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diffusion model, part 3.6, probability flow ODE

Ryo Misawa
April 18, 2023

diffusion model, part 3.6, probability flow ODE

岡野原さんの「拡散モデル データ生成技術の数理」3.6章 確率フローODE

Ryo Misawa

April 18, 2023
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Transcript

  1. 確率フロー ODE
    拡散モデル データ生成技術の数理 3.6章
    三澤遼
    1

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  2. Outline
    1. 確率フロー ODE とは
    2. 確率フロー ODE と SDE の周辺尤度が一致することの証明
    3. 確率フロー ODE の尤度計算
    4. シグナルとノイズで表される確率フロー ODE
    2

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  3. 任意の SDE は ODE に変換可能
    伊藤型の確率微分方程式
    : Wiener 過程
    これは決定的な過程である ODE に変換することができる
    確率フロー ODE とは
    3

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  4. 1. 順過程,逆過程ともに同じ方程式に従って決定的に遷移
    SDE では拡散過程と逆拡散過程が異なる方程式に従っていた
    SDE では確率的に遷移していた
    2. データ分布と事前分布が 1 対 1 対応
    決定的な過程であるため
    3. 確率的要素が少なく少量ステップで収束
    一方,SDE に加えられるノイズと MCMC 法は離散化誤差を改善
    確率フロー ODE にノイズを加えることで品質改善できる
    SDE との比較
    4

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  5. 伊藤過程における Focker-Planck 方程式
    確率分布 の従う方程式(Stratonovich 積では別の形を取る)
    1 次元の場合
    次元の場合
    として,
    確率フロー ODE と SDE の周辺尤度が一致することの証明
    5

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  6. より と思い(伊藤ルール), の1次以下だけ残すと
    (伊藤公式)
    一方, なので
    蛇足: Focker-Planck 方程式(1次元)の導出
    6

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  7. 任意の について成立するので,
    多次元の Focker-Planck 方程式も同様.
    蛇足: Focker-Planck 方程式(1次元)の導出
    7

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  8. 右辺第2項を で括り,整理すれば良い.
    確率フロー ODE と SDE の周辺尤度が一致することの証明
    8

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  9. よって,右辺は
    となる.括弧の中身が になっている.
    が に依存しない場合は右辺第2項は消える.
    確率フロー ODE と SDE の周辺尤度が一致することの証明
    9

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  10. の場合,
    尤度は,
    と計算される (Chen et al., 2018).
    確率フロー ODE の尤度計算
    10

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  11. 定理 (Instantaneous Change of Variables)
    常微分方程式 に従う確率変数の確率分布について
    が成立.両辺を で積分すると所望の式が得られる.
    注意: 定理では確率変数の時間変化を追跡
    Focker-Plank 方程式: 固定位置での確率分布
    Focker-Planck 方程式では,右辺の 依存性が消えず計算が困難.
    -> で置き換え依存性消去.代償として 次元の ODE に帰着.
     結果は等価.
    確率フロー ODE の尤度計算: Instantaneous Change of Variable
    11

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  12. 両辺を で割って定理を得る.
    以下の ODE に帰着. を追跡するために状態が 次元増加.
    確率フロー ODE の尤度計算: 定理の証明
    12

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  13. は Skilling-Hutchinson 推定で効率的に計算できる
    行列 を陽に計算して対角和を求めるのは非効率.
    例えば,標準基底 との積 により の 番目の列が得られる.
    回繰り返し を計算(非効率).
    Skilling (1989) と Hutchinson (1989) は同時期に対角和の推定量を提案.
    確率変数 が を満たすとする.このとき
    が条件から容易に従う.
    を条件を満たす確率変数とすると,Skilling-Hutchinson 推定量は
    確率フロー ODE の尤度計算: Skilling-Hutchinson 推定
    13

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  14. は不偏推定量.つまり
    確率変数には Rademacher ベクトルや正規分布上のベクトルが用いられる.
    Hutchinson のトレース推定量:
    ガウストレース推定量:
    本ケースでは
    は誤差逆伝播法により,ヤコビアンを陽に表さず効率的に
    計算可能 (VJP: Vector-Jacobian Products)
    確率フロー ODE の尤度計算: Skilling-Hutchinson 推定
    14

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  15. SBM や DDPM の確率フロー ODE
    確率フロー ODE は として
    だったので
    微積分学の基本定理から
    シグナルとノイズで表される確率フロー ODE
    15

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  16. 分散発散型 SDE(SBM など)では, なので,
    シグナルとノイズで表される確率フロー ODE
    16

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  17. 参考文献
    1. 岡野原大輔,拡散モデル データ生成技術の数理.
    2. 沙川貴大,上田正仁,量子測定と量子制御.
    3. Sebastian Nowozin, Thoughts on Trace Estimation in Deep Learning.
    参考文献
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