Matemáticas Discretas - U3

U3: Lógica Matemática

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1. U : LógicaMatemática Matemáticas Discretas MSC. Jaime Jesús Delgado Meraz Instituto Tecnológico de Ciudad Valles agosto – diciembre
2. Lógica proposicional / Lógica proposicional
3. Introducción Lógica proposicional / La lógica proposicional o lógica de orden cero es un sistema formal cuyos elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad. La lógica proposicional trata con sistemas lógicos que carecen de cuantificadores, o variables interpretables como entidades.
4. Introducción Lógica proposicional / En lógica proposicional si bien no hay signos para variables de tipo entidad, sí existen signos para variables proposicionales (es decir, que pueden ser interpretadas como proposiciones con un valor de verdad de definido), de ahí el nombre proposicional.
5. Introducción Lógica proposicional / Considere el siguiente argumento: . Mañana es miércoles o mañana es jueves. . Mañana no es jueves. . Por lo tanto, mañana es miércoles. Lo anterior es un argumento válido, lo que quiere decir que es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Esto no quiere decir que la conclusión sea verdadera.
6. Introducción Lógica proposicional / Si las premisas de un argumento son falsas, entonces la conclusión también podría serlo. Si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también lo es. La validez del argumento anterior, no se debe al significado de las expresiones “mañana es miércoles” y “mañana es jueves”, porque éstas podrían cambiarse por otras y el argumento permanecería válido.
7. Introducción Lógica proposicional / Consideremos otro argumento: . Está soleado o está nublado. . No está nublado. . Por lo tanto, está soleado. En este argumento, la validez de estos dos argumentos depende del significado de las expresiones “o” y “no”. Si alguna de estas expresiones se cambiara por otra, entonces podría ser que los argumentos dejaran de ser válidos. Por ejemplo: . Ni está soleado ni está nublado. . No está nublado. . Por lo tanto, está soleado.
8. Concepto de proposición Lógica proposicional / Las expresiones de las que depende la validez de los argumentos se llaman constantes lógicas. La lógica proposicional estudia el comportamiento de algunas de estas expresiones, llamadas conectivas lógicas. En cuanto a las expresiones como “está nublado” o “mañana es jueves”, lo único que importa de ellas es que tengan un valor de verdad. Es por esto que se las reemplaza por simples letras, cuya intención es simbolizar una expresión con valor de verdad cualquiera. A estas letras se las llama variables proposicionales, y en general se toman del alfabeto, empezando por la letra p, luego q, r, s, etc.
9. Concepto de proposición Lógica proposicional / Considerando los argumentos vistos anteriormente, los primeros dos podrían reescribirse como: . p o q . No q . Por lo tanto, p El tercer argumento, pese a no ser válido, podría reescribirse como: Ni p ni q No q Por lo tanto, p
10. Conectivas lógica Lógica proposicional / Una conectiva lógica, o simplemente conectiva, es un símbolo o palabra que se utiliza para conectar dos fórmulas bien formada o sentencias, de modo que el valor de verdad de la fórmula compuesta depende de sus componentes. Las conectivas lógicas más comunes son las conectivas binarias, que unen dos frases, que se pueden considerar como operandos de la función. Entre las conectivas lógicas, también se considera la negación como una conectiva monádica.
11. Conectivas lógicas Lógica proposicional / Las conectivas lógicas son, junto con los cuantificadores, las principales constnates lógicas de muchos sistemas lógicos, principalmente la lógica proposicional y la lógica de predicados. En ámbitos como la programación, se utilizan para combinar valores de verdad y obtener nuevos valores que determinen el flujo de control de un algoritmo o programa.
12. Conectivas lógicas Lógica proposicional / Conectiva Ejemplo Símbolo Negación No esta lloviendo ¬ Conjunción Está lloviendo y está nublado ∧ Disyunción Está lloviendo o está soleado ∨ Implicación Si está soleado, entonces es de día → Doble implicación Está nublado si y sólo si hay nubes. ↔ Negación conjunta Ni está soleado ni está nublado ↓ Disyunción Exclusiva O bien está soleado, o bien está nublado
13. Conectivas lógicas Lógica proposicional / En la lógica proposicional, las conectivas lógicas se tratan como funciones de verdad, es decir, como funciones que toman conjuntos de valores de verdad y devuelven valores de verdad. P.e. la conectiva lógica no es una función que si toma el valor de verdad true, devuelve false, y si toma el valor de verdad false, devuelve true. Por lo tanto, si se aplica la función no a una letra que represente una proposición falsa, el resultado será algo verdadero. Si es falso que “está lloviendo”, entonces será verdadero que “no está lloviendo”.
14. Conectivas lógicas Lógica proposicional / El significado de las conectivas lógicas no es nada más que su comportamiento como funciones de verdad. Cada conectiva lógica se distingue de las otras por los valores de verdad que devuelve frente a las distintas combinaciones de valores de verdad que puede recibir. Esto quiere decir que el significado de cada conectiva lógica puede ilustrarse mediante una tabla que despliegue los valores de verdad que la función devuelve frente a todas las combinaciones posibles de valores de verdad que puede recibir.
15. Tablas de verdad Lógica proposicional / Negación: p ¬p 1 0 0 1
16. Tablas de verdad Lógica proposicional / Conjunción: p q p ∧ q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
17. Tablas de verdad Lógica proposicional / Disyunción: p q p ∨ q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0
18. Tablas de verdad Lógica proposicional / Implicación (Condicional): p q p → q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1
19. Tablas de verdad Lógica proposicional / Doble implicación (Bicondicional): p q p ↔ q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
20. Tablas de verdad Lógica proposicional / Negación conjunta: p q p ↓ q 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
21. Tablas de verdad Lógica proposicional / Disyunción excluyente: p q p q 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0
22. Jerarquía de operadores Lógica proposicional / Mediante la combinación de conectivas lógicas, es posible la creación de nuevas expresiones. En términos formales, la negación de p deberá ser (¬p), así como la conjunción de p y q sería (p ∧ q). Con el uso de paréntesis evitamos la ambigüedad. P.e. ¬p ∧ q podría significar dos cosas distintas: . ((¬p) ∧ q) . (¬(p ∧ q)) En la práctica, para no usar paréntesis se considera que el operador ¬ tiene jerarquía sobre ∧,∨, →, ↔, etc. Con lo que ¬p ∧ q significa ((¬p) ∧ q).
23. Jerarquía de operadores Lógica proposicional / En algunos casos, se considera que ∧ y ∨ tienen mayor jerarquía que ↔; por lo que p ↔ q ∨ r sería (p ↔ (q ∨ r)). De igual manera ∧ tiene prioridad sobre ∨, por lo que p ∧ q ∨ r sería (p ∧ q) ∨ r De manera general, la jerarquía de los operadores es: ∧,∨, →, ↔, ↓ y .
24. Construcción de tablas de verdad Lógica proposicional / . Ordenar los operadores de acuerdo a su jerarquía, o de izquierda a derecha sin son iguales. . Detectar los diferentes “cuerpos” de la fórmula lógica, y sus componentes. . Asignar todas las posibles combinaciones de valores a los “átomos” (proposiciones) de la fórmula. . Usando las combinaciones de los “átomos”, obtener el valor de cada uno de los “cuerpos”. . Obtener el valor de la fórmula original, de acuerdo a los valores obtenidos para los cuerpos.
25. Construcción de tablas de verdad Lógica proposicional / (p → ¬q) ∨ (¬p ∨ r) p → (q ∧ r) (p → ¬r) ↔ (q ∨ p) (¬p ∧ q) → ¬(q ∨ ¬r)