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電気工学II第8回 /eleceng2_08

電気工学II第8回 /eleceng2_08

Kazuhisa Fujita

March 27, 2023
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  1. アンペールの法則 • 電流Iを閉経路Cで囲んだとする. • Cに沿って,磁束密度Bと経路の接線ベクトルtの内積を積分すると次 のような等式が成り⽴つ. • これをアンペールの法則という. • Nは経路Cの作る⾯の法線ベクトルである.

    • Sは閉経路の⾯積である. 閉経路𝐶 法線ベクトル𝒏(𝒓) 電流密度𝒊(𝒓) 電流 経路の接線ベクト ル𝒕(𝒓) 電場𝑩(𝒓) 位置𝒓 発展 % " 𝑩(𝒓) ⋅ 𝒕(𝒓)𝑑𝑠 = 𝜇! % # 𝒊 𝒓 ⋅ 𝒏 𝒓 𝑑𝑆 経路に沿って𝐵を⾜したときの総和 経路内を貫く電流の総和
  2. アンペールの法則 • ∫ ! 𝑩(𝒓) ⋅ 𝒕(𝒓)𝑑𝑠 = 𝜇" ∫

    # 𝒊 𝒓 ⋅ 𝒏 𝒓 𝑑𝑆 • 𝑩(𝒓) ⋅ 𝒕(𝒓)は経路⽅向の磁束密度の成分である. • よって,左辺は経路に沿って磁束密度を⾜したものである. • 𝒊 𝒓 ⋅ 𝒏 𝒓 は場所 𝒓 における単位⾯積あたりの閉経路が作る⾯を垂直に 貫く電流の量である. • よって,右辺は閉経路を貫く電流の総和である. 閉経路𝐶 法線ベクトル𝒏(𝒓) 電流密度𝒊(𝒓) 電流 経路の接線ベクト ル𝒕(𝒓) 電場𝑩(𝒓) 位置𝒓 発展
  3. 無限に⻑いソレノイドが作る磁場 • 図のように閉経路Cを考える. • 経路は⻑⽅形で電流に対して垂直で,かつ,磁場に対し て平⾏である. • そうすると,磁場は⻑辺に対し平⾏で短辺に対し垂直と なる. •

    よって,アンペールの法則から次の式が成り⽴つ. • 𝐵𝑙 = 𝜇$ 𝑛𝑙𝐼 • 𝐵𝑙は内部⻑辺に沿って磁束密度を積分したものである. • 経路内に𝑛𝑙本の導線があるので,経路内を流れる電流の 総和は𝑛𝑙𝐼である. • よって磁束密度は • 𝐵 = 𝜇$ 𝑛𝐼 電流 コイル断⾯ 𝑙 経路𝐶 内部 外部 磁場𝐵
  4. 問題 • 磁気の性質について正しいのはどれか.(臨床⼯学技⼠国家試験34) 1. 無限に⻑いソレノイドでは内部の磁束密度は⼀様である. 2. 有限⻑のソレノイドでは外部に⼀様な磁場が存在する. 有限⻑の場合,ソレノイドの端から端への磁場が発⽣し,ソレノイドから遠けれ ば遠いほど弱くなる. 3.

    ⼀回巻き円形コイルの中⼼における磁場の⼤きさは,円形コイルの半径 の2乗に反⽐例する. 半径に反⽐例する. 4. 直線電流によって⽣じる磁場の⼤きさは,電流からの距離の2乗に反⽐ 例する. 距離に反⽐例する. 5. 永久磁⽯に使⽤する磁性体の⽐透磁率は約1である. 関係ない.
  5. 電磁誘導 • 導線を流れる電流が磁場を作る • 磁場を導線に近づけるとどうなるか? • 2つの回路を並べ⽚⽅に電流を流す.回路2のスイッチをON,OFFした 瞬間に回路1に電流が流れる.(ファラデー, 1831) •

    回路2の代わりに磁⽯を近づけたり遠ざけたりしても電流は流れる. • 回路に,磁場の変化を与えた時,電流が⽣じる.この現象を電磁誘導 という.この時⽣じる電流と電圧をそれぞれ,誘導電流,誘導起電⼒ という. 回路1 回路2 回路1 回路2
  6. 問題 • 図のような1回巻きのコイルの中⼼に向けて磁⽯を急速に動かした後, 磁⽯を停⽌させた.このとき,コイルに流れる電流について正しいの はどれか.(臨床⼯学技⼠国家試験36) ໰୊ɹûþɹਤͷΑ͏ͳ ø ճר͖ͷίΠϧͷத৺ʹ޲͚࣓ͯੴΛٸ଎ʹ ੴΛఀࢭͤͨ͞ɻ ͜ͷͱ͖ɺίΠϧʹྲྀΕΔిྲྀʹ͍ͭͯਖ਼͍͠ͷ͸ͲΕ͔ɻ

