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はじめてのパターン認識読書会 #11 部分空間法

はじめてのパターン認識読書会 #11 部分空間法

KOMIYA Atsushi

February 04, 2014
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  1. 部分空間をざっくり説明すると… • 次元ベクトル空間 の部分空間とは、 上にある 個 ( ≤ ) の

    1 次独立な ベクトル 1 , 2 , … , を1次結合するこ とで表現されるベクトルすべての集合で ある 5
  2. 部分空間をざっくり説明すると… • 次元ベクトル空間 の部分空間とは、 上にある 個 ( ≤ ) の

    1 次独立な ベクトル 1 , 2 , … , を1次結合するこ とで表現されるベクトルすべての集合で ある 6
  3. 部分空間:もう少しわかりやすく •3 次元のベクトル空間 で考えてみよう • 1 次従属じゃない、すなわち 1 次独立 な

    3 個以下の ベクトルを用意します • 1 = 3,1,0 , 2 = (0,2,1) • 1 = 2 を満たすような実数 はないよね? → 一次独立 • 1 , 2 のベクトルを 1 次結合して得られるすべてのベク トルを考える • = 1 1 + 2 2 • 1 , 2 は実数とする • このベクトル が属する集合を の部分空間 という • = 1 1 + 2 2 1 ∈ , 2 ∈ } • は実数の集合を表す 7
  4. 部分空間:もう少しわかりやすく •3 次元のベクトル空間 で考えてみよう • 1 次従属じゃない、すなわち 1 次独立 な

    3 個以下の ベクトルを用意します • 1 = 3,1,0 , 2 = (0,2,1) • 1 = 2 を満たすような実数 はないよね? → 一次独立 • 1 , 2 のベクトルを 1 次結合して得られるすべてのベク トルを考える • = 1 1 + 2 2 • 1 , 2 は実数とする • このベクトル が属する集合を の部分空間 という • = 1 1 + 2 2 1 ∈ , 2 ∈ } • は実数の集合を表す 8
  5. 部分空間:もう少しわかりやすく •3 次元のベクトル空間 で考えてみよう • 1 次従属じゃない、すなわち 1 次独立 な

    3 個以下の ベクトルを用意します • 1 = 3,1,0 , 2 = (0,2,1) • 1 = 2 を満たすような実数 はないよね? → 一次独立 • 1 , 2 のベクトルを 1 次結合して得られるすべてのベク トルを考える • = 1 1 + 2 2 • 1 , 2 は実数とする • このベクトル が属する集合を の部分空間 という • = 1 1 + 2 2 1 ∈ , 2 ∈ } • は実数の集合を表す 9
  6. 主成分分析:どのように使うのか? •※勝手な想像が多分に入り混じってます •分析対象のデータの概要・傾向を知るため • 次元数 – 1 個の総合指標を算出するイメージ • 単変量解析

    → 2 変量解析の後ぐらいに実施? •たくさんある説明変数 (=高次元) を削減 するため • 説明変数そのものを削減するのではない • さして影響を与えない(寄与率の低い)総合 指標を削る •むしろ皆様の使い方をお聞かせ下さい… 27
  7. 主成分分析:どのように使うのか? •※勝手な想像が多分に入り混じってます •分析対象のデータの概要・傾向を知るため • 次元数 – 1 個の総合指標を算出するイメージ • 単変量解析

    → 2 変量解析の後ぐらいに実施? •たくさんある説明変数 (=高次元) を削減 するため • 説明変数そのものを削減するのではない • さして影響を与えない(寄与率の低い)総合 指標を削る •むしろ皆様の使い方をお聞かせ下さい… 28
  8. 主成分分析:どのように使うのか? •※勝手な想像が多分に入り混じってます •分析対象のデータの概要・傾向を知るため • 次元数 – 1 個の総合指標を算出するイメージ • 単変量解析

    → 2 変量解析の後ぐらいに実施? •たくさんある説明変数 (=高次元) を削減 するため • 説明変数そのものを削減するのではない • さして影響を与えない(寄与率の低い)総合 指標を削る •むしろ皆様の使い方をお聞かせ下さい… 29
  9. 共分散行列 •学習データ = 1 , … , •学習データの行列 = 1

    , … , •各成分の平均を表すベクトル = 1 , … , •平均を減じた学習データの行列 = 1 − , … , − •共分散行列 = Var = 1 32
  10. 固有値問題 •固有値問題 = λ (1 ≤ ≤ ) を解く •しかしなぜ固有値問題?

    •平均を減じた学習データ − に対し て、係数ベクトル を使って線形変換 したベクトル を得る = 1 , … , = •線形変換後のデータの分散 = = = 33
  11. 主成分/寄与率 •めでたく固有値/固有ベクトルがもとまっ た体で話を進めます… •第 主成分 •最大の固有値から順に λ1 , … ,

    λ 、対応する固 有ベクトルを 1 , … , としたときに の固 有ベクトルで線形変換することで求められる •寄与率 •第 主成分の寄与率は = λ =1 λ 36
  12. 主成分/寄与率 •第 1 主成分 •データを最もよく説明してくれる総合指標 • 分散が最も大きい • 分散は λ1

    が対応している •続いて第 2 主成分、第 3 主成分… の順に、 データをよく説明する総合指標となる •寄与率 •具体的に、その主成分が全体の何割を説明し てくれるのか、の指標値 37