On Space Filling Curves: Its Beauty and Applications

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1. VRCLT #3
   空間充填曲線，その魅力と意義
   cannorin
   

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2. だれ
   ● Twitter: @cannorin_vrc
   ● Study: 数理論理学
   プログラム言語の理論
   ● Job: F# プログラマ
   ● in VRC: VOLT Enthusiast
   VRCLT Speaker (#2~)
   

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3. 空間充填曲線とは
   ペアノ曲線 (0) ヒルベルト曲線 (1)
   

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4. 空間充填曲線とは（再帰的に細かくしていく）
   ペアノ曲線 (1) ヒルベルト曲線 (2)
   

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5. 空間充填曲線とは（再帰的に細かくしていく）
   ペアノ曲線 (2) ヒルベルト曲線 (3)
   

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6. 空間充填曲線とは（再帰的に細かくしていく）
   ペアノ曲線 (3) ヒルベルト曲線 (4)
   

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7. 空間充填曲線とは → 空間を充填する曲線（それはそう）
   ペアノ曲線 (∞) ヒルベルト曲線 (∞)
   

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8. 空間充填曲線とは / 一般化
   n 次元への一般化もできる（これは 3D ヒルベルト曲線）
   

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9. 空間充填曲線とは / 定義
   n 次元の単位（超）立方体を “埋め尽くす”（一次元の）曲線
   ↓ 形式的には
   （一次元の）単位区間 [0, 1] から
   n 次元の単位（超）立方体 [0, 1]ⁿ への連続写像
   

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10. なぜ埋め尽くせるのか？
    ゲオルク・カントール (1845 - 1918)
    実数 ℝ の濃度と
    n- 次元ユークリッド空間 ℝ ⁿ の
    濃度は等しい
    ＋
    （ non-degenerate な）区間
    （単位区間 [0, 1] など）も等しい
    

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11. なぜ埋め尽くせるのか？ / 濃度とは？
    全単射が存在（＝１対１対応を作れる）⇔ 濃度が等しい
    「濃度」＝「要素の個数」概念の一般化（無限もＯＫ）
    |X| = |Y|
    ( ちなみに |ℝ| > |ℕ| )
    

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12. なぜ埋め尽くせるのか？
    ゲオルク・カントール (1845 - 1918)
    | [0, 1] | = |ℝ| = |ℝⁿ|
    [0, 1] ℝ
    と と ℝ ⁿ の間の全単射の存在を証明
    

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13. なぜ埋め尽くせるのか？
    ジュゼッペ・ペアノ (1858 - 1932)
    全単射が存在するなら，
    連続にできるのだろうか？
    ||
    空間を一本の曲線で
    埋め尽くせるのだろうか？
    

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14. なぜ埋め尽くせるのか？
    ジュゼッペ・ペアノ (1858 - 1932)
    → 全単射にはならなかったが，埋め尽くせた！
    （ペアノ曲線）
    

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15. なぜ全単射にならない？
    ℝ と ℝ ² は同相ではない
    ↓ 一点を取り除く
    分離する→ ← 分離しない
    

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16. なぜ全単射にならない？
    一点を取り除いても分離しない ⇔ 自己交叉がある
    ⇔ 同じ点を何度も通る場所がある ⇔ 単射ではない！
    ※ 詳しくは解析学や位相空間論の知識が必要． A.P.M Kupers,
    On Space-Filling Curves and the Hahn-Mazurkiewicz Theorem とか参照
    ↑
    実は自己交叉してる
    

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17. おもしろい応用例が色々ある
    ● Google Maps のキャッシュの最適化
    ● 巡回セールスマン問題の高速なヒューリスティック手法
    ● 小型で高性能なアンテナの設計
    ● 大規模並列計算のロードバランシング
    ● 衝突判定やレイトレーシングの高速化
    ● etc...
    

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18. 応用 / Bounding Volume Hierarchy
    物体同士の衝突判定や，物体とレイの交差判定を効率化する
    ために，近くにある物体同士をグループ化して扱いたい
    二分木にする → 判定回数を減らせる： O(n) → O(log n)
    

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19. 応用 / Bounding Volume Hierarchy / 二分木構築の高速化
    近くにある物体同士を検出して二分木を作るのが大変
    → 空間充填曲線を使って走査する
    空間充填曲線は右から左へと
    走査するのに比べて，
    平面上で近くにあるものが
    直線上でも近くになりやすい
    → 順番に辿ればＯＫ！
    

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20. 応用 / 空間充填曲線の locality
    「平面上で近くにあるものが直線上でも近くになりやすい」
    性質 (locality) が様々な分野に応用しやすい
    実装が楽なのでヒルベルト曲線がよく使われるが，
    使う曲線によって効率化の度合いが変わることもある
    

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21. ところで・・・
    今回のスライドで使われている空間充填曲線の画像は，
    私が所属している「株式会社ぺあのしすてむ」で
    業務の一環として開発しているスマホアプリ
    「 Peano Curves 」で作成されています
    ・現在オープンベータテスト中
    ・アプリ名 : Peano Curves
    ・対応 OS: iOS/Android
    ・公式 Twitter: @PeanoCurves
    

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22. Thank you for listening!
    

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