Upgrade to Pro — share decks privately, control downloads, hide ads and more …

On Space Filling Curves: Its Beauty and Applications

452d2be966ed20b894b1fa66ce44b1a1?s=47 cannorin
July 25, 2019

On Space Filling Curves: Its Beauty and Applications

452d2be966ed20b894b1fa66ce44b1a1?s=128

cannorin

July 25, 2019
Tweet

Transcript

  1. VRCLT #3 空間充填曲線,その魅力と意義 cannorin

  2. だれ • Twitter: @cannorin_vrc • Study: 数理論理学 プログラム言語の理論 • Job:

    F# プログラマ • in VRC: VOLT Enthusiast VRCLT Speaker (#2~)
  3. 空間充填曲線とは ペアノ曲線 (0) ヒルベルト曲線 (1)

  4. 空間充填曲線とは(再帰的に細かくしていく) ペアノ曲線 (1) ヒルベルト曲線 (2)

  5. 空間充填曲線とは(再帰的に細かくしていく) ペアノ曲線 (2) ヒルベルト曲線 (3)

  6. 空間充填曲線とは(再帰的に細かくしていく) ペアノ曲線 (3) ヒルベルト曲線 (4)

  7. 空間充填曲線とは → 空間を充填する曲線(それはそう) ペアノ曲線 (∞) ヒルベルト曲線 (∞)

  8. 空間充填曲線とは / 一般化 n 次元への一般化もできる(これは 3D ヒルベルト曲線)

  9. 空間充填曲線とは / 定義 n 次元の単位(超)立方体を “埋め尽くす”(一次元の)曲線 ↓ 形式的には (一次元の)単位区間 [0,

    1] から n 次元の単位(超)立方体 [0, 1]ⁿ への連続写像
  10. なぜ埋め尽くせるのか? ゲオルク・カントール (1845 - 1918) 実数 ℝ の濃度と n- 次元ユークリッド空間

    ℝ ⁿ の 濃度は等しい + ( non-degenerate な)区間 (単位区間 [0, 1] など)も等しい
  11. なぜ埋め尽くせるのか? / 濃度とは? 全単射が存在(=1対1対応を作れる)⇔ 濃度が等しい 「濃度」=「要素の個数」概念の一般化(無限もOK) |X| = |Y| (

    ちなみに |ℝ| > |ℕ| )
  12. なぜ埋め尽くせるのか? ゲオルク・カントール (1845 - 1918) | [0, 1] | =

    |ℝ| = |ℝⁿ| [0, 1] ℝ と と ℝ ⁿ の間の全単射の存在を証明
  13. なぜ埋め尽くせるのか? ジュゼッペ・ペアノ (1858 - 1932) 全単射が存在するなら, 連続にできるのだろうか? || 空間を一本の曲線で 埋め尽くせるのだろうか?

  14. なぜ埋め尽くせるのか? ジュゼッペ・ペアノ (1858 - 1932) → 全単射にはならなかったが,埋め尽くせた! (ペアノ曲線)

  15. なぜ全単射にならない? ℝ と ℝ ² は同相ではない ↓ 一点を取り除く 分離する→ ←

    分離しない
  16. なぜ全単射にならない? 一点を取り除いても分離しない ⇔ 自己交叉がある ⇔ 同じ点を何度も通る場所がある ⇔ 単射ではない! ※ 詳しくは解析学や位相空間論の知識が必要.

    A.P.M Kupers, On Space-Filling Curves and the Hahn-Mazurkiewicz Theorem とか参照 ↑ 実は自己交叉してる
  17. おもしろい応用例が色々ある • Google Maps のキャッシュの最適化 • 巡回セールスマン問題の高速なヒューリスティック手法 • 小型で高性能なアンテナの設計 •

    大規模並列計算のロードバランシング • 衝突判定やレイトレーシングの高速化 • etc...
  18. 応用 / Bounding Volume Hierarchy 物体同士の衝突判定や,物体とレイの交差判定を効率化する ために,近くにある物体同士をグループ化して扱いたい 二分木にする → 判定回数を減らせる:

    O(n) → O(log n)
  19. 応用 / Bounding Volume Hierarchy / 二分木構築の高速化 近くにある物体同士を検出して二分木を作るのが大変 → 空間充填曲線を使って走査する

    空間充填曲線は右から左へと 走査するのに比べて, 平面上で近くにあるものが 直線上でも近くになりやすい → 順番に辿ればOK!
  20. 応用 / 空間充填曲線の locality 「平面上で近くにあるものが直線上でも近くになりやすい」 性質 (locality) が様々な分野に応用しやすい 実装が楽なのでヒルベルト曲線がよく使われるが, 使う曲線によって効率化の度合いが変わることもある

  21. ところで・・・ 今回のスライドで使われている空間充填曲線の画像は, 私が所属している「株式会社ぺあのしすてむ」で 業務の一環として開発しているスマホアプリ 「 Peano Curves 」で作成されています ・現在オープンベータテスト中 ・アプリ名

    : Peano Curves ・対応 OS: iOS/Android ・公式 Twitter: @PeanoCurves
  22. Thank you for listening!