Un conjunto es una colección bien definida de objetos Por bien definida, se entiende que cualquier objeto que consideremos, podemos determinar si esta en el conjunto o no. P.e. La ropa que llevamos puesta es un conjunto, ya que comparten una misma propiedad “ropa que llevamos puesta”. Es importante indicar que el orden de los elementos en un conjunto es irrelevante.
conjunto de los números enteros. N = Z+, el conjunto de los números naturales o enteros positivos. Z+, el conjunto de los enteros no negativos. Q, el conjunto de los números racionales. (m n , donde n = ) R, el conjunto de los números reales. (Racionales y no racionales) C, el conjunto de los números complejos. (Incluyen a R y las raíces de los polinomios)
es cualquier colección de objetos que pueda tratarse como una entidad. A cada objeto de la colección se le denomina elemento o miembro del conjunto. A los conjuntos se les designa con letras mayúsculas y a sus elementos con letras minúsculas. La afirmación “El elemento a pertenece al conjunto A” se escribe: a ∈ A
de este hecho ¬(a ∈ A), se escribe: a ∈ A La definición de un conjunto no debe ser ambigua, en el sentido de que pueda decidirse cuando un objeto particular pertenece, o no, a un conjunto. Un conjunto podrá estar definido (o determinado) por extensión o por comprensión.
está definido por extensión, cuando se especifican todos los elementos que forma el mismo. a) El conjunto de las vocales del alfabeto A = {a, e, i, o, u} b) El conjunto formado por los números enteros pares no negativos y menores de diez. B = { , , , } Obsérvese que los elementos del conjunto están separados por comas y encerrados entre llaves.
que un conjunto está definido por comprensión cuando se especifica una propiedad que caracteriza a todos los elementos del mismo. Esta propiedad o especificación implícita, se hace a menudo mediante un predicado con una variable libre. El conjunto estará determinado por aquellos elementos del universo que hacen del predicado una proposición verdadera.
lo tanto, si p(x) es un predicado con una variable libre, el conjunto A = {x : p(x)} denota al conjunto A tal que a ∈ A, si, y sólo si p(a) es verdad. P.e. a) El conjunto de los enteros mayores a diez A = {x : x ∈ Z ∧ x > } b) El conjunto de los enteros pares B = {x : x ∈ Z ∧ ∃y ∈ Z ∧ x = y}
tanto en conjuntos finitos demasiado grandes como en conjuntos infinitos, se utiliza la elipsis matemática para caracterizar los elementos del conjunto. Por ejemplo: El conjunto de los números enteros del al : C = { , , , . . . , } El conjunto de los enteros pares no negativos: D = { , , , . . .} Es importante recordar que incluso si podemos especificar todos los elementos de un conjunto, puede que no sea práctico hacerlo.
cualquier aplicación de la teoría de conjuntos, los elementos de todos los conjuntos en consideración pertenecen a un gran conjunto fijo llamado conjunto universal. Que se denota mediante U . Por ejemplo: a) El conjunto de los números entre y A = {x : x ∈ Z ∧ x > ∧ x < } ó A = {x ∈ Z : < x < }
A y B son iguales si, y sólo si tienen los mismos elementos. Es decir, cada elemento del conjunto A es un elemento de B y cada elemento de B es un elemento de A. Su expresión formal en notación lógica es: A = B ⇔ ∀x[(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B ⇒ x ∈ A)] O bien: A = B ⇔ ∀x(x ∈ A ⇔ x ∈ B) El axioma de extensión asegura que si dos conjuntos tienen los mismos elementos, ambos son iguales, independientemente de como esten definidos.
todo conjunto tiene los mismos elementos que él mismo, se sigue que si un conjunto está definido por extensión, el orden en el que los elementos figuren en él es irrelevante. Así pues, los conjuntos {a, b, c}, {b, c, a} y {c, b, a} son iguales. También se sigue del axioma de extensión que la aparición de un elemento más de una vez en un conjunto, es igualmente irrelevante. Por ejemplo, los conjuntos {a, b}, {a, b, b} y {a, a, a, b} son iguales ya que todo elemento de cualquiera de ellos está en los demás, por tanto, son especificaciones diferentes del mismo conjunto.
A(|A|) es igual al número de elementos del conjunto. La cardinalidad del conjunto ∅ siempre será cero (|∅| = ). Si tenemos que A = B, entonces |A| = |B|. P.e. A = { , , , } B = { , , , } C = { , , , , , } A = B = C
en B o que es un subconjunto de B, si y sólo si cada elemento de A está en B: A ⊆ B ⇔ ∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B) A ⊆ B y B ⊆ A si y sólo sí A = B P.e. A = { , , }, y B = { , , , } ¿A ⊆ B? ¿B ⊆ A?
propio de B si y sólo si cada elemento A esta en B, y existe por lo menos un elemento de B que no esta en A. Lo anterior se denota como A ⊂ B. { , , } es un subconjunto de { , , }, pero no un subconjunto propio. { , , } es un subconjunto propio de { , , , }, ∈ { , , } ∅ ∈ {∅} y ∅ ⊆ {∅}, pero ∅ = {∅}
todos los subconjuntos de uno dado A, se denomina partes de A, y se denota P(A). B ⊆ A es equivalente a decir B ∈ P(A). Si A = {a, b} entonces P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}. Si a ∈ A entonces {a} ∈ P(A).
