitationsvektor g ↓ T = 1 (0,0) (10,0) T = 0 (0,1) ∗[Evans, Paolucci ’90] Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 10/26
28. Beispiel: Boussinesq Gleichung (KARDOS) ∂u ∂t + (u · ∇)u − 2 Re div (u) + ∇p = − 1 Fr T g div u = 0 ∂T ∂t + (u · ∇)T − 1 Pe ∆T = 0 Geschwindigkeit u Druck p Temperatur T Re = 10, Pe = 20/3, Fr = 1/150∗ normierter Gravitationsvektor g ↓ T = 1 (0,0) (10,0) T = 0 (0,1) ∗[Evans, Paolucci ’90] Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 10/26
29. Beispiel: Boussinesq Gleichung (KARDOS) ∂u ∂t + (u · ∇)u − 2 Re div (u) + ∇p = − 1 Fr T g div u = 0 ∂T ∂t + (u · ∇)T − 1 Pe ∆T = 0 Geschwindigkeit u Druck p Temperatur T Re = 10, Pe = 20/3, Fr = 1/150∗ normierter Gravitationsvektor g ↓ T = 1 (0,0) (10,0) T = 0 (0,1) ∗[Evans, Paolucci ’90] Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 10/26
30. Beispiel: Boussinesq Gleichung (KARDOS) ∂u ∂t + (u · ∇)u − 2 Re div (u) + ∇p = − 1 Fr T g div u = 0 ∂T ∂t + (u · ∇)T − 1 Pe ∆T = 0 Geschwindigkeit u Druck p Temperatur T Re = 10, Pe = 20/3, Fr = 1/150∗ normierter Gravitationsvektor g ↓ T = 1 (0,0) (10,0) T = 0 (0,1) L¨ osungsfunktional: W¨ arme¨ ubergang an den horizontalen W¨ anden (Nusselt-Zahlen) ∗[Evans, Paolucci ’90] Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 10/26
31. Unsicherheit in der Randbedingung T = 1 + σ M n=1 fn(x1)ξn (0,0) (10,0) T = 0 (0,1) ξn gleich-verteilt Korrelationsl¨ ange L = 5, 10, 20 ⇒ M = 9, 5, 3 Standardabweichung σ = 0.125, 0.25, 0.5 Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 11/26
32. Dichtefunktionen und Anzahl Kollokationspunkte bzgl. der unteren Nusselt-Zahl Nu L = 10 0 2 4 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Wertebereich von Nu σ=0.5 σ=0.25 σ=0.125 σ = 0.25 0 2 4 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Wertebereich von Nu L=20 L=10 L=5 P σ = 0.125 σ = 0.25 σ = 0.5 L = 5 59 59 163 L = 10 15 15 23 L = 20 11 11 19 Bettina Schieche | 22.10.12 | Adaptive stochastische Kollokation | 12/26
33. ¨ Ubersicht Problemformulierung Adaptive stochastische Kollokation Adjungierte Fehlersch¨ atzung Exakte Bestimmung von Erwartungswerten Bettina Schieche | 22.10.12 | Adjungierte Fehlersch¨ atzung | 13/26
34. Beispiel: W¨ armeleitung in elektronischem Chip∗ ∂t T − ∇ · (α∇T) = 0 W¨ armeeinstr¨ omung ↑ α(x, ξ) = 1 + 0.2 3 n=1 fn(x)ξn ξn gleichverteilt L¨ osungsfunktional: Q(T) = Var[ 1 0 T|x= dt] Ziel: Q(T) − Q(Thξ ) ! < TOL = 10−3 ∗[Xiu, Karniadakis ’03] Bettina Schieche | 22.10.12 | Adjungierte Fehlersch¨ atzung | 14/26
