[AES_19] Antonio José Lopes Bigode

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1. Reflexões EduMatemáticas na Escola da Cidade ANTONIO JOSÉ LOPES Bigode Centro de Educação Matemática - CEM
2. Cansado de responder à pergunta “onde está o Bigode”. Resolvi contar tudo. EU NÃO NASCI DE BIGODES ELES CRESCERAM NATURALMENTE
3. Reflexões de um educador matemático Que não é arquiteto, mas também não é matemático. Apenas um cidadão, pensador .. um educador matemático. MEU FOCO  O Raciocínio Matemático autêntico  A Aprendizagem Significativa  A Educação Matemática Realística  A Cultura Matemática ou a Matemática como Cultura  Matemática como um instrumento para a cidadania e o desenvolvimento da autonomia.
4. Um dos segredos mais bem guardados da cultura atual é o caráter profundamente lúdico das matemáticas. Para conseguir que esse segredo não seja divulgado têm-se articulado todas as estratégias escolares e sociais. Através de lousas ininteligíveis, explicações exóticas, abundantes mistérios e livros fastidiosos pelo excesso de rigor, conseguiu-se que a população em geral, longe de descobrir o segredo, acredita que a matemática seja o contrário do que realmente é. A ponto de bastar a presença da palavra “matemática” para provocar imediatamente reações contundentes: zappings televisivos, queima de livros didáticos, bocejos guturais, etc. De fato, esta faceta poderia ser aproveitada , inclusivamente, pelas forças da ordem, para dispersar manifestações de massas, pois, se em vez de objetos contundentes aparecessem fórmulas matemáticas nos escudos das forças da ordem, a maioria dos manifestantes empreenderia fugas velozes para lugares mais tranquilos e seguros Claudi Alsina, El Club de la Hipotenusa Matemáticas ricas e instigantes são sonegadas na escola básica
5. • Educação urbanística – Cidadania / plano diretor / • Senso estético ?? • Projeto • Educação matemática • Educação tecnológica (STEM) O que da visão do .. arquiteto, do urbanista ou do designer pode ser útil para o cidadão comum ?
6. Uma pauta para este encontro • O que é matemática • Cultura matemática • História da matemática • Etnomatemática • Pensamento matemático • Conexões matemáticas • Ferramentas matemáticas, aplicações, interdisciplinaridade • Pensamento geométrico • Tipos de geometria
7. Cultura Matemática ♦ História ♦ Filosofia ♦ Etnomatemática ♦ Artes 7 • Matemática contemporânea • Distintas matemáticas • Problemas abertos • Mídia
8. O que é a matemática • Não é só uma ferramenta utilizada por engenheiros, economistas e os senhores da guerra. É impossível chegar a um consenso, sua “definição” muda a cada geração e correntes filosóficas. “É a ciência da quantidade e do espaço” (senso comum até o séc. XIX, mas vigente até hoje) “É a ciência que permite chegar às conclusões necessárias” C. S. Pierce (1839-1914) “A matemática é uma ciência em que nunca se sabe do que se está falando nem se o que se está falando é verdade”. Bertrand Russel (1872-1970)
9. Da certeza à falibilidade Algumas visões filosóficas sobre a matemática • Platonismo Os objetos matemáticos são reais, sua existência são um fato objetivo, totalmente independente de nosso conhecimento sobre eles. Um matemático é um cientista empírico, como um geólogo; não pode inventar nada, pois tudo já existe. O que pode fazer é descobrir coisas. • Formalismo A matemática consiste de axiomas, definições, teoremas – em outras palavras, fórmulas (cadeias de símbolos que manipula mediante regras). Em algumas situações fórmulas matemáticas são aplicadas a problemas físicos. • Logicismo • Construtivismo • Intuicionismo • Falibilismo ### Oops! ###
10. Correntes da Filosofia da Matemática - Davis e Hersh (pág. 309 – 322) Fundamentos da Matemática Teoria de Conjuntos (Cantor) Intuição geométrica Aritmética Paradoxos. ex: Paradoxo de Russell Reação crescente contra o Formalismo em direção ao concreto e à aplicação. •Geometria não euclidiana •Desenv. Análise Crise de Fundamentos Logicismo (Frege+Russell) Lógica como fundamento da Matemática Construtivismo (Brouwer) Matemática construída a partir dos nºs naturais Nº finito de passos Independência da experiência Formalismo (Hilbert) Matemática é a ciência da demonstração rigorosa Gödel –Teoremas da incompletude
11. Pensamento matemático • Raciocínio Matemático – O que é raciocinar? – Processo Matemáticos • Definir • Classificar • Demonstrar
12. Cultura Matemática • História da Matemática • Etnomatemática • Matemática contemporânea • Matemática e Arte • Matemática e Arquitetura • Matemática e Design . . • Matemática e ..