    # " $ / 4 / 4 øɽ࣓ੴͷಈ͖ʹؔΘΒͣɺిྲྀ͸ྲྀΕͳ͍ɻ ùɽ࣓ੴ͕ಈ͍͍ͯΔؒɺిྲྀ͸ " ˠ # ˠ $ ͷํ޲ʹྲྀΕΔɻ 1. 磁⽯の動きに関わらず,電流は流れな い. 2. 磁⽯が動いている間,電流はA→B→C の⽅向に流れる. 3. 磁⽯が動いている間,電流はC→B→A の⽅向に流れる. 4. 磁⽯が停⽌すると,電流はA→B→Cの ⽅向に流れる. 5. 磁⽯が停⽌すると,電流はC→B→Aの ⽅向に流れる.
  7. 問題 • 図のような1回巻きのコイルの中⼼に向けて磁⽯を急速に動かした後, 磁⽯を停⽌させた.このとき,コイルに流れる電流について正しいの はどれか.(臨床⼯学技⼠国家試験36) ໰୊ɹûþɹਤͷΑ͏ͳ ø ճר͖ͷίΠϧͷத৺ʹ޲͚࣓ͯੴΛٸ଎ʹ ੴΛఀࢭͤͨ͞ɻ ͜ͷͱ͖ɺίΠϧʹྲྀΕΔిྲྀʹ͍ͭͯਖ਼͍͠ͷ͸ͲΕ͔ɻ

    # " $ / 4 / 4 øɽ࣓ੴͷಈ͖ʹؔΘΒͣɺిྲྀ͸ྲྀΕͳ͍ɻ ùɽ࣓ੴ͕ಈ͍͍ͯΔؒɺిྲྀ͸ " ˠ # ˠ $ ͷํ޲ʹྲྀΕΔɻ 1. 磁⽯の動きに関わらず,電流は流れな い. 2. 磁⽯が動いている間,電流はA→B→C の⽅向に流れる. 3. 磁⽯が動いている間,電流はC→B→A の⽅向に流れる. 4. 磁⽯が停⽌すると,電流はA→B→Cの ⽅向に流れる. 5. 磁⽯が停⽌すると,電流はC→B→Aの ⽅向に流れる. 磁場の変化がないと誘導起電⼒は発⽣しない.
  8. 問題 • 次のおのおのの場合に,検流計Gに流れる電流は(ア),(イ),( ウ)のうちどれか. (ア)右向きに流れる(イ)左向きに流れる(ウ)流れない 1. 図(a)で,磁⽯をコイル⽅向に動かす. 2. 図(a)で,磁⽯をコイルの中に留める. 3.

    図(a)で,磁⽯をコイルから遠ざける. 4. 図(b)で,スイッチを⼊れた直後. 5. 4の状態から⼗分⻑い時間がたったあと. 6. 5の状態からスイッチを切った直後.
  9. 問題 • 次のおのおのの場合に,検流計Gに流れる電流は(ア),(イ),(ウ)のうちどれか. (ア)右向きに流れる(イ)左向きに流れる(ウ)流れない 1. 図(a)で,磁⽯をコイル⽅向に動かす. 2. 図(a)で,磁⽯をコイルの中に留める. 3. 図(a)で,磁⽯をコイルから遠ざける.

    4. 図(b)で,スイッチを⼊れた直後. 5. 4の状態から⼗分⻑い時間がたったあと. 6. 5の状態からスイッチを切った直後. 移動⽅向 移動⽅向 磁⽯の磁場 磁⽯の磁場 誘導電流が作 る磁場 誘導電流が 作る磁場 左のコイルの磁場 直前まであった 左のコイルの磁場 誘導電流が作 る磁場 誘導電流が作 る磁場 1. (ア) 2. (ウ) 3. (イ) 4. (ア) 5. (ウ) 6. (イ) 1. 3. 4. 6.
  10. 誘導起電⼒の⼤きさ • ⾯積𝑆の閉じた導線𝐶を垂直に貫く磁束の密度を𝐵とすると,閉経路を貫く 磁束𝛷は • 𝛷 = 𝐵𝑆 • である.誘導起電⼒は次のように表される.

    • 𝑉 = − %& %' • 誘導起電⼒=磁束の変化÷時間変化 • これをファラデーの法則という. • 𝑁回巻きのコイルでは • 𝑉 = −𝑁 %& %' • の起電⼒が⽣じる.
  11. 磁場中を移動する回路 • 磁場分布に接した瞬間を𝑡 = 0とすると,回路内 の磁場分布の⾯積は𝑣𝑡𝑙である. • 磁場の磁束密度を𝐵とすると,回路を貫く磁束は • Φ

    = 𝑣𝑡𝑙𝐵 • である.よって,回路に発⽣する誘導起電⼒は • 𝑉 = )* )+ = ) )+ 𝑣𝑡𝑙𝐵 = 𝑣𝑙𝐵 • となる. • ただし,回路全体が磁場中に⼊ると磁場変化はな くなり誘導起電⼒は0となる. 磁場 回路 移動 𝑙 磁場 回路 移動 𝑙 𝑣 𝑣
  12. 磁場中を回転する回路 • 図のように,⼀様な磁場中で回路を磁場に対し垂 直な軸の周りで⼀定の速度で回転させたとき,起 電⼒が発⽣する. • 回路の回転の⾓速度を𝜔,𝑡 = 0の時の⾓度を𝜃$ と

