事後確率分布の共分散について

内部学生向けの勉強資料です。
最尤推定結果の共分散行列を利用することに関する問題点などの説明です。
無批判にスキャンマッチング結果のヘッセ行列から姿勢誤差分布を求めるのは良くないというような話です。

Transcript

1. 事後確率分布の共分散について 産業技術総合研究所 小出健司 2024/10/25 ※内部学生向け
2. 本日のお話 最尤推定結果の共分散について よくある誤ったアプローチ • ループクローズ後の不確かさ推定 • スキャンマッチングの不確かさ推定 どうしたらいいのか • センサ間・時間方向のタイトカップリング
3. 2/12/2026 3 最尤推定における事後確率の分散 分散 𝜎2 = 1 の観測分布５個を掛け合わせて事後分布を求める 観測値（平均）がばらけている時と、集まっている時、どちらのほうが事後確率の分散が小さくなるか ※スケールは正規化されている 観測分布
4. 2/12/2026 4 最尤推定における事後確率の分散 分散 𝜎2 = 1 の観測分布５個を掛け合わせて事後分布を求める 観測値（平均）がばらけている時と、集まっている時、どちらのほうが事後確率の分散が小さくなるか ※スケールは正規化されている 観測分布 事後分布 どちらも全く同じ分散になる(𝝈𝟐 = 𝟏/𝟓)
5. 正規分布の積 正規分布の再生性： 正規分布を掛け合わせた結果は正規分布 𝝁 = 𝚺2 𝚺1 + 𝚺2 −1𝝁1 + 𝚺1 𝚺1 + 𝚺2 −1𝝁2 𝚺 = 𝚺1 𝚺1 + 𝚺2 −1𝚺2 𝒩 𝝁, 𝚺 = 𝒩 𝝁1 , 𝚺1 × 𝒩(𝝁2 , 𝚺2 ) 事後分布の分散に平均の配置は一切関与しない このような非直感的な結果にどうしてなるのか？ ※定数倍は無視している
6. 正規分布の積 正規分布の再生性： 正規分布を掛け合わせた結果は正規分布 𝝁 = 𝚺2 𝚺1 + 𝚺2 −1𝝁1 + 𝚺1 𝚺1 + 𝚺2 −1𝝁2 𝚺 = 𝚺1 𝚺1 + 𝚺2 −1𝚺2 𝒩 𝝁, 𝚺 = 𝒩 𝝁1 , 𝚺1 × 𝒩(𝝁2 , 𝚺2 ) 事後分布の分散に平均の配置は一切関与しない このような非直感的な結果にどうしてなるのか？ 最初の各観測の分散設定（𝜎2 = 1）が間違っていた 間違った分散を仮定して掛け合わせた事後分布の分散にはあまり妥当な意味がない ※定数倍は無視している
7. 理屈で分かっていてもやりがち1 ループクローズ後の不確かさを事後確率分散で確かめる ループ 修正前 修正後 正確なオドメトリ 不正確なオドメトリ オドメトリが正確で少ししか修正されなかった場合、逆に不正確で大きく修正された場合、 事後確率の分散の大きさは変わる？
8. 理屈で分かっていてもやりがち1 ループクローズ後の不確かさを事後確率分散で確かめる ループ 修正前 修正後 正確なオドメトリ 不正確なオドメトリ オドメトリが正確で少ししか修正されなかった場合、逆に不正確で大きく修正された場合、 事後確率の分散の大きさは変わる？ （相対姿勢制約の分散を一定にしている場合）どちらも事後確率の分散は同じ 実際、多くのSLAM手法では共分散行列＝単位行列にしていたり、謎にスキャンマッチング誤差を 入れていたりするので、最適化後の事後確率には意味がない ※非線形性で変化しうるけれど、実用上意味のある程度の影響はない
9. 理屈で分かっていてもやりがち2 スキャンマッチング結果の不確かさ よくある方法： 一点一点を正規分布観測として掛け合わせた結果の事後分布を 見ているのに相当する 最適化の最終イテレーションにおけるヘッセ行列の逆行列を 共分散とする 各点ごとの誤差分布が一定であれば、残差にかかわらず共分散行列のノルムは対応点の数で決まる 共分散行列の絶対スケールに意味はなく、各軸ごとの相対的な不確かさの指標としてのみ意味がある ※ここでは誤差関数の非線形性は無視しているが、どっちみちこのアプローチは二次近似に依存していて非線形性を正確に考慮できない
10. スキャンマッチング誤差の実例（ICP） 各点の観測分布が等方性の場合 (Point-to-Point ICP) ※最大対応距離＝∞ ソース点 ターゲット点 ヘッセ行列 残差に依らずヘッセ行列は一定 相対姿勢（＝マッチング具合）が 変わっても全く変化しない
11. スキャンマッチング誤差の実例（Generalized ICP） 各点の観測分布が異方性の場合 (Distribution-to-Distribution) ※最大対応距離＝∞ ソース点 ターゲット点 ヘッセ行列 対応しているターゲット点が並行移動しても同一のヘッセ行列が返ってくる ソース点分布が姿勢によって変化するので 姿勢変化によってヘッセ行列は変化するが やはり残差には依存しない ※対応点変化や非線形性変化の影響もあるため実際はもう少し複雑に変化するが、基本的にあまり当てにならないという意識を持つ必要がある
12. どうしたらいいのか 各観測に設定する分散が正確であれば事後確率の分散も正確になる…が、これは実用上厳しい • ループクローズに使う相対姿勢の不確かさ？ • スキャンマッチング結果の不確かさ？ • 一点ごとのマッチングの不確かさ？ • そもそも観測を正規分布で近似すること限界がある 1. 分散設定をなるべく小さな単位で行う • より細かなセンサの観測次元での分散設定はある程度妥当性を持たせやすい (e.g., IMU観測の誤差 [m/s^2]、点群の各点の対応点誤差 [m]、Visual特徴点の再投影誤差 [pix]) • 各生センサデータ次元の観測量を最終的な誤差関数まで伝搬させる 個人的な指針 2. 正規分布近似を何度もやり直す • 固定の正規分布を使うことは避ける • 何度も非線形関数の線形化（正規分布近似）をやり直す
13. どうしたらいいのか 要するにタイトカップリング • センサ間 (e.g., LiDARとIMU観測) のタイトカップリング • 同一センサ観測 (時間方向) のタイトカップリング フィルタリングベースの方法は (e.g., FAST-LIO2) は時系列方向にはルーズカップリング 普通のポーズグラフは各時刻の最適化が分離したルーズカップリング …と見ることができる
14. 本日のお話 最尤推定結果の共分散について よくある誤ったアプローチ • ループクローズ後の不確かさ推定 • スキャンマッチングの不確かさ推定 どうしたらいいのか • センサ間・時間方向のタイトカップリング