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2018年度 化学プロセスシステム工学 第10回

2018年度 化学プロセスシステム工学 第10回

前回までの復習
流体加熱プロセス
連続槽型反応器
タンクの液面高さ(液レベル)制御
少し複雑な流体加熱プロセス:問題設定
設定値変更してみよう
外乱を加えてみよう
PID制御の問題点
微分先行型PID制御 (PI-D制御)
比例微分先行型PID制御 (I-PD制御)
PID制御 これから
簡単にやりたい!
よく使うラプラス変換の特性
よく使うラプラス(逆)変換
一次遅れモデル まとめ
[練習] 流体加熱プロセス
[練習] ラプラス変換
[練習] ステップ応答
[練習] ラプラス逆変換のための式変形
[練習] ラプラス逆変換
[練習] 流体加熱プロセス
1次遅れモデルとの比較
伝達関数
[練習] 1次遅れ+むだ時間 モデルの伝達関数は?
[練習] ラプラス変換
[練習] 2次遅れモデルの伝達関数は?
[練習] ラプラス変換
[練習] PID制御の伝達関数は?
[練習] ラプラス変換
ブロック線図
ブロック線図 直列結合
ブロック線図 並列結合
ブロック線図 フィードバック結合
ブロック線図 フィードバック結合 計算過程
ブロック線図 フィードバック制御
ブロック線図 フィードバック制御 計算過程
ちなみに・・・PID制御のブロック線図
いろいろなプロセスでPID制御系の伝達関数
PID制御のブロック線図 外乱があるときは?
微分先行型PID制御のブロック線図は?
I-PD制御のブロック線図は?
[練習] 少し複雑な流体加熱プロセス
[練習] 伝達関数を求めよう!
[練習] 伝達関数
2次遅れモデル
2次遅れモデルのPID制御のパラメータ

Hiromasa Kaneko

February 10, 2019
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Transcript

  1. 流体加熱プロセス 2 Q T, V, ρ, cP F, Ti F,

    T F [m3・s-1]︓⼊⼝・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 T [K]︓タンク内流体の温度 V [m3]︓タンク内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 i ︓input o︓output
  2. 連続槽型反応器 連続槽型反応器 (Continuous Stirred Tank Reactor, CSTR) • 反応︓⼀次反応の A

    → B とする • 流⼊する A の濃度 CAi で流出する A の濃度 CA (Bの濃度) を制御 3 CAi , F CA , F V, T, rA F [m3・min-1]︓⼊⼝・出⼝流量 CAi [kmol・m-3]︓⼊⼝のAの濃度 CA [kmol・m-3]︓CSTR内のAの濃度 V [m3]︓CSTR内の液体体積 T [K]︓CSTR内の液体温度 i ︓input o︓output rA [kmol・m-3 m2]︓Aの反応速度
  3. タンクの液面高さ(液レベル)制御 4 A Fi Fo Fi [m3・s-1]︓⼊⼝流量 Fo [m3・s-1]︓出⼝流量 L

    [m2]︓タンクの液レベル A [m2]︓タンクの断面積 (5 とする) x [-]︓バルブの弁解度 i ︓input o︓output バルブの弁開度 x で液面高さ (液レベル) L を制御 L x
  4. 少し複雑な流体加熱プロセス︓問題設定 5 Q Tm , V1 , ρ, cP F,

    Ti F, Tm F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 Tm [K]︓タンク1内流体の温度 T [K]︓タンク2内流体の温度 V1 [m3]︓タンク1内流体の体積 V2 [m3]︓タンク2内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 T, V2 , ρ, cP F, T タンク1 タンク2 加熱量 Q で、タンク2の温度 T を制御
  5. PID制御の問題点 出⼒変数が細かく上下に振動したときに、微分項が不安定になる • 微分時間を小さくする • PI制御にする 設定値を変更したときに、誤差 e(t) が急激に変化するため •