    すると,回路を貫く磁場は • Φ = 𝐵𝑆 sin 𝜔𝑡 + 𝜃$ • である. 𝐵 sin 𝜔𝑡 + 𝜃$ は回路に対し垂直な磁束 密度の⼤きさを表す. • よって誘導起電⼒は • 𝑉 = − %& %' = − % %' 𝐵𝑆 sin 𝜔𝑡 + 𝜃$ = − 𝐵𝑆𝜔 cos(𝜔𝑡 + 𝜃$ ) • となる. 𝜃 ⾯積𝑆 磁束密度𝐵 𝜃 𝑩 𝐵$ = 𝐵 sin 𝜔𝑡 + 𝜃! 回転軸 回路
  13. 問題 • 初期状態では巻数10回の円形コイルに0.2Wbの磁束が直⾏している. コイル⾯に時計まわりに1秒あたり5rad(ラジアン)回転させるとk, コイルに発⽣する起電⼒の振幅[V]はどれか.(臨床⼯学技⼠国家試験 32回) 1. 0.4 2. 1

    3. 2 4. 10 5. 25 ໰୊ɹûÿɹॳظঢ়ଶͰ͸ר਺ ø÷ ճͷԁܗίΠϧʹ ÷ɽ ù 8C ͷ࣓ଋ͕௚ަ͍ͯ͠Δɻί Πϧ໘Λ࣌ܭճΓʹ ø ඵؒ͋ͨΓ ü SBE ʢϥδΞϯʣ ճసͤ͞Δͱ͖ɺίΠϧʹൃੜ ͢Δىిྗͷৼ෯ ʦ7ʧ ͸ͲΕ͔ɻɹ øɽ ÷ɽ û ùɽ ø úɽ ù ûɽø÷ üɽùü ໰୊ɹûĀɹਤͷΑ͏ʹɺר਺ n ͷۭ৺ίΠϧʹप೾਺ f ͷަྲྀిѹ V ΛՃ͑ɺిྲྀ I ࣓ଋͷ޲͖ ॳظঢ়ଶ ࣓ଋͷ޲͖ ίΠϧͷճస
  14. 問題 • 初期状態では巻数10回の円形コイルに0.2Wbの磁束が直交している. コイル⾯に時計まわりに1秒あたり5rad(ラジアン)回転させるとk, コイルに発⽣する起電⼒の振幅[V]はどれか.(臨床⼯学技⼠国家試験 32回) 1. 0.4 2. 1

    3. 2 4. 10 5. 25 ໰୊ɹûÿɹॳظঢ়ଶͰ͸ר਺ ø÷ ճͷԁܗίΠϧʹ ÷ɽ ù 8C ͷ࣓ଋ͕ Πϧ໘Λ࣌ܭճΓʹ ø ඵؒ͋ͨΓ ü SBE ʢϥδΞϯʣ ճసͤ͞Δͱ ͢Δىిྗͷৼ෯ ʦ7ʧ ͸ͲΕ͔ɻɹ øɽ ÷ɽ û ùɽ ø úɽ ù ûɽø÷ üɽùü ࣓ଋͷ޲͖ ॳظঢ়ଶ ࣓ଋͷ޲͖ ίΠϧͷճస 磁束密度𝐵 θ 1巻きのコイルを 貫く磁束 𝐵𝑆 cos 𝜃 θ 1巻のコイルを貫く磁束は 𝐵𝑆 cos 𝜃 = 𝐵𝑆 cos 𝜔𝑡 よって𝑛回巻のコイルを貫く磁束は 𝐵+ = 𝑛𝐵𝑆 cos 𝜔𝑡 誘導起電⼒は 𝑉 𝑡 = − 𝑑Φ 𝑑𝑡 = 𝑛𝐵𝑆𝜔 sin 𝜔𝑡 よって振幅𝑉は 𝑉 = 𝑛𝐵𝑆𝜔 𝑛 = 10,𝐵𝑆 = 0.2,𝜔 = 5だから 𝑉 = 10×0.2×5 = 10𝑉 コイル 𝜃の取り⽅でsinとcosが変わることに注意する. とは⾔っても,どちらも結果は同じになる. 0.2Wbの磁束が直交とは𝐵𝑆cos0 = 𝐵𝑆 = 0.2を意味する. 𝑛 = 10個のコイルがあると思う.
  15. 問題 • 図に⽰すように,⻑⽅形(2𝑚×1.4𝑚)の導線が磁場のない領域から,0.2m/s の速度で磁束密度10Tの磁場を通過して,再び磁場のない領域に抜けた.導線 に流れる電流の時間変化をグラフにかけ(0sから30s).ただし,0sのとき図 の位置に導線はある.電流は時計回りを正とし,回路全体の抵抗を10Ωとす る. 磁場 回路 移動

    2m 𝑣 = 0.2m/s 1.4m 1m 3m 0sから5s,12sから20s,27sから30sでは,磁場の変化が 無いので誘導電流は発⽣しない. 5sから12sまでは,回路内に磁場の変化があるため誘導電 流が⽣じる.このときの誘導起電⼒は |𝑉| = 𝑑 𝑑𝑡 𝐵𝑙𝑣𝑡 = 𝐵𝑙𝑣 = 10×2×0.2 = 4𝑉 また,誘導電流は反時計回りの⽅向に流れる.よって誘導 電流は 𝐼 = − 4 10 = −0.4𝐴 となる.
  16. 問題 • 図に⽰すように,⻑⽅形(2𝑚×1.4𝑚)の導線が磁場のない領域から,0.2m/s の速度で磁束密度10Tの磁場を通過して,再び磁場のない領域に抜けた.導線 に流れる電流の時間変化をグラフにかけ(0sから30s).ただし,0sのとき図 の位置に導線はある.電流は時計回りを正とし,回路全体の抵抗を10Ωとす る. 磁場 回路 移動