35. Beispiel: W¨ armeleitung in elektronischem Chip∗ ∂t T − ∇ · (α∇T) = 0 Erwartungswert f¨ ur t = 1 Standardabweichung f¨ ur t = 1 W¨ armeeinstr¨ omung ↑ α(x, ξ) = 1 + 0.2 3 n=1 fn(x)ξn ξn gleichverteilt L¨ osungsfunktional: Q(T) = Var[ 1 0 T|x= dt] Ziel: Q(T) − Q(Thξ ) ! < TOL = 10−3 ∗[Xiu, Karniadakis ’03] Bettina Schieche | 22.10.12 | Adjungierte Fehlersch¨ atzung | 14/26
36. Fehlerindikatoren versus numerisch exakt ermittelte Fehler 0 10 20 30 40 50 10−4 10−3 10−2 10−1 100 Anzahl Kollokationspunkte relativer Fehler von Q Fehlerindikator exakter Fehler ⇒ 31 ben¨ otigte Kollokationspunkte ⇒ 47 benutzte Kollokationspunkte → TOL Bettina Schieche | 22.10.12 | Adjungierte Fehlersch¨ atzung | 15/26
37. Adjungierte Fehlersch¨ atzung A(u) = f J (u) = N(u) A∗(uh )φ = N (uh ) J (u) − J (uh ) ≈ φRes(uh ) Bettina Schieche | 22.10.12 | Adjungierte Fehlersch¨ atzung | 16/26
38. Stochastische adjungierte Fehlersch¨ atzung A(u, ξ) = f(ξ) Q(u) = N(E[u]) A∗(uhξ )φ = N (E[uhξ ]) Q(u) − Q(uhξ ) ≈ E[ φ(ξ)Res(uhξ )] Bettina Schieche | 22.10.12 | Adjungierte Fehlersch¨ atzung | 16/26
39. Stochastische adjungierte Fehlersch¨ atzung A(u, ξ) = f(ξ) Q(u) = N(E[u]) A∗(uhξ )φ = N (E[uhξ ]) Q(u) − Q(uhξ ) ≈ E[ φ(ξ)Res(uhξ )] Wahl der adjungierten Kollokationspunkte? Bettina Schieche | 22.10.12 | Adjungierte Fehlersch¨ atzung | 16/26
40. Deterministische und stochastische Fehleranteile Q(u) − Q(uhξ ) ≈ E[ φ(ξ)Res(uhξ )] =: E[err(ξ)] Quadratur um E[err(ξ)] zu approximieren Bettina Schieche | 22.10.12 | Adjungierte Fehlersch¨ atzung | 17/26
41. Deterministische und stochastische Fehleranteile Q(u) − Q(uhξ ) ≈ E[ φ(ξ)Res(uhξ )] =: E[err(ξ)] Quadratur um E[err(ξ)] zu approximieren primale Kollokationspunkte: {y(j)}P j=1 – stochastischer Fehler in den Kollokationspunkten = 0 – deterministischer Fehleranteil: P j=1 err(y(j))wj Bettina Schieche | 22.10.12 | Adjungierte Fehlersch¨ atzung | 17/26
42. Deterministische und stochastische Fehleranteile Q(u) − Q(uhξ ) ≈ E[ φ(ξ)Res(uhξ )] =: E[err(ξ)] Quadratur um E[err(ξ)] zu approximieren primale Kollokationspunkte: {y(j)}P j=1 – stochastischer Fehler in den Kollokationspunkten = 0 – deterministischer Fehleranteil: P j=1 err(y(j))wj erweiterte Menge an Kollokationspunkten {y(j)}P+˜ P j=1 – gesamter Fehler: P+˜ P j=1 err(y(j)) ˜ wj – Wie groß muss ˜ P gew¨ ahlt werden? Bettina Schieche | 22.10.12 | Adjungierte Fehlersch¨ atzung | 17/26
43. Adjungierte stochastische Kollokation f¨ ur den Fehler nach der 4. Iteration (P = 31) 0 20 40 60 80 0.8 0.85 0.9 0.95 1 Anzahl adjungierte Kollokationspunkte Fehlerschaetzung / exakter Fehler deterministischer Fehler gemeinsamer Fehler ⇒ wenig Aufwand f¨ ur deterministische Fehleranteile ⇒ viel Aufwand f¨ ur stochastische Fehleranteile Idee: reduziertes Modell f¨ ur die Adjungierte Bettina Schieche | 22.10.12 | Adjungierte Fehlersch¨ atzung | 18/26