    微分項が不安定になる ⁃ 微分先⾏型PID制御 (PI-D制御) • ⽐例項の影響により、⼊⼒変数もステップ状になる ⁃ ⽐例微分先⾏型PID制御 (I-PD制御) 8
  6. 微分先⾏型PID制御 (PI-D制御) PID制御の微分項について、e(t) ではなく制御変数 y(t) を微分する 外乱に対してはPID制御と同じ挙動 9 ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D de t u t K e t e r dr T u T dt   = + + +      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D dy t u t K e t e r dr T u T dt   = + − +      ( ) ( ) target e t y y t = − t︓時刻 y︓出⼒変数 u︓⼊⼒変数
  7. ⽐例微分先⾏型PID制御 (I-PD制御) PID制御の⽐例項についても、e(t) ではなく制御変数 y(t) にする 外乱に対してはPID制御と同じ挙動 10 ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D de t u t K e t e r dr T u T dt   = + + +      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D dy t u t K y t e r dr T u T dt   = − + − +      ( ) ( ) target e t y y t = − t︓時刻 y︓出⼒変数 u︓⼊⼒変数
  8. PID制御 これから ⼀次遅れモデル 二次遅れモデルでは︖ 11 ( ) ( ) (

    ) C p dy t T y t K u t dt + = ( ) p C 1 exp t y t K T     = − −           のステップ応答が になったのはどうして︖ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 F p 2 2 d y t dy t a D a y t K u t dt dt + + = 微分方程式を解いたり式変形したりする必要がある
  9. よく使うラプラス変換の特性 ① 線形性 ② 合成積 ③ 積分 ④ 微分 13

    ( ) ( ) ( ) ( ) L a f t b g t a L f t b L g t       + = +       ( ) ( ) ( ) ( ) 0 L f t r g r dr L f t L g t ∞       − =          ( ) ( ) 0 1 L f r dr L f t s ∞     =        ( ) ( ) ( ) 0 df t L sL f t f dt     = −      
  10. よく使うラプラス変換の特性 ⑤ n 回微分 ⑥ むだ時間 14 ( ) (

    ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 ' 0 0 n n n n n n d f t L s L f t s f s f f dt − − −     = − − −       ⋯ ( ) ( ) ( ) exp L f t r rs L f s     − = −    
  11. よく使うラプラス(逆)変換 15 t (時間) 領域 s 領域 (あっちの世界) a s

    2 1 s 1 s a + ( ) exp at − ( ) sin t ω ( ) cos t ω 2 2 s ω ω + 2 2 s s ω + a t
  12. ⼀次遅れモデル まとめ 16 微分方程式など 答え 難しい ラプラス変換 普通の代数方程式 式変形後 ラプラス逆変換

    式変形 やさしい s 領域 (あっちの世界) t (時間) 領域 (こっちの世界) ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + = ( ) S S C 1 K K Y s s s T = − + ( ) ( ) ( ) C S T sY s Y s K U s + = ステップ応答 ( ) 1 U s s = ( ) C 1 exp S t y t K T     = − −          
  13. [練習] 流体加熱プロセス 17 Q T, V, ρ, cP F, Ti

    F, T F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 T [K]︓タンク内流体の温度 V [m3]︓タンク内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 ( ) i P dT F Q T T dt V V c ρ = − +
  14. [練習] 流体加熱プロセス 18 Q T, V, ρ, cP F, Ti

    F, T F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 T [K]︓タンク内流体の温度 V [m3]︓タンク内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 DIFF DIFF P dT F Q T dt V V c ρ = − + DIFF i T T T = − として、
  15. [練習] 流体加熱プロセス 19 Q T, V, ρ, cP F, Ti

    F, T F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 T [K]︓タンク内流体の温度 V [m3]︓タンク内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 ( ) i P dT F Q T T dt V V c ρ = − +
  16. [練習] 流体加熱プロセス 20 Q T, V, ρ, cP F, Ti

    F, T F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 T [K]︓タンク内流体の温度 V [m3]︓タンク内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 DIFF DIFF P dT F Q T dt V V c ρ = − + DIFF i T T T = − として、
  17. [練習] 流体加熱プロセス 21 微分方程式など 答え 難しい ラプラス変換 普通の代数方程式 式変形後 ラプラス逆変換

    式変形 やさしい s 領域 (あっちの世界) t (時間) 領域 (こっちの世界) ステップ応答 ︖ ( ) ( ) ( ) DIFF DIFF P dT t Q t F T t dt V V c ρ = − +
  18. [練習] ラプラス変換 22 をラプラス変換すると、 ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) DIFF DIFF DIFF P DIFF DIFF P DIFF P 1 0 1 1 1 F sL T t T L T t L Q t V V c F sT s T s Q s V V c T s Q s F V c s V ρ ρ ρ       − = − +       = − + = + ( ) ( ) ( ) DIFF DIFF P dT t Q t F T t dt V V c ρ = − +
  19. [練習] ステップ応答 23 ( ) 1 Q s s =