    2m 𝑣 = 0.2m/s 1.4m 1m 3m 20sから27sまでは,回路が磁場から出ていくので回路内の磁場 の変化があり誘導電流が⽣じる.このときの誘導起電⼒は |𝑉| = 𝑑 𝑑𝑡 𝐵𝑙𝑣𝑡 = 𝐵𝑙𝑣 = 10×2×0.2 = 4𝑉 また,誘導電流は時計回りの⽅向に流れる.よって誘導電流は 𝐼 = 4 10 = 0.4𝐴 となる. A
  17. 問題 • 2本の導線XXʼ,YYʼを,𝑙[m]の間隔で平⾏にかつ⽔平に固定し,X,Yに𝑅Ωの抵抗を接 続する. 導線に垂直に質量𝑀[kg]の導体棒をのせ,これに意図をつけて,同じ⽔平⾯上 の滑⾞を経て,質量𝑚[kg]のおもりをつるす.はじめ,棒をおさえておき,鉛直上向き に⼀様な磁束密度𝐵[Wb/m^2]の磁場をかけ,棒を放す.重⼒加速度を𝑔[m/s^2]とし, 棒と導線との間,⽷と滑⾞の間の抵抗や摩擦は無視する. 1. おもりの速度が𝑣[m/s]である瞬間の加速度𝑎を求めよ.

    棒を引っ張る⼒𝐹, は 𝐹, = 𝑚𝑔 誘導起電⼒𝑉は 𝑉 = − 𝑑 𝑑𝑡 𝑙 𝑣𝑡 + 𝑥- 𝐵 = −𝐵𝑙𝑣 よって誘導電流𝐼は 𝐼 = 𝑉 𝑅 = 𝐵𝑙𝑣 𝑅 この誘導起電⼒により⽣じる磁場からの⼒𝐹. は 𝐹. = 𝐼𝐵𝑙 = 𝐵/𝑙/𝑣 𝑅 よって棒が受ける⼒𝐹は 𝐹 = 𝑀 + 𝑚 𝑎 = 𝐹, − 𝐹. = 𝑚𝑔 − 𝐵/𝑙/𝑣 𝑅 よって加速度は 𝑎 = 1 𝑀 + 𝑚 𝑚𝑔 − 𝐵/𝑙/𝑣 𝑅
  18. 問題 • 2本の導線XY,XʼYʼを,𝑙[m]の間隔で平⾏にかつ⽔平⾯から⾓度φだけ傾けて固定し,X ,Xʼに𝑅Ωの抵抗を接続する.鉛直下向きに⼀様な磁束密度𝐵[Wb/m^2]の磁場をかけ, 導線に垂直に質量𝑚[kg]の導体棒をのせると,棒は滑り出す.重⼒加速度を𝑔[m/s^2]と し,棒と導線との間の抵抗や摩擦は無視する. 1. 棒の速度が𝑣[m/s]の瞬間の加速度を求めよ. 2. 棒はやがて⼀定の速度になる.その速度は何[m/s]か.

    1. 棒が重⼒から受ける斜⾯に対し⽔平な⼒は 𝐹 3 = 𝑚𝑔 sin 𝜑 誘導電流の⼤きさは 𝐼 = 𝑉/𝑅 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑙 𝑣𝑡 + 𝑥- 𝐵 cos 𝜑 /𝑅 = 𝑙𝑣𝐵 𝑅 cos 𝜑 よって磁場から受ける⼒の斜⾯に対し⽔平な⼒は 𝐹. = 𝐼𝑙𝐵 cos 𝜑 = 𝑙/𝐵/𝑣 cos/ 𝜑 𝑅 棒が受ける⼒は𝐹 3 − 𝐹. なので加速度𝑎は 𝑎 = 𝐹 3 − 𝐹. 𝑚 = 𝑔 sin 𝜑 − 𝑙/𝐵/𝑣 cos/ 𝜑 𝑚𝑅 𝐹 0 𝑚𝑔 𝐵 𝐹. 𝐼𝐵𝑙
  19. ⾃⼰インダクタンス • 電流が変化すると磁場も変化するため,その磁場の変化のため回路に 誘導起電⼒が発⽣する.誘導起電⼒はΦ = 𝐿𝐼だから • 𝑉 = −

    )* )+ = −𝐿 )% ,- • と表せる. • 𝐿を⾃⼰インダクタンスという.単位はH(ヘンリー)=Vs/A 電流 回路 磁場Φ発⽣ 発⽣した磁場を打 ち消す⽅向に誘導 電流が発⽣ 磁場Φを打ち消そうとする磁場
  20. コイルの⾃⼰インダクタンス • 単位⻑さあたりの巻数𝑛,⻑さ𝑙,断⾯積𝑆のコイルの⾃⼰インダクタン スを求める. • コイルに電流𝐼を流したときその内に発⽣する磁場の磁束密度は • 𝐵 = 𝜇"𝑛𝐼

