Álgebra Linear Computacional III

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1. UFRJ Álgebra linear computacional III Prof. Paulo R. G. Bordoni
2. Este programa, feito em “Álgebra linear computacional I” mostra o efeito de matrizes sobre feixes de vetores.
3. Percebemos claramente que a matriz A leva a circunferência unitária numa elípse. Sim Mestra, é só olhar para as pontas dos vetores.
4. Então se eu usar apenas a circunferência unitária obterei o mesmo resultado - uma elípse. Exatamente Surfista, veja o programa que confirma sua fala na próxima transparência.
5. Esse é o programa prometido.
6. A norma natural da matriz em questão, também chamada de norma induzida euclidiana é, exatamente, a medida do semi-eixo maior dessa elípse. Sim Mestre. Mas como eu calculo o tamanho desse semi-eixo maior?
7. A definição é exatamente o que deve ser: 2 = max 2=1 2 Dentre todos os vetores , com sobre a circunferência unitária pego o tamanho do maior deles.
8. Resumindo: A norma euclidiana induzida de uma matriz qualquer A é, nada mais, nada menos, que a medida da deformação máxima que ela faz sobre a circunferência unitária. Absolutamente correto, Surfista!
9. Uma definição equivalente é 2 = 2 2 , ≠ 0 Essa equivalência decorre da linearidade de A e de uma das propriedades da 2 de vetores: () 2 = 2 = 2 . Basta escolher = 1 2 .
10. Aliás, para provar que um número ∈ ℝ é a norma induzida de uma matriz A precisamos provar que: 1. 2 ≤ 2 , ∀ ∈ ℝ; 2. Que vale a igualdade para algum ∈ ℝ. Segue daí uma propriedade importante da norma: 2 ≤ 2 2 , ∀ ∈ ℝ , ∀ ∈ ℳ ×
11. Minha filha, lá na scipy.linalg, vimos a função norma, tanto para matrizes como para vetores. Esqueceu? Torno a repetir minha pergunta, Mestra. Como eu calculo 2 ?
12. Conforme já mostrei, na referência do SciPy encontramos os detalhes dos parâmetros para usar a função norm( ):
13. As normas matriciais da scipy.linalg. Não deixem de comprar o livro do Golub
14. Essa foi mole! Modifiquei um pouquinho só o programa da Mestra, nas linhas marcadas.
15. Hoje ela está atacada! Ah, mas eu queria é marcar os semi-eixos dessa elípse.
16. Loirinha, esta é uma das questões mais importantes da Álgebra linear computacional. A resposta é a decomposição em valores singulares de uma matriz.
17. Voltando ao livro do Trefethen, logo no início está a decomposição em valores singulares
18. O teorema da Decomposição em Valores Singulares (SVD): Seja ∈ ℳ× . Então existem matrizes ortogonais ∈ ℳ× e ∈ ℳ× tais que = Σ , onde Σ = (1 , 2 , ⋯ , ) ∈ ℳ× , com = { , } e 1 ≥ 2 ≥ ⋯ ≥ ≥ 0. Os ′ são chamados de valores singulares. As colunas de U e V são os vetores singulares da esquerda e direita, respectivamente.
19. Para = 3 e = 2: 11 12 21 22 31 32 = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 0 0 2 0 0 11 12 21 22 Para = 2 e = 3: 11 12 13 21 22 23 = 11 12 21 22 1 0 0 0 2 0 11 12 13 21 22 23 31 32 33 Quando = , todas as matrizes serão quadradas. Abaixo mostrei dois exemplos em que ≠ .
20. Vejam, lá na scipy.linalg.
21. A continuação A transposta de V.
22. Este programa calcula a decomposição SVD de uma matriz 2x2 e mostra o resultado graficamente.
23. Aí estão as diagonais que você tanto pediu, Loirinha.
24. Agora em 3D. A esfera unitária será levada num elipsoide.
25. O Mestre cortou um gomo da laranja para melhorar a visualização. Na realidade uma casca esférica, cortada para olharmos seu interior. A matriz A é diagonal. Note as escalas nos 3 eixos da imagem.
26. Fiz um programa para calcular a decomposição em valores singulares, SVD, de uma matriz A. Depois apliquei-o à matriz do gráfico anterior.
27. Esta outra matriz A é simétrica. Além de deformar a esfera num elipsoide, ela também gira-o entorno da origem!
28. Calculei a SVD dessa matriz. Marquei o tamanho dos semi-eixos do elipsoide para você, Loirinha.
29. Para esta matriz A, a esfera vira um disco! Perdemos uma dimensão na imagem. Fiz duas fotos para vocês conferirem. Uma de perfil e, a outra, quase de frente.
30. Também calculei a SVD da minha matriz. Marquei o valor do determinante e o tamanho dos semi- eixos do elipsoide. Vejam que tanto o determinante como o valor de um semi-eixo é zero.
31. Com esta outra matriz perdemos duas dimensões! A imagem da esfera vira um segmento de reta.
32. Loirinha, repeti seus cálculos para esta última matriz A. Neste caso o det() e dois dos valores da SVD de A são nulos.
33. Surfista, para revisar autovalores e autovetores, consulte o livro:
34. O livro do Trefethen dedica todo um capítulo à autovalores e autovetores. Marquei no índice.
35. Vou recordar as definições de autovalores e autovetores: Seja ∈ ℳ× uma matriz quadrada. Um vetor não-nulo ∈ ℝ é um autovetor de A e ∈ ℂ o autovalor correspondente quando = .