44. Stochastische Kollokation mit adjungiertem, reduzierten Fehlersch¨ atzer 0 10 20 30 40 50 10−4 10−3 10−2 10−1 100 Anzahl primale Kollokationspunkte relativer Fehler von Q Fehlerindikator exakter Fehler adj. Fehlerschaetzer reduzierter adj. Fehlerschaetzer ⇒ Algorithmus bricht mit optimaler Anzahl an Kollokationspunkten ab. → TOL Bettina Schieche | 22.10.12 | Adjungierte Fehlersch¨ atzung | 19/26
45. ¨ Ubersicht Problemformulierung Adaptive stochastische Kollokation Adjungierte Fehlersch¨ atzung Exakte Bestimmung von Erwartungswerten Bettina Schieche | 22.10.12 | Exakte Bestimmung von Erwartungswerten | 20/26
46. Motivation A(x)u(x, ξ) = f(x, ξ) | E[ · ] A(x)E[u(x, ξ)] = E[f(x, ξ)] ⇒ 1 PDE f¨ ur den Erwartungswert Direkte Bestimmung von E[u] f¨ ur Operatoren A(x, ξ) m¨ oglich? Bettina Schieche | 22.10.12 | Exakte Bestimmung von Erwartungswerten | 21/26
47. Beispiel: Summe zweier Operatoren Idee: Transformation auf Zeitintegral ∂t v = ∇ · (α(x, ξ)∇v) =: A(ξ)v v(0) = v0 α(x, ξ) = E[α] + f(x)ξ ξ gleichverteilt auf [−a, a] Bettina Schieche | 22.10.12 | Exakte Bestimmung von Erwartungswerten | 22/26
48. Beispiel: Summe zweier Operatoren Idee: Transformation auf Zeitintegral ∂t v = ∇ · (α(x, ξ)∇v) =: A(ξ)v v(0) = v0 α(x, ξ) = E[α] + f(x)ξ ξ gleichverteilt auf [−a, a] E[v] = 1 2a a −a v(t, y) dy Bettina Schieche | 22.10.12 | Exakte Bestimmung von Erwartungswerten | 22/26
49. Beispiel: Summe zweier Operatoren Idee: Transformation auf Zeitintegral ∂t v = ∇ · (α(x, ξ)∇v) =: A(ξ)v v(0) = v0 α(x, ξ) = E[α] + f(x)ξ ξ gleichverteilt auf [−a, a] E[v] = 1 2a a −a v(t, y) dy = 1 2a 0 −a v(t, y) dy + a 0 v(t, y) dy Bettina Schieche | 22.10.12 | Exakte Bestimmung von Erwartungswerten | 22/26
50. Beispiel: Summe zweier Operatoren Idee: Transformation auf Zeitintegral ∂t v = ∇ · (α(x, ξ)∇v) =: A(ξ)v v(0) = v0 α(x, ξ) = E[α] + f(x)ξ ξ gleichverteilt auf [−a, a] E[v] = 1 2a a −a v(t, y) dy = 1 2a 0 −a v(t, y) dy + a 0 v(t, y) dy s = t ∓a y = 1 2t t 0 v(t, −as t ) + v(t, as t ) ds Bettina Schieche | 22.10.12 | Exakte Bestimmung von Erwartungswerten | 22/26
51. Beispiel: Summe zweier Operatoren Idee: Transformation auf Zeitintegral ∂t v = ∇ · (α(x, ξ)∇v) =: A(ξ)v v(0) = v0 α(x, ξ) = E[α] + f(x)ξ ξ gleichverteilt auf [−a, a] E[v] = 1 2a a −a v(t, y) dy = 1 2a 0 −a v(t, y) dy + a 0 v(t, y) dy s = t ∓a y = 1 2t t 0 v(t, −as t ) + v(t, as t ) ds → Wie l¨ asst sich der Ausdruck interpretieren? Bettina Schieche | 22.10.12 | Exakte Bestimmung von Erwartungswerten | 22/26