    • である.コイル全体を貫く磁束はコイル⼀巻きを貫く磁束に巻数をか けたものなので • Φ = 𝑛𝑙𝐵𝑆 = 𝜇"𝑛&𝑙𝑆𝐼 • よって⾃⼰インダクタンス𝐿は • − )* )+ = − ) )+ 𝜇"𝑛&𝑙𝑆𝐼 = −𝜇"𝑛&𝑙𝑆 ) )+ 𝐼から • 𝐿 = 𝜇"𝑛&𝑙𝑆 き に は た らく. こ の現象を自己誘導 (self-induction) 路の形に よ っ て決 ま る も の で, 自己イ ンダクタ ン ス ( 己誘導係数 と い う . MKSA 単位系では, 電流の単位をア ン ペア (A), 起 と し た と き , イ ン ダ ク タ ン ス の単位を へ ン リー ( H) と I 1 H = l v s A -l I で あ る . 例 題 1 単位長 さ 当 り の巻 き数 n, 長 さf, 断面積 イ ン ダ ク タ ン ス を求 め よ . 〉 n 𝑛𝑙が総巻数
  21. 問題 • 透磁率𝜇 = 6.3×10./の鉄⼼に単位⻑さ(1[m])当たりn=1000回⼀様 に巻かれた無限⻑ソレノイドの断⾯積を𝑆 = 100[𝑐𝑚&],流れる電流を 𝐼 =

    5[𝐴]とするとき,1[m]当たりの⾃⼰インダクタンスを求めよ. 𝐿 = 𝜇𝑛K𝑙𝑆 = 6.3×10LM×1000K×100×10LN = 63H/m
  22. 問題 • 図のように,巻数nの中空コイルに周波数𝑓の交流電圧Vを加え,電流I を流したとき,正しいのはどれか.(臨床⼯学技⼠国家試験32回) 1. 巻数nを増加させると,電流Iは減少する. 2. コイル径を⼤きくすると,電流Iは増加する. 3. コイルに鉄⼼を⼊れると,電流Iは増加する.

    4. 周波数𝑓を⾼くすると,電流Iは増加する. 5. 電圧Vを⾼くすると,電流Iは減少する. ໰୊ɹûĀɹਤͷΑ͏ʹɺר਺ n ͷۭ৺ίΠϧʹप೾਺ f ͷަྲྀిѹ V ΛՃ͑ɺిྲྀ I Λྲྀͨ͠ͱ͖ɺਖ਼͍͠ͷ͸ͲΕ͔ɻɹ øɽר਺ n Λ૿Ճ͢Δͱɺిྲྀ I ͸ݮগ͢Δɻ ùɽίΠϧܘΛେ͖͘͢Δͱɺిྲྀ I ͸૿Ճ͢Δɻ úɽίΠϧʹమ৺ΛೖΕΔͱɺిྲྀ I ͸૿Ճ͢Δɻ ûɽप೾਺ f Λߴ͘͢Δͱɺిྲྀ I ͸૿Ճ͢Δɻ üɽిѹ V Λߴ͘͢Δͱɺిྲྀ I ͸ݮগ͢Δɻ ίΠϧͷճస ר਺ n V f I
  23. 問題 • 図のように,巻数nの中空コイルに周波数𝑓の交流電圧Vを加え,電流I を流したとき,正しいのはどれか.(臨床⼯学技⼠国家試験32回) 1. 巻数nを増加させると,電流Iは減少する. 𝐿 = 𝜇! 𝑛(𝑙𝑆,

    ̇ 𝑉 = 𝑗𝜔𝐿 ̇ 𝐼より ̇ 𝑉 = 𝑗𝜔𝜇! 𝑛(𝑙𝑆 ̇ 𝐼, ̇ 𝐼 = ̇ 2 345-6.7# なので巻数を増加さ せると電流は減少する.よって正しい. 2. コイル径を⼤きくすると,電流Iは増加する. 径を⼤きくすると𝑆が⼤きくなるので,径を⼤きくすると電流は⼩さくなる .よって間違い. üɽùü ໰୊ɹûĀɹਤͷΑ͏ʹɺר਺ n ͷۭ৺ίΠϧʹप೾਺ f ͷަྲྀిѹ V ΛՃ͑ɺిྲྀ I Λྲྀͨ͠ͱ͖ɺਖ਼͍͠ͷ͸ͲΕ͔ɻɹ øɽר਺ n Λ૿Ճ͢Δͱɺిྲྀ I ͸ݮগ͢Δɻ ùɽίΠϧܘΛେ͖͘͢Δͱɺిྲྀ I ͸૿Ճ͢Δɻ úɽίΠϧʹమ৺ΛೖΕΔͱɺిྲྀ I ͸૿Ճ͢Δɻ ûɽप೾਺ f Λߴ͘͢Δͱɺిྲྀ I ͸૿Ճ͢Δɻ üɽిѹ V Λߴ͘͢Δͱɺిྲྀ I ͸ݮগ͢Δɻ ॳظঢ়ଶ ࣓ଋͷ޲͖ ίΠϧͷճస ר਺ n V f I
  24. 問題 • 図のように,巻数nの中空コイルに周波数𝑓の交流電圧Vを加え,電流Iを 流したとき,正しいのはどれか.(臨床⼯学技⼠国家試験32回) 3. コイルに鉄⼼を⼊れると,電流Iは増加する. 鉄⼼を⼊れると透磁率が増えるので電流は⼩さくなる.よって間違い. 4. 周波数𝑓を⾼くすると,電流Iは増加する. 周波数が⾼くなると𝜔が⼤きくなるので,電流は⼩さくなる.よって間違い.

