Matemáticas Discretas - U4

Matemáticas Discretas
U4: Álgebra Booleana

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1. U : ÁlgebraBooleana Matemáticas Discretas MSC. Jaime Jesús Delgado Meraz Instituto Tecnológico de Ciudad Valles agosto – diciembre
2. Introducción / Introducción
3. Introducción Introducción / El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Hace uso de operadores (principalmente binarios) que aceptan valores de entrada y producen siempre un solo valor booleano. P.e El operador booleano AND acepta dos entradas y produce una sola salida. Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema.
4. Teoremas y postulados / Teoremas y postulados
5. Teoremas y Postulados Teoremas y postulados / Cerrado El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano. Conmutativo Se dice que un operador binario “◦” es conmutativo si A◦B = B◦A para todos los posibles valores de A y B. Asociativo Se dice que un operador binario “◦” es asociativo si (A◦B)◦C = A◦(B◦C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
6. Teoremas y Postulados Teoremas y postulados / Distributivo Dos operadores binarios “◦” y “ %” son distributivos si A◦(B %C) = (A◦B) %(A◦C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Identidad Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario “◦” si A◦I = A. Inverso Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano “◦” si A◦I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.
7. Consideraciones Teoremas y postulados / Para propósitos de análisis del álgebra booleana consideraremos lo siguiente: Los dos posibles valores en el sistema booleano son 0 y 1, y estos podrán llamarse false y true, respectivamente. El símbolo · representa la operación lógica AND, A · B, y se denomina producto AB. El símbolo + representa la operación lógica OR, A + B, y se denomina suma de A y B. El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, y se denota con el símbolo “ ”, A denota la operación lógica NOT de A.
8. Equivalencias lógicas Teoremas y postulados / Definición Dos proposiciones s y s son lógicamente equivalentes, y se escriben como s ⇔ s , cuando la proposición s es verdadera (respectivamente, falsa) si y sólo sí la proposicion s es verdadera (respectivamente, falsa). De la definición tenemos que: (p → q) ⇔ ¬p ∨ q (p ↔ q) ⇔ (p → q) ∧ (q → p) (p → q) ∧ (q → p) ⇔ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) (p q) ⇔ (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)
9. Optimizacion de expresiones booleanas / Optimizacion de expresiones booleanas
10. Compuertas lógicas / Compuertas lógicas