52. Beispiel: Summe zweier Operatoren Idee: Transformation auf Zeitintegral ∂t v = ∇ · (α(x, ξ)∇v) =: A(ξ)v v(0) = v0 α(x, ξ) = E[α] + f(x)ξ ξ gleichverteilt auf [−a, a] E[v] = 1 2a a −a v(t, y) dy = 1 2a 0 −a v(t, y) dy + a 0 v(t, y) dy s = t ∓a y = 1 2t t 0 v(t, −as t ) + v(t, as t ) ds → Wie l¨ asst sich der Ausdruck interpretieren? Annahme: A(y) erzeugt C0-Halbgruppe {Sy (t)} f¨ ur alle y ∈ [−a, a] v(t, y) = Sy (t)v0 = exp(A(y)t)v0 Bettina Schieche | 22.10.12 | Exakte Bestimmung von Erwartungswerten | 22/26
53. Beispiel: Summe zweier Operatoren Hauptresultat Theorem: E[v] = 1 2t u, u L¨ osung von ∂t u = A(0)u + v(t, −a) + v(t, a) u(0) = 0 Bettina Schieche | 22.10.12 | Exakte Bestimmung von Erwartungswerten | 23/26
54. Beispiel: Summe zweier Operatoren Hauptresultat Theorem: E[v] = 1 2t u, u L¨ osung von ∂t u = A(0)u + v(t, −a) + v(t, a) u(0) = 0 Beweisskizze: Es gilt: v(t, y) = Sy (t)v0 = S0 1 − y a t Sa y a t v0 ⇒ 1 2a a 0 v(t, y) dy = 1 2a a 0 S0 1 − y a t Sa y a t v0 dy s = t a y = 1 2t t 0 S0(t − s) Sa(s)v0 =v(s,a) ds Bettina Schieche | 22.10.12 | Exakte Bestimmung von Erwartungswerten | 23/26
55. Beispiel: Summe zweier Operatoren Hauptresultat Theorem: E[v] = 1 2t u, u L¨ osung von ∂t u = A(0)u + v(t, −a) + v(t, a) u(0) = 0 Beweisskizze: Es gilt: v(t, y) = Sy (t)v0 = S0 1 − y a t Sa y a t v0 ⇒ 1 2a a 0 v(t, y) dy = 1 2a a 0 S0 1 − y a t Sa y a t v0 dy s = t a y = 1 2t t 0 S0(t − s) Sa(s)v0 =v(s,a) ds ⇒ E[v] = 1 2t t 0 S0(t − s)(v(s, −a) + v(s, a)) ds Bettina Schieche | 22.10.12 | Exakte Bestimmung von Erwartungswerten | 23/26
56. Beispiel: Summe zweier Operatoren Hauptresultat Theorem: E[v] = 1 2t u, u L¨ osung von ∂t u = A(0)u + v(t, −a) + v(t, a) u(0) = 0 Beweisskizze: Es gilt: v(t, y) = Sy (t)v0 = S0 1 − y a t Sa y a t v0 ⇒ 1 2a a 0 v(t, y) dy = 1 2a a 0 S0 1 − y a t Sa y a t v0 dy s = t a y = 1 2t t 0 S0(t − s) Sa(s)v0 =v(s,a) ds ⇒ E[v] = 1 2t t 0 S0(t − s)(v(s, −a) + v(s, a)) ds Variation der Konstanten liefert obige Darstellung. (2+1 PDEs zu l¨ osen) Bettina Schieche | 22.10.12 | Exakte Bestimmung von Erwartungswerten | 23/26
57. Chancen und Grenzen des Ansatzes Weitere Anwendungen: A(ξ) = A0 + M n=1 ξnAn → 3M PDEs iterativ zu l¨ osen Inhomogenit¨ aten vom Typ f(t)g(x) Grenzen: h¨ ohere Momente allgemeine Inhomogenit¨ aten beliebige Verteilungsfunktionen Bettina Schieche | 22.10.12 | Exakte Bestimmung von Erwartungswerten | 24/26