    5. 電圧Vを⾼くすると,電流Iは減少する. ̇ 𝑉 = 𝑗𝜔𝐿 ̇ 𝐼より電圧を⾼くすると電流は増加する.よって間違い. üɽùü ໰୊ɹûĀɹਤͷΑ͏ʹɺר਺ n ͷۭ৺ίΠϧʹप೾਺ f ͷަྲྀిѹ V ΛՃ͑ɺిྲྀ I Λྲྀͨ͠ͱ͖ɺਖ਼͍͠ͷ͸ͲΕ͔ɻɹ øɽר਺ n Λ૿Ճ͢Δͱɺిྲྀ I ͸ݮগ͢Δɻ ùɽίΠϧܘΛେ͖͘͢Δͱɺిྲྀ I ͸૿Ճ͢Δɻ úɽίΠϧʹమ৺ΛೖΕΔͱɺిྲྀ I ͸૿Ճ͢Δɻ ûɽप೾਺ f Λߴ͘͢Δͱɺిྲྀ I ͸૿Ճ͢Δɻ üɽిѹ V Λߴ͘͢Δͱɺిྲྀ I ͸ݮগ͢Δɻ ॳظঢ়ଶ ࣓ଋͷ޲͖ ίΠϧͷճస ר਺ n V f I
  25. コイルのエネルギ • インダクタンス𝐿のコイルに電流𝐼を流したときに貯まるエネルギー𝑊 は次のように書ける. • 𝑊 = 2 & 𝐿𝐼&

    おまけ コイルの誘導起電⼒は 𝜙 𝑡 = 𝐿 𝑑𝐼 𝑡 𝑑𝑡 となる.微⼩時間Δ𝑡の間に電荷𝐼 𝑡 Δtの電荷がコイルを通過するので,外から Δ𝑊 = 𝜙 𝑡 𝐼 𝑡 Δt の仕事をしなければならない.よって,時刻0から𝑡5 までになされる仕事は 𝑊 = Q - 6' 𝜙 𝑡 𝐼 𝑡 dt = 𝐿 Q - 6' 𝑑𝐼 𝑡 𝑑𝑡 ⋅ 𝐼 𝑡 dt = 𝐿 Q - 6' 1 2 𝑑 𝑑𝑡 𝐼/ 𝑡 dt = 1 2 𝐿 𝐼/ 𝑡 - 6' = 1 2 𝐿𝐼/
  26. 相互インダクタンス • 図のようにコイルを並べ,回路1に電流𝐼2 を流すと磁束Φ2 ができる.そ の磁束は回路2の内部を貫く. • 磁束 Φ2 は電流𝐼2

    に⽐例するので,回路2内部の磁束Φ& も電流𝐼2 に⽐例 するだろう.つまり磁束Φ& は次のように書ける. • Φ& = 𝐿&2𝐼2 電流 𝐼" 回路1 磁束Φ" 発⽣ 回路2 磁束Φ# 貫く 磁束2=定数×電流1と書ける.
  27. 相互インダクタンス • 磁束Φ& が時間変化すると回路2に誘導起電⼒𝑉& が⽣じる. 𝑉& は次のよ うに書ける. • 𝑉&

    = − )3$ )+ = −𝐿&2 )%% )+ • 逆の場合も同様に • 𝑉2 = − )3% )+ = −𝐿2& )%$ )+ • 実は, 𝐿2& = 𝐿&2 であり,これを相互インダクタンスという. 電流 𝐼" 回路1 磁束Φ" 発⽣ 回路2 誘導起電⼒発⽣ 磁束Φ# 貫く 磁束Φ# に逆らう磁場が発⽣
  28. 2つのコイルの相互インダクタンス • それぞれ単位⻑さあたりの巻数𝑛2, 𝑛& ,⻑さ𝑙2, 𝑙& ,断⾯積𝑆2, 𝑆& の2つの コイル1,2が図のように重ねてある.

    • コイル1に電流𝐼2 を流したとき,コイル内部に発⽣する磁場の磁束密度 は • 𝐵 = 𝜇"𝑛2𝐼2 • となる.コイル2を貫く磁束は,コイル⼀巻きあたり𝐵𝑆2 でコイル2の 巻数は𝑛&𝑙& だから • Φ& = 𝐵𝑆2𝑛&𝑙& = 𝜇"𝑛2𝑛&𝑙&𝑆2𝐼2 • である.よって,相互インダクタンス𝑀は • 𝑀 = 𝜇"𝑛2𝑛&𝑙&𝑆2
  29. 変圧 • ⾃⼰インダクタンスを𝐿 の回路1に流れる電流を𝐼2 𝑡 とする.回路に電 流を流すには,電流の時間変化によって⽣じる誘導起電⼒に⾒合う電 圧𝑉2(𝑡) をかけなければならない.よって •