13. História da Matemática • Egípcios, babilônios, • Geometria grega • Chineses, hindus, árabes, maias, astecas, incas • Medições indiretas • Trigonometria • Logaritmos • Probabilidade • Álgebra
14. Medindo a distância de um navio à praia com Tales de Mileto Medições indiretas
16. d p
17. Cavando um túnel através de um monte
18. Resolução de Problemas 4 etapas na Resolução de Problemas
19. Quando os “problemas” são realmente problemas ? 1 ) Quanto é 3 x 5 ? 19 5) Qual é a área de um paralelogramo cujos lados medem 5 e 3 e cuja altura mede 4 ? Em quais das questões aqui colocadas você precisou raciocinar ? 2) Qual é a área da figura ? 3) Qual é seu nome ? 4) Qual é a área de um paralelogramo cuja base mede 5 e a altura 3 ? 1
20. Compreensão do Problema Primeiro É preciso compreender o problema.  Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante?É possível satisfazer a condicionante ? A condicionante é suficiente para determinar a incógnita? Ou é insuficiente? Ou redundante? Ou contraditória?  Trace uma figura. Adote uma notação adequada.  Separe as diversas partes da condicionante. É possível escrevê-las? Estabelecimento de um plano Segundo Encontre a conexão entre os dados e a incógnita. É possível que seja obrigado a considerar problemas auxiliares se não encontrar uma conexão imediata. É preciso chegar afinal a um plano de resolução.  Já viu o problema antes? Ou já viu o mesmo problema apresentado sob forma ligeiramente diferente?  Conhece um problema relacionado com este? Conhece um problema que lhe pode ser útil?  Considere a incógnita! E procure pensar num problema conhecido que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante.  Eis um problema correlato e já antes resolvido. É possível utilizá-lo? É possível utilizar seu resultado? É possível utilizar o seu método. Deve-se introduzir algum elemento auxiliar para tornar possível a sua solução?  É possível reformular o problema? É possível reformulá-lo ainda de outra maneira? Volte às definições.  Se não puder resolver o problema proposto, procure antes resolver algum problema correlato. É possível imaginar um problema correlato mais acessível? Um problema mais genérico? Um problema mais específico? Um problema análogo? É possível resolver uma parte do problema? É possível obter dos dados alguma coisa útil? Utilizou todos os dados? Utilizou toda a condicionante? Execução do plano Terceiro Execute o seu plano  Ao executar o seu plano de resolução, verifique cada passo. É possível verificar claramente que o passo está carreto? É possível demonstrar que ele está carreto? Retrospecto Quarto Examine a solução obtida  É possível verificar o resultado?  É possível verificar o argumento?  É possível chegar ao resultado por um caminho diferente?  É possível perceber isto num relance ?  É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro problema? Como Resolver Um Problema “Um método é um truque que funciona mais de uma vez” G. Polya
21. ### ideias • Problemas de Martin Gardner – Diagonais do cubo – Polígono de perímetro 12 P e área 4 PQ – Raio do círculo trigonométrico com retângulo inscrito no 1º Q – Quadrados e somas de ímpares – Problema dos vasilhames (5 e 8 ou 9 e 4) para extrair x litros – Sudoku reduzidos – Problemas de distribuição em celas – Curvas de perseguição, marcas de prego do caixote que “rola” – Dissecções – Exercícios com informações obsoletas // quando o cálculo é desnecessário – Problemas de otimização (tempo de escala no aeroporto) e tomada de decisão – Taxigeometria – Poliminós, eficiência perimétrica e o problema da insolação
22. Problemas para aguçar a mente dos jovens Beda o venerável Dizemos que um número natural é legal quando for soma de dois naturais consecutivos e também for soma de três naturais consecutivos. Mostre que 2001 é legal, mas 1999 e 2002 não são legais.
