Google PageRank勉強会#2 / Google PageRank 2011-07-06

Google PageRankの数理 第6章〜第10章の輪講スライドです。

Transcript

1. Google検索システムにおける
   PageRank手法(2)
   M2 Jun HASHIMOTO
   1
   

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2. 参考文献について
   • Google PageRankの数理
   – 共立出版，¥4725
   • 今日は第６～１０章の内容
   の説明です
   2
   

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3. Agenda
   • 前回の質問回答・復習
   • PageRankの計算について
   – 固有値・計算速度
   – 計算の高速化
   • ぶら下がりノードの考慮・適応的ベキ乗法・凝集
   • PageRankの更新について
   – リンク更新におけるPageRankの更新
   ※今日はスライドが黒いです（数式多め）
   3
   

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4. 内容得点と人気得点の比率
   • おそらく企業秘密（探しても分からず…）
   – http://www.imaginary-design.net/blog/archives/266
   4
   “ランク付け自体は内容得点（コンテンツスコア）と人気得点（ポピュラリ
   ティスコア）の合計である合計得点（オーバーオールスコア）によって順
   位付けが導き出されるのですが、内容（内部）と人気（リンク）のそれぞ
   れに対する配点は、その時々によって変化していきます。
   今のgoogleの流れは確実に内容重視になってきているというだけで、良
   質なコンテンツを創っていくことも立派なSEOなわけです。”
   

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5. [復習]総和方程式の行列表現
   • ハイパーリンク行列H(n*n)
   – ノードi->jのリンクがあれば
   = 1
   ||
   ，それ以外0
   •
   :ページ
   からの出リンクの個数
   • PageRankベクトルπ(1*n)
   • (2)式の行列表現： +1 =
   – Hは疎な行列
   – 平均的なwebページは出リンクが10個
   • O(10n)の計算量
   5
   

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6. [復習]基本モデルに対する調整
   • ぶら下がり問題に対する解決策(確率的調整)
   – = + 1
   
   ∗
   – a:ぶら下がりノードベクトル
   • ぶら下がりノードなら
   = 1，そうでなければ0
   – この調整により，Sは確率的(stochastic)となる
   • 収束性の保証のための調整(原始的調整)
   – = + 1 − ∗ 1
   
   ∗
   – G:Google行列
   – α:パラメータ(ハイパーリンクに従う時間の比率)
   6
   テレポーテーション行列E
   

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7. [復習]GoogleのPageRank調整手法
   • +1 = ，これだけ
   • Gに適用したベキ乗法で計算できる
   – 最大の２つの固有値を1
   , 2
   とすると，漸近的な
   収束の速さは， 2
   1
   ->0の速さ
   – Google行列では1
   = 1, 2
   ≦ であるため，が
   おおよその収束の目安となる
   7
   

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8. 1
   = 1である理由
   • Gの固有値に1が存在…成分が全て1のベクト
   ルpを適用するとGp=pとなる
   • 任意の行列Aに対し，絶対値が最大である固
   有値をrとすると，以下が成り立つ
   – || ≦ max
   
   
   
   • Gにおいて，任意の行に対し，
   
   = 1
   • || ≦ 1，r=1が存在するため，最大固有値は１
   8
   

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9. 2
   ≒ である理由
   • Gの固有値： = (1, 2
   , 3
   , …
   )
   • Sの固有値： = (1, 2
   , 3
   , …
   )
   – k=2,3,…nに対し
   =
   が成立
   • Webの世界におけるリンク構造から，
   ≒ 1
   – これにより
   ≒ が示される
   9
   

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10. 正行列に対するペロンの定理
    • 正行列A，Aの固有値で絶対値が最大のもの
    をrとすると，以下が成り立つ
    1. rは正
    2. rは単根
    3. = , > 0かつ |
    | = 1
    
    となるベクトル
    が唯一存在
    10
    

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11. Google行列Gに対するペロンの定理
    • 確率行列においてr=1(次回説明)
    – = に左から, 右からを乗算： =
    • Google行列を用いたPageRankの更新式
    – +1 =
    • ：定常ベクトル=PageRankベクトル
    11
    

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12. ベキ乗法が優れている理由
    • １回のGの乗算->ほぼ()
    • 固有値計算のアルゴリズム：どんなに頑張って
    も(2)
    12
    + 1 =
    = + 1 −
    = + ( + 1 − )
    Hは非常に疎(Sparse)：1行あたり10個ほどの成分
    ->O(10n)の計算量
    O(n)の計算量
    1
    

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13. PageRank計算の高速化(1)
    • ぶら下がりノードの考慮
    13
    + 1 = + ( + 1 − )
    = (
    11
    12
    