    𝑉2 𝑡 = 𝐿 )%% + )+ • となる.⼀⽅,回路2に⽣じる起電⼒は相互インダクタンス𝑀とすると • 𝑉& 𝑡 = −𝑀 )%% + )+ • 式を整理すると • 𝑉& 𝑡 = − 4 5 𝑉2(𝑡) • となる. • つまり,回路1にかけた電圧の 6 7 倍の電圧が回路2に⽣じる. 電圧𝑉5 電流 𝐼5 回路1 磁場Φ5 発⽣ 回路2 7 8 𝑉5 の誘導起電⼒発⽣ 磁束Φ/ 貫く
  30. 変圧 • また,回路に同じ⻑さ同じ⾯積のコイルを2つ使った場合,⾃⼰インダ クタンスと相互インダクタンスは • 𝐿 = 𝜇"𝑛2 &𝑙𝑆, 𝑀

    = 𝜇"𝑛2𝑛&𝑙𝑆 • と書けるから回路2のコイルの電圧は • 𝑉&(𝑡) = − 8$ 8% 𝑉2(𝑡) • となる. • コイルの巻数で電圧の⼤きさを変えることができる.誘導起電⼒を⽤ い電圧を変えることを変圧という. • 変圧を実現する回路素⼦を変圧器という. • 実際に変圧器は2つのコイルから構成される. 電圧𝜙5 電流 𝐼5 回路1 磁場Φ5 発⽣ 回路2 7 8 𝜙5 の誘導起電⼒発⽣ 磁束Φ/ 貫く
  31. 問題 • 2 つのコイル間の相互インダクタンスが 0.5H のとき、⼀⽅のコイルの 電流が 1ms の間に 10mA

    か ら 12mA に変化すると、他⽅のコイルに ⽣じる誘導起電⼒の⼤きさ[mV]はどれか。(臨床⼯学技⼠国家試験29 回) 1. 50 2. 100 3. 250 4. 500 5. 1000
  32. 問題 • 2 つのコイル間の相互インダクタンスが 0.5H のとき、⼀⽅のコイルの 電流が 1ms の間に 10mA

    か ら 12mA に変化すると、他⽅のコイルに ⽣じる誘導起電⼒の⼤きさ[mV]はどれか。(臨床⼯学技⼠国家試験29 回) 1. 50 2. 100 3. 250 4. 500 5. 1000 𝑉( 𝑡 = −𝑀 %8/ ' %' だから 𝑉( = −0.5× 12 − 10 ×10*, 1×10*, = −1V
  33. 変圧器 • 1次側のコイルの巻数を𝑛2 ,2次側のコイルの巻数を𝑛& とする. • 1次側のコイルに電圧𝑉2 をかけた場合,2次側のコイルで発⽣する電 圧𝑉& は

    • 𝑉& = 8$ 8% 𝑉2 • となる. • また,1次側および2次側の電⼒を𝑃2 ,𝑃& とすると • 𝑃2 = 𝑉2𝐼2 = 𝑃& = 𝑉&𝐼& • となり,それぞれの電⼒は等しい(理想的には). 電流𝐼! 1次側 磁場発⽣ 2次側 誘導起電⼒ 𝑛! 回巻き 𝑛" 回巻き 𝑉( 電圧𝑉)
  34. 変圧器の回路記号 変圧器の回路記号 巻数⽐ 𝑛. : 𝑛( 電圧の関係:𝑉( = 6. 6/

    𝑉. 電⼒の関係:𝑃. = 𝑃( = 𝐼. 𝑉. = 𝐼( 𝑉( 電流𝐼5 1次側 磁場発⽣ 2次側 誘導起電⼒ 𝑛5 回巻き 𝑛/ 回巻き 𝑉/ 電圧𝑉5 電圧𝑉5 電圧𝑉/ 電流𝐼5 電流𝐼/ ⼀次側 ⼆次側
  35. 例題 • 図の回路において次の値を求めよ. 1. 電圧𝑉& 2. 電流𝐼2 3. 抵抗𝑅5 図

    3 の回路に お い て, 次の値 を 求め よ 。 抵抗 RL €:: �� R, (3) 電流 I, (2) 電圧 Vz (1)
  36. 例題 • 図の回路において次の値を求めよ. 1. 電圧𝑉& 2. 電流𝐼2 3. 抵抗𝑅5 図

    3 の回路に お い て, 次の値 を 求め よ 。 抵抗 RL €:: �� R, (3) 電流 I, (2) 電圧 Vz (1) Vi 100 九 二 」 二 一一 = lOV n 10 解答 L 九 0. 4 I = __.!:. = 一一一= 0 . 04 A ' n 10 (1) 式 (1) か ら, (2) 式 (1) から, 九 10 (3) オ ー ム の法則か ら , RL = 一一 = 一一 = 25 0 !2 0.4 5 1. 𝑉K = YT YU 𝑉Z = Z Z! ×100 = 10 2. 𝑃 = 0.4×10 = 100𝐼Z 𝐼Z = 0.04A 3. 𝑅[ = \T ]T = Z! !.N = 25Ω
  37. 問題 • 変圧器の 200回巻きの1次側コイルに 100V の正弦波交流電圧を加えた. この変圧器の2次側コイルから 50V の電圧を取り出したい場合,2次側 コイルの巻数