23. O retângulo ao lado está dividido em 9 quadrados: A, B, C, D, E, F, G, H e I. O quadrado A tem lado 1 e o quadrado B têm lado 9. Qual é o lado do quadrado I ? Um retângulo ABCD está dividido em quatro retângulos menores. As áreas de três deles estão na figura abaixo. Qual é a área do retângulo ABCD?
24. Cada um dos cartões tem de um lado um número e de outro uma letra. Alguém afirmou que “Todos os cartões que tem de um lado uma vogal tem um número par na outra face”. Para verificar se esta afirmação é verdadeira: a) é necessário virar todos os cartões; b) é necessário virar os dois primeiros cartões; c) é necessário virar os dois últimos cartões; d) é suficiente virar os dois cartões do meio; e) é suficiente virar o primeiro e o último cartão. A 2 3 B
25. Uma mesa retangular, cujos pés têm rodas, deve ser empurrada por um corredor de largura constante, que forma um ângulo reto. Se as dimensões da mesa são a e b (com 2a < b), qual deve ser a largura mínima do corredor para que a mesa possa ser empurrada através dele? Neste teste cada cofre tem duas afirmações e nenhum deles contém mais do que uma afirmação falsa: Em que cofre está o retrato? 1º cofre 2º cofre 3º cofre 1: O retrato não está nesse cofre. 1: O retrato não está no primeiro cofre. 1: O retrato não está nesse cofre. 2: O artista que pintou o retrato é de Veneza. 2: O artista que pintou o retrato é de Florença. 2:O retrato não está no segundo cofre. Um triângulo eqüilátero pode ser recortado em triângulos eqüiláteros menores. A figura ao lado mostra como recortar um triângulo eqüilátero em 7 triângulos eqüiláteros. Mostre como recortar um triângulo eqüilátero em 20 triângulos eqüiláteros menores.
26. Fragmentação x Conexões Aritmética Álgebra Geometria
27. Aberrações notáveis Fatorar: a3 + b3 = (a + b).(a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b).(a2 + ab + b2) Há outras perspectivas alternativas que focam no raciocínio e nas conexões matemáticas
28. x2 – y2 (x + y). (x – y) x2 – y2 = (x + y) . (x – y) 9
29. Conexões matemáticas Produtos notáveis Geometria Cálculo mental 37 x 43 (40 – 3) x (40 + 3) 402 – 32 = 1600 – 9 = 1591 = =
30. Resolução da equação do 2º grau • Prescrição - aplicação da fórmula de Bhaskara • Raciocínio por meio de conexões matemáticas e problematização
31. caderno da Joana 31 C O N E X Õ E S
32. Método Cascata caderno da Joana 32
33. Como Bhaskara (1114 - 1185) teria resolvido? Bhaskara teria aplicado o método desenvolvido por al-Khwarizmi (780-850) quase dois séculos antes. X2 +10x = 39 x2 5x 5x 39 x x 5 5 5 5
35. Conexões Matemáticas 35 ei-1=0 Qn = Tn + Tn-1 n2 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1)
36. 36 A pergunta
39. Aplicações 39 Realistas Factíveis Contemporâneas
40. Quantos ? 40 Como você faria para responder ? Competências de cálculo
41. Projetos 41
42. Fazer matemática com arte 42
43. Etnomatemática
45. Albrecht Dürer 500 anos de um marco da arte universal Perspectiva Quadrado mágico Relação de Euler para poliedros Logo
47. Quadrados Mágicos
48. Pensamento geométrico • Olhar geométrico • Visualização • Processo geométricos • Ferramentas geométricas. • . • .
49. Anamorfose
53. Geometria no entorno • Natureza • Arte • Arquitetura • Design – Gráfico – Objetos, utensílios, ferramentas, .. – ergonomia • Mídias
54. Geometria das abelhas
55. • O que é um quadrado • Níveis de van Hiele • Trianquad • Definição de ângulo • Definições de losango O problema das definições
56. Você sabe tudo sobre ângulos ? • O que é um ângulo ? • O que se faz com ângulos ? “reunião de duas semirretas de mesma origem”