    0 → 1 のステップ応答のとき、 より、 ( ) DIFF P P 1 1 1 1 T s F V c s s V F V c s s V ρ ρ = + =   +    
  20. [練習] ラプラス逆変換のための式変形 24 1 a b F F s s

    s s V V = +   + +     とする、 ( ) 1 F a b s a V F F s s s s V V + + =     + +         よって、 0 a b + = 1 F a V = 2つの式より、 V b F = − V a F =
  21. [練習] ラプラス逆変換 25 ( ) DIFF P P P 1

    1 1 1 1 1 1 T s F V c s s V V F F V c F s F c s s s V V ρ ρ ρ =   +             = − = −         + +     ラプラス逆変換すると、 ( ) DIFF P 1 1 exp F T t t F c V ρ     = − −        
  22. [練習] 流体加熱プロセス 26 微分方程式など 答え 難しい ラプラス変換 普通の代数方程式 式変形後 ラプラス逆変換

    式変形 やさしい s 領域 (あっちの世界) t (時間) 領域 (こっちの世界) ステップ応答 ( ) ( ) ( ) DIFF DIFF P dT t Q t F T t dt V V c ρ = − + ( ) DIFF P 1 1 F T t t F c V ρ   = −    
  23. 1次遅れモデルとの⽐較 27 時定数 (TC ) は︖ 定常ゲイン (KS ) は︖

    以前に計算したものと⽐較してみよう ( ) C 1 exp S t y t K T     = − −           ( ) DIFF P 1 1 exp F T t t F c V ρ     = − −        
  24. 伝達関数 28 ( ) ( ) ( ) S C

    1 Y s K G s U s T s = = + G(s) を 伝達関数 と呼び、プロセスの⼊⼒と出⼒との間の関係を表す Y(s) = G(s)U(s) 出⼒ = 伝達関数 × ⼊⼒ ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + = ( ) ( ) ( ) C S 1 T s Y s K U s + = ラプラス変換 1次遅れモデル
  25. [練習] 1次遅れ+むだ時間 モデルの伝達関数は︖ tD [s]︓むだ時間 29 ( ) ( )

    ( ) C S dy t T y t K u t dt + = ( ) ( ) ( ) C S 1 T s Y s K U s + = ラプラス変換 1次遅れモデル ( ) ( ) ( ) C S D dy t T y t K u t t dt + = − 1次遅れ+むだ時間 モデル ラプラス変換 ︖
  26. [練習] ラプラス変換 30 ( ) ( ) ( ) (

    ) C S 1 exp D T s Y s K t s U s + = − ( ) ( ) ( ) ( ) S C exp 1 D Y s K G s t s U s T s = = − +
  27. [練習] 2次遅れモデルの伝達関数は︖ 2次遅れモデル (2次遅れ系、2次遅れプロセス、2次遅れ要素) 減衰係数 DF の値 (の範囲) によって異なる挙動を⽰す •

    後で詳しくやります ただし、y(0) = 0, y’(0) = 0 とする 31 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 F p 2 2 d y t dy t a D a y t K u t dt dt + + = a︓パラメータ (定数) DF ︓減衰係数 (定数) KS ︓定常ゲイン (定数)
  28. [練習] ラプラス変換 32 ( ) ( ) ( ) (

    ) 2 2 F p 2 2 d y t dy t a D a y t K u t dt dt + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 F p 2 a s Y t D asY t Y t K U s + + = ( ) ( ) ( ) P 2 2 F 2 1 Y s K G s U s a s D as = = + +
  29. [練習] PID制御の伝達関数は︖ PID制御 ただし、u(0) = 0, e(0) = 0 とする

    33 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 t P D de t u t K e t e r dr T T dt   = + +      t [s]︓時刻 e︓制御変数の偏差 u︓操作変数 KP ︓⽐例ゲイン (定数) TI ︓積分時間 (定数) TD [s]︓微分時間 (定数)
  30. [練習] ラプラス変換 34 ( ) ( ) ( ) I