A un conjunto cualquiera, entonces A ⊆ U Usando una demostración trivial basada en la definición de conjunto universal que nos permite afirmar que la proposición ∀x, x ∈ U es una tautología, es decir es verdad siempre... Tenemos que el conjunto A es un subconjunto de U si, y sólo si la implicación x ∈ A ⇒ x ∈ U es verdad para cada x de U .
es verdad para todas los x, entonces la implicación también es verdad independientemente de que x ∈ A sea verdadero o falso. Como x en un elemento arbitrario de U , se sigue que: ∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ U ) es verdad, y por lo tanto: A ⊆ U
∅ ⊆ A. Podemos hacer una demostración vacía, mediante la definición de un conjunto vacío, que nos permite afirmar que la proposición ∃x : x ∈ ∅, es una contradicción, es decir siempre es falsa. Pues bien, sea x un elemento arbitrario del conjunto universal. Como x ∈ ∅ es falsa para todos los elementos de U tendremos que la implicación x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A es verdadera.
la necesidad de contar cosas. Es un conjunto infinito que comienza en el cero y que va aumentando una unidad sucesivamentesin llegar a ningún final. Se representa mediante el símbolo N y es el conjunto N = { , , , , , , , , , , . . .} Las operaciones con los números naturales son la suma, la resta, el producto, la potencia de base natural y exponente natural y la división.
los que añadimos todos los negativos (se utiliza el signo − delante del número). Se se representan con Z y es el conjunto: Z = {..., − , − , − , , , , , ...}. Las operaciones son las mismas que en los naturales, pero se requiere considerar las reglas al operar con los signos de los números. Se añade también la operación de valor absoluto que se define como el número natural resultante de suprimir el signo del número, se representa con |a|. P.e. | − | = .
cociente entre dos números enteros a b , y se denominan también como fracciones. La parte superior se denomina numerador y la inferior denominador, donde b = 0. Los números racionales se representan mediante el símbolo Q y es el conjunto Q = { a b : a, b ∈ Z ∧ b = 0}
los números racionales están formados por los enteros, los decimales exactos y los decimales periódicos. Las operaciones de las fracciones son las mismas que con los números naturales. Los números racionales se pueden representar como fracción de varias maneras, cuando esto ocurre se dice que son equivalentes. P.e. =
por los racionales y los irracionales. Los irracionales, están formados por los números que tienen infinitos decimales pero no se pueden expresar en forma de fracción, ya que tienen infinitas cifras no periódicas. P.e. La constante matemática e ≈ , ... El número áureo (divina proporción,Φ) ϕ = + √ ≈ , ... El número Pi π ≈ , . . .
representan mediante el símbolo I, mientras que los reales se representan con R. Los usos y operaciones de los números reales son correspondientes a sus contextos.
que se denominan complejos y se representan mediante el símbolo C. En este conjunto se engloban a los números reales y a los llamados números imaginarios.
el concepto de P(A), que representa todos los subconjuntos dentro de A, o las partes de A. A este conjunto también se le conoce como conjunto potencia. P.e. Si A = { , , , }, entonces P(A) = {{ }, { }, { }, { }, { }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , , }, { , , }, { , , }, { , , }, { , , , }} y |P(A)| = . En general, si |A| = n ∧ n = ⇒ |P(A)| = n
de Venn son ilustraciones usadas en la teoría de conjuntos cuyo fin es mostrar gráficamente la relación matemática o lógica que hay entre diferentes grupos de cosas (conjuntos). En un diagrama de Venn, el conjunto universo se representa por un rectángulo, y los conjuntos en su interior se representan por círculos.
representación genérica de lo que es un diagrama de Venn se presenta en la siguiente figura, donde se representa un conjunto universo U , y dentro de éste un conjunto A. A U
B dos conjuntos. Se define la unión de A con B, denotada por A ∪ B (que se lee como A unión B), por el conjunto A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} A B A ∪ B En términos prácticos, la unión de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos de cualquiera de los dos conjuntos.
B dos conjuntos. Se define la intersección de A y B, denotada por A ∩ B (que se lee A intersección B), por el conjunto A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} A B A ∩ B En términos prácticos, la intersección de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos comunes a ambos conjuntos.
los conjuntos A y B: A = { , , , , , , , } B = { , , , } El conjunto intersección es A ∩ B = { , , , } Nota: Dos pares de conjuntos A y B se llaman disjuntos siempre que A ∩ B = ∅
/ Propiedad Asociativa (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Propiedad Conmutativa A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A Propiedad idempotente A ∪ A = A A ∩ A = A
/ Conjunto vacío y conjunto universal A ∪ ∅ = A A ∪ U = U A ∩ ∅ = ∅ A ∩ U = A Ley de simplificación (A ∪ B) ∩ A = A (A ∩ B) ∪ A = A Propiedad distributiva A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
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