diffusion model, part 3.6, probability flow ODE

岡野原さんの「拡散モデル データ生成技術の数理」3.6章 確率フローODE

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1. 確率フロー ODE
   拡散モデル データ生成技術の数理 3.6章
   三澤遼
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2. Outline
   1. 確率フロー ODE とは
   2. 確率フロー ODE と SDE の周辺尤度が一致することの証明
   3. 確率フロー ODE の尤度計算
   4. シグナルとノイズで表される確率フロー ODE
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3. 任意の SDE は ODE に変換可能
   伊藤型の確率微分方程式
   : Wiener 過程
   これは決定的な過程である ODE に変換することができる
   確率フロー ODE とは
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4. 1. 順過程，逆過程ともに同じ方程式に従って決定的に遷移
   SDE では拡散過程と逆拡散過程が異なる方程式に従っていた
   SDE では確率的に遷移していた
   2. データ分布と事前分布が 1 対 1 対応
   決定的な過程であるため
   3. 確率的要素が少なく少量ステップで収束
   一方，SDE に加えられるノイズと MCMC 法は離散化誤差を改善
   確率フロー ODE にノイズを加えることで品質改善できる
   SDE との比較
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5. 伊藤過程における Focker-Planck 方程式
   確率分布 の従う方程式（Stratonovich 積では別の形を取る）
   1 次元の場合
   次元の場合
   として，
   確率フロー ODE と SDE の周辺尤度が一致することの証明
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6. より と思い（伊藤ルール）， の1次以下だけ残すと
   （伊藤公式）
   一方， なので
   蛇足: Focker-Planck 方程式（1次元）の導出
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7. 任意の について成立するので，
   多次元の Focker-Planck 方程式も同様．
   蛇足: Focker-Planck 方程式（1次元）の導出
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8. 右辺第2項を で括り，整理すれば良い．
   確率フロー ODE と SDE の周辺尤度が一致することの証明
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9. よって，右辺は
   となる．括弧の中身が になっている．
   が に依存しない場合は右辺第2項は消える．
   確率フロー ODE と SDE の周辺尤度が一致することの証明
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10. の場合，
    尤度は，
    と計算される (Chen et al., 2018)．
    確率フロー ODE の尤度計算
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11. 定理 (Instantaneous Change of Variables)
    常微分方程式 に従う確率変数の確率分布について
    が成立．両辺を で積分すると所望の式が得られる．
    注意: 定理では確率変数の時間変化を追跡
    Focker-Plank 方程式: 固定位置での確率分布
    Focker-Planck 方程式では，右辺の 依存性が消えず計算が困難．
    -> で置き換え依存性消去．代償として 次元の ODE に帰着．
     結果は等価．
    確率フロー ODE の尤度計算: Instantaneous Change of Variable
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12. 両辺を で割って定理を得る．
    以下の ODE に帰着． を追跡するために状態が 次元増加．
    確率フロー ODE の尤度計算: 定理の証明
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13. は Skilling-Hutchinson 推定で効率的に計算できる
    行列 を陽に計算して対角和を求めるのは非効率．
    例えば，標準基底 との積 により の 番目の列が得られる．
    回繰り返し を計算（非効率）．
    Skilling (1989) と Hutchinson (1989) は同時期に対角和の推定量を提案．
    確率変数 が を満たすとする．このとき
    が条件から容易に従う．
    を条件を満たす確率変数とすると，Skilling-Hutchinson 推定量は
    確率フロー ODE の尤度計算: Skilling-Hutchinson 推定
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14. は不偏推定量．つまり
    確率変数には Rademacher ベクトルや正規分布上のベクトルが用いられる．
    Hutchinson のトレース推定量:
    ガウストレース推定量:
    本ケースでは
    は誤差逆伝播法により，ヤコビアンを陽に表さず効率的に
    計算可能 (VJP: Vector-Jacobian Products)
    確率フロー ODE の尤度計算: Skilling-Hutchinson 推定
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15. SBM や DDPM の確率フロー ODE
    確率フロー ODE は として
    だったので
    微積分学の基本定理から
    シグナルとノイズで表される確率フロー ODE
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16. 分散発散型 SDE（SBM など）では， なので，
    シグナルとノイズで表される確率フロー ODE
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17. 参考文献
    1. 岡野原大輔，拡散モデル データ生成技術の数理．
    2. 沙川貴大，上田正仁，量子測定と量子制御．
    3. Sebastian Nowozin, Thoughts on Trace Estimation in Deep Learning.
    参考文献
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