    [回] はどれか.ただし,変圧器は理想変圧器とする( 臨床⼯学技⼠国家試験28回). 1. 50 2. 100 3. 200 4. 500 5. 800
  38. 問題 • 変圧器の 200回巻きの1次側コイルに 100V の正弦波交流電圧を加えた. この変圧器の2次側コイルから 50V の電圧を取り出したい場合,2次側 コイルの巻数

    [回] はどれか.ただし,変圧器は理想変圧器とする( 臨床⼯学技⼠国家試験28回). 1. 50 2. 100 3. 200 4. 500 5. 800 巻数をNとすると, 50 = 𝑁 200 ×100 𝑁 200 = 50 100 よって𝑁 = 100.
  39. 問題 • 変圧器の⼀次側に1A の正弦波電流を流すと、⼆次側抵抗 10Ωの両端 に5V の電圧が⽣じた。⼀次側コイルの 巻数が 100 回であるとき、⼆

    次側コイルの巻数はどれか。ただし、変圧器は理想変圧器とする。(臨 床⼯学技⼠国家試験30回) 1. 20 2. 100 3. 200 4. 1000 5. 2000
  40. 問題 • 変圧器の⼀次側に1A の正弦波電流を流すと、⼆次側抵抗 10Ωの両端 に5V の電圧が⽣じた。⼀次側コイルの 巻数が 100 回であるとき、⼆

    次側コイルの巻数はどれか。ただし、変圧器は理想変圧器とする。(臨 床⼯学技⼠国家試験30回) 1. 20 2. 100 3. 200 4. 1000 5. 2000 巻数⽐ 100: 𝑛( 電圧𝑉5 電圧5V 1A 電流𝐼/ ⼀次側 ⼆次側 10Ω オームの法則より 𝐼/ = : 5- = 0.5A 1次側と2次側で消費される電 ⼒は等しいので, 𝑉5 ×1 = 5×0.5 よって𝑉5 = 2.5Vである. 巻数⽐と電圧の関係から 𝑛/ 𝑛5 = 5 2.5 よって,𝑛/ = 200である.
  41. 問題 • 図の変圧器の⼀次側電流𝐼が2Aのとき,電圧𝐸[𝑉]を求めよ.ただし, 変圧器の巻数⽐は2:1とする(臨床⼯学技⼠国家試験31回) . 1次側と2次側の電⼒は等しいので 𝐼𝐸 = 𝐼# 𝑉#

    = 𝑉# # 𝑅 𝑉# = '; '< 𝐸だから 𝐼𝐸 = 𝑛# 𝑛" # 𝐸# 𝑅 𝐼 = 𝑛# 𝑛" # 𝐸 𝑅 𝐸 = 𝐼𝑅 𝑛# 𝑛" # = 2×10 1 2 # = 80𝑉 𝑉( 𝐼(
  42. 問題解説 • 図の変圧器で⼀次側のコイルの巻数が100回であるとき⼆次側のコイルの巻数[回]はどれ か.ただし,変圧器での電⼒損失は無視できるものとする.(第41回ME2種) 1. 20 2. 50 3. 100

    4. 200 5. 500 2次側の回路に流れる電流は 𝐼 = ( .! = 0.2A 2次側の電⼒𝑃( は 𝑃( = 2×0.2 = 0.4W 1次側と2次側の電⼒は等しいので 𝑃. = 𝑉. 𝐼. = 𝑃( = 0.4 W 𝑉 = 9. 8/ = !.: . = 0.4V つまり巻数は 𝑉( = 𝑛( 𝑛. 𝑉. 𝑛( = 𝑛. 𝑉( 𝑉. = 100× 2 0.4 = 500 100回巻 𝑃/ = 𝑉/ 𝐼/
  43. 問題 • 1次巻線数𝑛2 ,2次巻線数𝑛& の理想変圧器について正しいのはどれか. (27回) a. 交流電圧の変換に⽤いられる. b. コイルの発⽣する誘導起電⼒を利⽤している.

    c. 1次と2次のインピーダンス⽐は巻数の2乗に反⽐例する. d. 1次電圧を𝑣2 ,2次電圧を𝑣& としたとき9% 9$ = 8$ 8% が成⽴する. e. 1次電流を𝑖2 ,2次電流を𝑖& としたとき:$ :% = 8% 8$ が成⽴する.
  44. 問題 • 1次巻線数𝑛" ,2次巻線数𝑛# の理想変圧器について正しいのはどれか.(27回) a. 交流電圧の変換に⽤いられる. b. コイルの発⽣する誘導起電⼒を利⽤している. c.

    1次と2次のインピーダンス⽐は巻数の2乗に反⽐例する. d. 1次電圧を𝑣" ,2次電圧を𝑣# としたとき(< (; = '; '< が成⽴する. e. 1次電流を𝑖" ,2次電流を𝑖# としたとき); )< = '< '; が成⽴する. a. 正しい. b. 正しい. c. 𝑍5 = 1' =' , 𝑍/ = 1& =& , >' >& = 1'=& 1&=' = ?' & ?& & ,よって巻数の⽐の2乗である.そもそも⽂章がおかしいが… d. 𝑣/ = ?& ?' 𝑣5 , 1& 1' = ?& ?' だから間違い. e. 𝑖5 𝑣5 = 𝑖/ 𝑣/ 𝑖/ 𝑖5 = 𝑣5 𝑣/ = 𝑛5 𝑛/ よって正しい.