Matemáticas Discretas - U5

Matemáticas Discretas
U5: Relaciones

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1. U : Relaciones Matemáticas Discretas MSC. Jaime Jesús Delgado Meraz Instituto Tecnológico de Ciudad Valles agosto – diciembre
2. Introducción / Las relaciones son muy importantes en matemáticas y especialmente en computación, pues son una herramienta fundamental en áreas como bases de datos, programación, etc. Casi cualquier área de conocimiento, de una u otra forma, utiliza el concepto de relación. El término relación es muy amplio y se puede conceptualizar en términos muy generales, pero la idea central es muy simple. Y una vez entendido el concepto, se puede aplicar en cualquier situación por diversa que sea.
3. Conceptos / Conceptos
4. Conceptos Conceptos / Una relación es una asociación entre elementos u objetos, generalmente de dos conjuntos arbitrarios. Una manera de formalizar el concepto y al mismo tiempo hacerlo práctico para usarse en computación es considerar una relación como un conjunto de pares ordenados. Esto se puede extender posteriormente a tuplos para definir relaciones de varios elementos.
5. Conceptos Conceptos / Producto cartesiano A diferencia de un conjunto en un par ordenado (a, b), importa el orden de los elementos. Si se consideran los conjuntos A y B y formamos parejas o pares ordenados con los elementos de A como primeros elementos y los de B como segundos, se obtiene un conjunto llamado producto cartesiano. A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} Si A = { , , } y B = { , } A × B = {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )} Mediante un producto cartesiano, es posible establecer la definición formal de relación.
6. Conceptos Conceptos / Relación Una relación R de A a B es un subconjunto de A × B. Los elementos de A que aparecen en la relación forman el dominio y los de B forman el rango. R ∈ A × B DOM(R) = {x : (x, y) ∈ R} RAN(R) = {y : (x, y) ∈ R} Es decir, que una relación de A a B es un conjunto de pares ordenado, donde los primeros elementos pertenecen al conjunto A y los segundos B.
7. Conceptos Conceptos / Relación Inversa La relación inversa R− de una relación R de A a B, es la que se obtiene si invertimos el orden de las parejas. R− = {(y, x) : (x, y) ∈ R}
8. Ejemplos Conceptos / Si A = {a, b, c, x, y, z} y B = { , , , , }: R = {(a, ), (c, ), (x, ), (y, ), (z, )} R = {(a, ), (a, ), (c, ), (x, ), (x, )} R = {(a, ), (b, ), (c, ), (x, )} R = {(a, ), (b, ), (b, ), (c, ), (c, ), (x, ), (y, )} DOM(R ) = {a, c, x, y, z} RAN(R ) = { , , } DOM(R ) = {a, c, x} RAN(R ) = { , , , , } DOM(R ) = {a, b, c, x} RAN(R ) = { , , , }
9. Ejemplos Conceptos / DOM(R ) = {a, c, x, y} RAN(R ) = { , , , } R− = {( , a), ( , c), ( , x), ( , y), ( , z)} R− = {( , a), ( , a), ( , c), ( , x), ( , x)} R− = {( , a), ( , b), ( , c), ( , x)} R− = {( , a), ( , b), ( , b), ( , c), ( , c), ( , x), ( , y)}
10. Propiedades / Propiedades
11. Propiedades de las relaciones Propiedades / Las relaciones se pueden clasificar de acuerdo al tipo de asociación que hay en sus elementos como: - Uno a uno - * Uno a muchos * - Muchos a uno * - * Muchos a muchos Es importante recordar que se entiende por una relación a un conjunto de pares ordenados.
12. Asociación entre relaciones Propiedades / * - Se dice que una relación es de muchos a uno si existen dos pares con el mismo segundo elemento, esto es, existen (x, y), (z, y) distintas en la relación. - * La relación será uno a muchos si existen dos pares con el mismo primer elemento, esto es, existen (x, y) y (x, z) distintas en la relación.
13. Asociación entre relaciones Propiedades / * - * Una relación será de muchos a muchos, si es 1-* y *-1 a la vez. Es decir, que hay al menos dos pares con el mismo primer elemento y también hay dos pares con el mismo segundo elemento, cumpliendo las definiciones anteriores. - Finalmente, una relación será uno a uno, si no es 1-* ni *-1, es decir, que no hay dos pares con el mismo primer elemento y no hay dos pares con el mismo segundo elemento.
14. Representación Matricial Propiedades / Definición Una relación entre dos conjuntos A y B puede ser representada por una matriz binaria, que consiste en 0’s y 1’s. Toda relación - cumplirá con las condición de poderse representar mediante una matriz binaria. En esta representación, se asocia cada elemento del primer conjunto (A) con una fila de la matriz y cada elemento del segundo conjunto (B) con una columna de la matriz. Los elementos de la relación deben estar ordenados.
15. Representación Matricial Propiedades / En el correspondiente lugar del renglón y columna asociada a un par de elementos el valor es 1 si el par ordenado está en la relación y 0 si el par no está. P.e. Si A = {a, b, c, d}, B = { , , } y R = {(a, ), (a, ), (b, ), (d, )}, entonces tendríamos:         La representación matricial nos da otra forma de poder manejar una relación y es muy útil sobretodo cuando la cantidad de elementos en los conjuntos es pequeña.