57. Que figura é esta ?
58. Mosaico de polígonos 58
59. Pitágoras onde menos se espera
60. Calcule a área do círculo cujo raio mede 8 cm. Dica: A = r2
61. Cônicas
62. Hipérbole
63. Parábolas e elipses
65. Seria apenas um quebra-cabeça se ..
66. Casa Dudeney • http://ztfnews.wordpress.com/2012/12/05/ddynamic-la-casa-inspirada-en-un-acertijo-de-dudeney/ http://www.thedhaus.com/architecture/dhaus/dynamic/
67. Superelipse de Piet Hein
68. Competências de cálculo
69. O lugar da tecnologia Que tecnologia ?
70. se eu ouço eu esqueço se eu olho eu recordo se eu faço eu compreendo provérbio Chinês 70 Um diferencial em relação aos métodos tradicionais
71. 71 https://www.youtube.com/watch?v=w3f-WyDqOUw https://www.youtube.com/watch?v=5fAn5A0HbhU#t=63
72. O que é um losango ? Um quadrilátero com todos os lados iguais Um paralelogramo cujas diagonais são perpendiculares Área do losango O problema das definições
73. 1) Levantamento, mediante atividades e situações problema, dos conhecimentos prévios dos alunos sobre porcentagens (senso comum) e frações (ideias, representações, frações equivalentes).  Propor situações que exploram diferentes significados da ideia de porcentagem: • Como parte do todo • Como razão • Como probabilidade  Variar o foco da pergunta e a complexidade da questão: • É conhecido o todo e a porcentagem, pede-se a parte • É conhecida a parte e o todo, pede-se a porcentagem • É conhecida a parte e a porcentagem, pede-se o todo. 2) Produção de significados Explorar situações de interpretação de manchetes de jornais; de visualização e interpretação de representações como “barra de progresso” entre outras. 3) RP: Problematizar criando a necessidade de um referencial para comparar 4) Relação % e frações  desenvolver competências de cálculo mental 5) Institucionalizar a relação entre frações e porcentagens, generalizando relações, representações e métodos. Porcentagens: uma ideia aparentemente simples.
74. Equivalências: Explorar representações
75. A equipe brasileira tem 51% de chances de ganhar o campeonato 15 % de descontos nos presentes do dia das mães Passagens de ônibus aumentam 11 % a partir da próxima semana População brasileira cresceu 12,3% na última década Pesquisa revela que 33 % dos jovens gostam de sorvete de jiló Preparar e explorar painel de manchetes realistas para produção de significados sobre porcentagens. Objetivo: Levar os alunos a perceber que as porcentagens estão presentes nos meios de comunicação, nos livros de ciência e geografia e são utilizadas em inúmeras profissões, em especial aquelas relacionadas ao comércio. Usos
76. caro Bigode Obrigado pela acolhida tão simpática no nosso primeiro contato. Para relembrar o que te disse ao telefone: a escola da Cidade tem um número grande de professores que não possuem curso de Pós. Agora o MEC está exigindo que todos professores universitários tenham uma titulação de Pós. A Escola então está montando um Curso de Especialização voltado para a discussão da prática e do ensino de Arquitetura e Urbanismo, para esses professores. Eu sou o representante de Urbanismo na montagem desse Curso. Seu nome foi proposto e muito bem aceito pela coordenação do Curso. A proposta é que você seja um dos convidados para o dia 22 de outubro, uma quarta-feira. O horário é das 18 às 22 h, sendo 2 horas de uma primeira apresentação, seguida de intervalo e depois discussão com a classe (essa sequência pode ser revista de acordo o com o convidado). Vejo 3 possibilidades da apresentação, tendo em vista tua vivência da matemática-lógica e a experiência de ensino: 1- visão lógica em relação a formação da cidade 2- traduzir através do raciocínio lógico, a atuação do arquiteto em relação a proposição da cidade 3- questões relacionadas ao ensino, a aprendizagem Gostaria entretanto que você ficasse à vontade para repropor e pensar junto, sua participação. grato, abraço, Zico Rollemberg
77. Problematizar, ... por as coisas em relação formular e responder “porquês” e os “comos” Porque as coisas são como são ? Porque funciona ? Como funciona ? 77
79. Competência de cálculo
80. Problemas
81. Aplicações
82. História
83. Artes
84. Raciocínio
85. Conexões