58. Beispiel: W¨ armeleitungsgleichung in 2D Exakte Berechnung von E[T(xi, 1)] xi exakt (P = 27) P = 7 P = 11 P = 19 P = 31 P = 55 (0, 0) 1.117503 1.116933 1.116945 1.116953 1.117116 1.117117 (0, 0.5) 0.733371 0.733364 0.733362 0.733361 0.733347 0.733347 (1, 0.5) 0.533597 0.533618 0.533617 0.533599 0.533588 0.533587 (2, 0.5) 0.205309 0.205351 0.205351 0.205313 0.205314 0.205314 (2, 0) 0.237578 0.237626 0.237625 0.237581 0.237582 0.237582 (1, −0.6) 0.897719 0.897137 0.897145 0.897417 0.897425 0.897425 6 Referenzpunkte xi 3 gleiche Nachkommastellen f¨ ur P = 31 Kollokationspunkte vergleichbarer Aufwand Bettina Schieche | 22.10.12 | Exakte Bestimmung von Erwartungswerten | 25/26
59. Zusammenfassung und Ausblick Fazit: Stochastische Kollokation auf d¨ unnen Gittern ist in der Lage den ” Fluch der Dimension“ zu brechen. Mithilfe von adjungierten stochastischen Problemen lassen sich Fehlersch¨ atzer konstruieren. F¨ ur gewisse Probleme lassen sich Erwartungswerte der L¨ osung exakt bestimmen. Ausblick: adjungierte Fehlersch¨ atzer f¨ ur nichtlineare Probleme lokale Fehlersch¨ atzer Modellreduktion des eigentlichen Problems Bettina Schieche | 22.10.12 | Exakte Bestimmung von Erwartungswerten | 26/26
60. Konstruktion von d¨ unnbesetzten Gittern: Smolyak Algorithmus als Quadraturformel 1. geschachtelte Folge von 1d-Quadraturformeln: {Ui}i=1,2,... 2. definiere Tensorprodukt (Ui ⊗ Ul)(g) := j,k wj wk g(xj, xk ) 3. definiere Update-Formeln {∆i}i=1,2,... ∆1 := U1 ∆i := Ui − Ui−1 , i ≥ 2 4. Smolyak’s Formel A(k, M) := i1+...+iM ≤k+M ∆i1 ⊗ · · · ⊗ ∆iM Bettina Schieche | 22.10.12 | Exakte Bestimmung von Erwartungswerten | 26/26
61. Wahl der rechten Seite des stochastischen adjungierten Problems A(u, ξ) = f(ξ) Q(u) = N(E[uq]) Q(u) − Q(uhξ ) ≈ N (E[uq hξ ])E[quq−1 hξ (u − uhξ )] = E[ qN (E[uq hξ ])uq−1 hξ rechte Seite von A∗(φ) (u − uhξ )] = E[ φ(A(u) =f −A(uhξ ))] = E[ φ(ξ)Res(uhξ )] Bettina Schieche | 22.10.12 | Exakte Bestimmung von Erwartungswerten | 26/26
62. Modellreduktion des adjungierten Problems Proper Orthogonal Decomposition (POD) 1. Auswerten des adjungierten Problems in wenigen Kollokationspunkten: A∗(y(j))Φj = G, j = 1, . . . , P 2. Snapshot-Matrix S = (Φ1, · · · , ΦP) 3. Singul¨ arwertzerlegung von S → reduzierte Basis ϕ 4. Galerkin-Projektion auf ϕ: A∗ R (ξ)ΦR(ξ) = GR, dim(A∗ R ) dim(A∗) (1) 5. Auswerten von (1) in beliebig vielen Kollokationspunkten Bettina Schieche | 22.10.12 | Exakte Bestimmung von Erwartungswerten | 26/26
63. Details zum Beweis A(a)S0(t)v = lim s→0+ Sa(s)S0(t)v − S0(t)v s = lim s→0+ S0(t)Sa(s)v − S0(t)v s = S0(t) lim s→0+ Sa(s)v − v s = S0(t)A(a)v mit Sa(s)S0(t)v = exp(A(a)s) exp(A(0)s)v = exp((A(a) + A(0))s) = exp(A(0)s) exp(A(a)s)v = S0(t)Sa(s)v Bettina Schieche | 22.10.12 | Exakte Bestimmung von Erwartungswerten | 26/26