    1 1 P D U s G s K T s E s T s   = = + +     ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 t P D de t u t K e t e r dr T T dt   = + +      ( ) ( ) ( ) ( ) I 1 P D U s K E s E s T sE s T s   = + +    
  31. ブロック線図 s 領域において、箱(伝達関数) と 線 (⼊⼒・出⼒) で表したモノ メリット︓プロセスが複数あるとき、⾒通しがよくなる • プロセスシステム・・・単位操作のプロセス

    (工程) を組み合わせたもの • プラント・・・装置を組み合わせたもの 35 G(s) U(s) Y(s) ⼊⼒ プロセス (伝達関数) 出⼒ Y(s) = G(s)U(s)
  32. ブロック線図 直列結合 36 Greaction (s) U(s) Ym (s) ⼊⼒ 反応プロセス

    (伝達関数) 出⼒ Gseparation (s) 分離プロセス (伝達関数) ⼊⼒ Y(s) 出⼒ Ym (s) = Greaction (s)U(s) Y(s) = Gseparation (s) Ym (s) Y(s) = Greaction (s) Gseparation (s) U(s) プロセス全体の伝達関数は、Greaction (s) Gseparation (s) それぞれ、プロセスの出⼒を伝達関数の式で表してみよう︕
  33. ブロック線図 並列結合 交じるときは、符号を書く 37 Greaction1 (s) U(s) Ym1 (s) 反応プロセス1

    (伝達関数) Greaction2 (s) 反応プロセス2 (伝達関数) Ym2 (s) Y(s) + + 全体の伝達関数を求めてみよう︕ Greaction1 (s) + Greaction2 (s)
  34. ブロック線図 フィードバック結合 38 Greaction (s) U (s) Y(s) 反応プロセス (伝達関数)

    Grecycle (s) リサイクルプロセス (伝達関数) + + Um (s) Ym (s) 全体の伝達関数を求めてみよう︕ ( ) ( ) ( ) reaction reaction recycle 1 G s G s G s −
  35. ブロック線図 フィードバック結合 計算過程 39 ( ) ( ) ( )

    m m U s U s Y s = + ( ) ( ) ( ) reaction m Y s G s U s = ( ) ( ) ( ) m recycle Y s G s Y s = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) reaction m reaction m reaction recycle Y s G s U s G s U s Y s G s U s G s Y s = = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) reaction reaction recycle 1 G s Y s U s G s G s = − よって、
  36. ブロック線図 フィードバック制御 40 GFB (s) T(s) Y(s) フィードバック制御 (伝達関数) Gprocess

    (s) − + E(s) 全体の伝達関数を求めてみよう︕ ⼊⼒︓T(s)、出⼒︓Y(s) ( ) ( ) ( ) ( ) process FB process FB 1 G s G s G s G s + プロセス (伝達関数) U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差
  37. ブロック線図 フィードバック制御 計算過程 41 ( ) ( ) ( )

    FB U s E s G s = ( ) ( ) ( ) E s T s Y s = − ( ) ( ) ( ) process Y s G s U s = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) process process FB process FB Y s G s U s G s E s G s G s G s T s Y s = = = − よって、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) process FB process FB 1 G s G s Y s T s G s G s = + 目標値と、プロセス・フィードバック制御の伝達関数がわかれば、Yがわかる
  38. ちなみに・・・PID制御のブロック線図 PID制御の伝達関数は︖ 以前のクイズ参照 42 T(s) Y(s) フィードバック制御 Gprocess (s) −

    + E(s) プロセス U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 ( ) FB P D I 1 1 G s K T s T s   = + +     P D I 1 1 K T s T s   + +    
  39. いろいろなプロセスでPID制御系の伝達関数 いろいろなプロセスでPID制御系の全体の伝達関数を求めてみよう • ⼀次遅れ • ⼀次遅れ + むだ時間 • 二次遅れ

    • 流体加熱プロセス (水槽1つ) • 流体加熱プロセス (水槽2つ) • CSTRプロセス • 水槽の液レベル制御 43
  40. PID制御のブロック線図 外乱があるときは︖ 外乱︓D(s) Y, D, T, 伝達関数のみで表すと︖ 44 T(s) Y(s)