    )
    ND D
    ND
    D
    <-このように行列を入れ替えてやる
    ND(Not dangling):非ぶら下がりノード
    D(dangling):ぶら下がりノード
    の計算量を削減可能
    

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14. PageRank計算の高速化(2)
    • 適応型ベキ乗法
    – Kamvar et al.[2003]:一部分の”頑固な”ページの
    収束に時間がかかり，それ以外はより速く収束す
    ることを発見
    –
    −
    −1 < の際に要素iの計算を止める
    – 問題点:収束に関する証明がない
    • 途中で計算を止めた要素が本当の収束値か不明
    – とはいえベキ乗法によるPageRank計算の高速化
    に，現実的な貢献をしている
    14
    

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15. [Site B]www.huga.com
    [Site A]www.hoge.com
    PageRank計算の高速化(3)-1
    • 凝集
    – WebPageのリンク構造を階層的に考える
    – 例：
    15
    1 2
    3 6
    5
    4
    7
    www.hoge.com www.huga.com
    ページ1～7までの
    PageRankの計算
    hoge.comとhuga.com
    間のPageRankの計算
    ＋
    各サイト内の
    PageRankの計算
    

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16. PageRank計算の高速化(3)-2
    • 7つのノードを２つのノード（各サイト）へと凝集
    • ノード間での遷移確率を以下のように仮定
    16
    www.hoge.com www.huga.com
    0.96
    0.04 1
    (
    0.96 0.04
    0 1
    )
    1
    2
    1
    2
    α = 0.9, = (0.5 0.5)の時，
    定常ベクトルは(0.3676 0.6324)
    HostRankベクトルと呼ぶ
    

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17. PageRank計算の高速化(3)-3
    • www.hoge.comのPageRankベクトル
    17
    [Site A]www.hoge.com
    1
    3
    7
    2
    1
    =
    0 1 0 0
    0 0 1 0
    1/3 1/3 0 1/3
    0 0 0 0
    1
    2
    3
    7
    1
    2
    3
    7
    α = 0.9, = (0.25 0.25 0.25 0.25)の時，
    PageRankベクトルは(0.1671 0.3175 0.3483 0.1671)
    

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18. PageRank計算の高速化(3)-4
    • www.huga.comのPageRankベクトル
    18
    [Site B]www.huga.com
    6
    5
    4
    1
    =
    0 1 0
    0 0 1
    1 0 0
    4
    5
    6
    4
    5
    6
    α = 0.9, = (1/3 1/3 1/3)の時，
    PageRankベクトルは(1/3 1/3 1/3)
    

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19. PageRank計算の高速化(3)-5
    • 3つの定常ベクトルから近似のPageRankベクトル
    を算出
    19
    www.hoge.com www.huga.com
    1
    3
    7
    2
    6
    5
    4
    (0.3676 0.6324)
    (0.1671 0.3175 0.3483 0.1671) (1/3 1/3 1/3)
    = (0.3676 0.1671 0.3175 0.3483 0.1671 0.6324(1/3 1/3 1/3 ))
    = (0.0614 0.1167 0.1280 0.0614 0.2108 0.2108 0.2108)
    = (0.0538 0.1022 0.1132 0.0538 0.2271 0.2256 0.2242)
    凝集が機能し，計算量を減らすことができる
    

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20. PageRankの更新-1
    • PageRankはGoogleにより毎月更新(Google
    Danceと呼ばれる)
    – Cho et al.[2000]:全ページの40％は一週間以内に
    変更される
    • 更新における変更点
    – i)ハイパーリンクの追加・削除（Hの要素のみ変更）
    – ii)ページの追加・削除（Gの大きさそのものが変更）
    20
    

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21. PageRankの更新-2
    • リンク更新を扱う近似更新「近似凝集」
    – 更新前のPageRankベクトルを以下のように定義
    – 更新後のマルコフ連鎖状態空間Sを = ∪ に分割
    • 更新後のGoogle行列，PageRankベクトルを以下のように
    表す
    21
    = (1
    , 2
    , …
    )
    =
    11
    12
    21
    22
    
    
    
    :更新後に定常確率が一定の影響を受けるノード
    :更新後も定常確率が著しい影響を受けないノード
    = (1
    , 2
    , …
    |+1
    , +2
    , …
    )
    
    の中で， に属するノードの
    PageRankを行ベクトルとする
    

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22. PageRankの更新-3
    • 近似凝集を用いた近似更新
    – :(l+1)*(l+1)行列
    – に対する定常ベクトル = 1
    , 2
    , … +1
    • 正確なPageRankベクトルに対する近似ベクトル
    は以下のように表せる
    22
    =
    11
    12
    
    21
    1 − 21
    =
    
    
    = 1
    , 2
    , …
    |
    

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23. Thank you for Listening!!!
    23
    

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