論文読み会 SIG-SPATIAL'21 | Brownian Bridge Interpolation for Human Mobility?

論文読み会のための資料

(A slide for the paper-reading group at my company.)

Transcript

1. Brownian Bridge Interpolation
   
   for Human Mobility?
   著者: John Krumm, Microsoft Research
   
   読む人: @cocomoff
   
   @論文読み会 2021/12/14
   

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2. 内容
   「Brownian bridge」っていう簡単な確率的補間手法があるけど，これっ
   て人間の位置情報の補間に使えるのか? を調べるために，12M人のデータ
   に対して実際に適用してやってみた & 適用するために手法も確立した
   ブラウン橋
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3. 目次
   内容
   確率過程とブラウン橋
   論文のResearch Question
   ブラウン橋のパラメータを求める最尤推定法
   実験
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4. 確率過程とブラウン橋 (1/3)
   確率過程: 時間などの条件によって変化する確率変数の数理モデル
   雑な理解: のようなオブジェクトを扱う道具
   マルコフ過程: が にのみ依存する
   ガウス過程: から任意に 個取り出して (略) したものが
   常に多次元正規分布に従うような確率過程
   ブラウン運動: 微粒子がランダムに運動する物理現象
   ウィーナー過程: ブラウン運動の数学的なモデル
   標準ブラウン運動: 以下を満たす確率過程
   ， は定常増分を持つ， は増分の列が互い
   に独立になる， ，確率1で は連続
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   マルコフ過程のうち，取りうる値が加算個以下の場合，マルコフ連鎖と呼ばれるアレになる
   

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5. 確率過程とブラウン橋 (2/3)
   ブラウン橋: 標準ブラウン運動の定義域 を にのみ制限し，
   であるような標準ブラウン運動
   実装的には， を標準ブラウン運動のオブジェクトとして，
   で定義されるような である
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6. 確率過程とブラウン橋 (3/3)
   2次元のブラウン橋 (論文版): 2点 が観測済みで，その間をパラメー
   タ で補間するような確率過程
   ただしパラメータは2点の線形補間
   平均ベクトル:
   分散は
   は唯一のパラメータ (diffusion coefficient と呼ばれる) 5/17
   

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7. 目次
   内容
   確率過程とブラウン橋
   論文のResearch Question
   ブラウン橋のパラメータを求める最尤推定法
   実験
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8. 論文のResearch Question
   ブラウン橋の手法的な立ち位置
   ブラウン橋は人流データ補間に対してどういう性質を持つのか
   パラメータが でシンプルだけど，本当にOK?
   2つの角度から検証する
   diffusion coefficient の consistency を確認する
   既存手法が遅いので，最尤推定法を作った
   ブラウン橋とデータの間で統計的検定をしてみる 7/17
   

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9. 目次
   内容
   確率過程とブラウン橋
   論文のResearch Question
   ブラウン橋のパラメータを求める最尤推定法
   実験
   8/17
   

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10. 点の取り方
    ブラウン橋は2点の補間なので，人流データから点を抽出して計算する
    論文で使ったデータ (左の範囲)
    論文では「50km以内」「48時間以内」の点を使った
    パラメータ推定のために3点を抽出して推定する
    右図の取り方が Horne triples と呼ばれている (traditional method)
    本論文では全3点取る場合も考えて All triples と呼ぶ
    論文データではHornが286,541,325個，Allが173,844,732,847個
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11. 最尤推定法
    データ
    位置 の尤度
    データに 個の3点があるので， として最尤推定する
    頑張って式展開すると以下が求まる ( )
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12. 推定パラメータの使い方とデータ分割 | 個人単位
    データ (例えば人流) に対してどのように推定値 を使うのか
    Horne triplesとAll triplesを計算し，データ中の個人が持つtriplesの個数
    をカウントする (たぶん1つの を使っていいのか？を見たい)
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13. 個人をグループ分けして複数のパラメータを推定する | 分割単位
    距離と時間の分かれぐらいでグループ分けして推定するのもアリ
    分解能を とし，データ全体を
    で分け，全体で を1000分割，
    を576分割し，全部で576,000個に分割して個数を可視化
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14. 目次
    内容
    確率過程とブラウン橋
    論文のResearch Question
    ブラウン橋のパラメータを求める最尤推定法
    実験
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15. Diffusion Coefficientsの推定
    いろいろ推定した (individual vs collective, trimmed vs untrimmed)
    結論
    データでは人は単一の を持っていない
    Horne triplesとAll triplesでの差は大きくないが，傾向もない
    簡単に関連付けて結論付ける方法はなさそう
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16. 統計的検定 | 平均ベクトルのHotelling's T-square test
    ブラウン橋では間の点 について を期待
    帰無仮説: 期待ベクトルがゼロベクトルになる
    を変更した場合，どれぐらい検定が失敗するかのカーブを調べた
    Horn triplesを使うときはreasonableだが，all triplesでは…?
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17. 統計的検定 | ガウス分布の検定
    2点の間を予測する確率が正規分布で書けることから，中間点が実際にガ
    ウス分布に従っているか？を検定で確認すれば良い (正規性の検定)
    と変数変換すると，
    である．今真の が分からないので， と設
    定した (正規性を怖さないからOK，というノリ)
    Henze-Zirkler testを利用した (最新のmultivariate nomality test)
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18. まとめ
    やりたかったこと: 人流補間にブラウン橋が使えるのか?
    検討したこと
    の検証: 最尤推定を提案した上で計算すると，人流の共通パラメ
    ータはなさそう．1つ選ぶならmedianとかを使うのが良さそう
    データと比較した検定:
    (1) Horn triplesに対して，平均ベクトルはvalid
    (2) データはほとんどガウス分布に従っていないので，ブラウ
    ン橋はデータの補間として正確ではない
    そのためシンプルなブラウン橋でのタイトルへの答えは No
    今後の課題
    より複雑な過程，他の確率的な補間の検証，データからの学習
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