    フィードバック制御 Gprocess (s) − + E(s) プロセス U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 ( ) FB G s + + D(s) ( ) FB P D I 1 1 G s K T s T s   = + +    
  41. PID制御のブロック線図 外乱があるときは︖ 外乱︓D(s) 45 T(s) Y(s) フィードバック制御 Gprocess (s) −

    + E(s) プロセス U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 P D I 1 1 K T s T s   + +     + + D(s)
  42. 微分先⾏型PID制御のブロック線図は︖ まずはラプラス変換 • PID制御 • 微分先⾏型PID制御 46 ( ) (

    ) ( ) ( ) P D 0 I 1 t de t u t K e t e r dr T T dt   = + +      ( ) ( ) ( ) ( ) P D 0 I 1 t dy t u t K e t e r dr T T dt   = + −      ( ) ( ) ( ) ( ) P D I 1 U s K E s E s T sY s T s   = + −     ( ) ( ) ( ) ( ) P D I 1 U s K E s E s T sE s T s   = + +    
  43. 微分先⾏型PID制御のブロック線図は︖ 47 T(s) Y(s) Gprocess (s) − + E(s) プロセス

    U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 + + D(s) I 1 1 T s + P K D T s + − ( ) ( ) ( ) ( ) D I 1 P U t K E t E t T sY t T s   = + −    
  44. I-PD制御のブロック線図は︖ まずはラプラス変換 • 微分先⾏型PID制御 • I-PD制御 48 ( ) (

    ) ( ) ( ) P D 0 I 1 t dy t u t K y t e r dr T T dt   = − + −      ( ) ( ) ( ) ( ) P D 0 I 1 t dy t u t K e t e r dr T T dt   = + −      ( ) ( ) ( ) ( ) P D I 1 U s K E s E s T sY s T s   = + −     ( ) ( ) ( ) ( ) P D I 1 U s K Y s E s T sY s T s   = − + −    
  45. I-PD制御のブロック線図は︖ 49 T(s) Y(s) Gprocess (s) − + E(s) プロセス

    U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 + + D(s) I 1 T s P K D 1 T s + + − ( ) ( ) ( ) ( ) P D I 1 U s K Y s E s T sY s T s   = − + −    
  46. [練習] 少し複雑な流体加熱プロセス これは何結合︖ 50 Q Tm , V1 , ρ,

    cP F, Ti F, Tm F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 Tm [K]︓タンク1内流体の温度 T [K]︓タンク2内流体の温度 V1 [m3]︓タンク1内流体の体積 V2 [m3]︓タンク2内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 T, V2 , ρ, cP F, T タンク1 タンク2
  47. [練習] 少し複雑な流体加熱プロセス 51 ( ) 2 m dT F T

    T dt V = − ( ) m i m 1 P dT F Q T T dt V V c ρ = − + Q Tm , V1 , ρ, cP F, Ti F, Tm F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 Tm [K]︓タンク1内流体の温度 T [K]︓タンク2内流体の温度 V1 [m3]︓タンク1内流体の体積 V2 [m3]︓タンク2内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 T, V2 , ρ, cP F, T タンク1 タンク2
  48. [練習] 伝達関数を求めよう︕ 52 ( ) 2 m dT F T

    T dt V = − ( ) m i m 1 1 P dT F Q T T dt V V c ρ = − + タンク1 タンク2 mDIFF m i T T T = − として、 mDIFF mDIFF 1 1 P dT F Q T dt V V c ρ = − + DIFF i T T T = − ( ) DIFF mDIFF DIFF 2 dT F T T dt V = − タンク1、タンク2の伝達関数をそれぞれ求めて、 全体の伝達関数を求めてみよう︕
  49. [練習] 伝達関数 53 タンク1 タンク2 ( ) ( ) (

    ) mDIFF P 1 1 T s Q s c V s F ρ = + ( ) ( ) DIFF mDIFF 2 F T s T s V s F = + ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) DIFF P 1 2 2 2 P 1 2 P 1 2 P F T s Q s c V s F V s F F Q s c VV s c F V V s c F ρ ρ ρ ρ = + + = + + + ⾒たことは︖
  50. 2次遅れモデル 54 ( ) ( ) S 2 2 F

    2 1 K Y s U s a s D as = + + 少し複雑な流体加熱プロセスは二次遅れモデルの1つだった︕ 今回の系では、一次遅れ+むだ時間 モデルと似ている