36. A ideia subjacente a esses conceitos é que: a ação de A em determinados subespaços S de ℝ imita a multiplicação por fator de escala, = . Na figura abaixo isto é óbvio, porque a matriz A é diagonal!
37. Concordo Mestra, no eixo-x (um dos subespaços) temos uma dilatação de = 1.5 e no outro (o eixo-y) uma contração de = 0.5.
38. É, aplicando essa matriz a vetores sobre o eixo-x, o resultado é claro. Idem para vetores sobre o eixo-y. Vejam: Vetores sobre o eixo-x continuam no eixo-x 1.5 0 0 0.5 0 = 1.5 0 , só aumentam em 50%. E, vetores sobre o eixo-y continuam sobre o eixo-y 1.5 0 0 0.5 0 = 0.5 0 , só diminuem à metade.
39. É, mas para esta outra matriz não sei quais são os autovalores, nem os autovetores!
40. Então Loirinha, alguma vezes a matriz A é diagonalizável, isto é, existem matrizes , ∈ ℳ × , sendo V inversível e D diagonal, tais que −1 = (ou = −1). Equivalentemente, A é diagonalizável se existir uma matriz ∈ ℳ × , inversível tal que −1 = . D é a mesma.
41. Pois, = 1 |2 | ⋯ | = 1 2 ⋯ ] e também = [ 1 1 | 2 2 ⋯ ] Então, da equivalência −1 = ⟺ = segue 1 = 1 1 , 2 = 2 2 , ..., = . Sejam, 1 , 2 , … , as colunas de V, isto é, = 1 |2 | ⋯ | .
42. Pois, = 1 2 ⋮ = 1 2 ⋮ e também = 1 1 2 2 ⋮ . Então, da equivalência −1 = ⟺ = segue 1 = 1 1, 2 = 2 2, ..., = . Sejam, 1, 2, … , as linhas de U, isto é, = 1 2 ⋮ .
43. Face à igualdade = , os vetores coluna 1 , 2 , ⋯ , de V são denominados autovetores à direita de A. E da igualdade = , os vetores linha 1, 2, … , de U são chamados autovetores à esquerda de A.
44. Cuidado, o fato de D ser diagonal, não garante = . Experimente com o programa:
45. Uma dica: Assuma que 1 ≠ 2 são autovalores correspondentes aos autovetores 1 e 2 . Suponha, por absurdo, que 1 e 2 são LD, isto é 1 = 2 , ≠ 0. Conclua! Autovalores distintos garantem que os auto-vetores correspondentes são linearmente independentes. Prove isto como exercício, Surfista!
46. Sim Loirinha, e se os autovetores correspondentes forem LI (linearmente independentes) o subespaço gerado por eles possuirá dimensão maior que 1. A dimensão desse subespaço é conhecida como multiplicidade geométrica de . Mestres, existe a possibilidade de alguns dos autovalores 1 , 2 , ⋯ , em Λ serem iguais?
47. O polinômio característico de uma matriz A é definido por = det( − ). Ele é um polinômio mônico. Da definição de autovalores e autovetores, é imediato que (prove Loirinha): é um autovalor de A se, e somente se, é uma raiz do polinômio característico de A: = det − = 0
48. Uma consequência importante desse teorema é que autovalores de uma matriz A podem ser complexos, mesmo que a matriz A seja real. Equações polinomiais podem possuir raízes com multiplicidade maior que 1. É a mesma coisa que a multiplicidade geométrica do autovalor?
49. Não Loirinha, trata-se da multiplicidade algébrica do autovalor . Segue daí que uma matriz ∈ ℳ × possui no máximo n autovalores, contadas as multiplicidades algébricas. Se todas as raízes do polinômio característico forem raízes simples, então A possuirá n autovalores distintos.
50. Podemos provar que: a multiplicidade algébrica de um autovalor é maior ou, quando muito, igual à sua multiplicidade geométrica. No caso da multiplicidade algébrica de um autovalor ser maior que sua multiplicidade geométrica, ele é dito defectivo.
51. Surfista, as matrizes A e B abaixo possuem o mesmo polinômio característico, = ( − 2)3. Portanto ambas possuem apenas um autovalor = 2, com multiplicidade algébrica 3. = 2 2 2 = 2 1 2 1 2
52. Claramente, no caso da matriz A, 1 = 1 0 0 , 2 = 0 1 0 , 3 = 0 0 1 são autovetores associados a = 2. Assim a dimensão geométrica do autoespaço associado a = 2 é 3. = 2 2 2
53. = 2 1 2 1 2 É, mas para a matriz B só conseguimos um autovetor = 1 0 0 linearmente independente. Assim, a dimensão do autoespaço associado ao autovalor = 2 é 1 e ele é um autovalor defectivo.
54. Para sacramentar esse papo: Uma matriz A é diagonalizável se,e somente se, ela é não defectiva. Em outras palavras: existem matrizes V e , com V inversível e diagonal, tais que −1 = quando, e apenas quando, A é não defectiva.
55. Eis o que há na scipy.linalg sobre autovalores e autovetores
56. A rotina da scipy.linalg para calcular, apenas, os autovalores de uma matriz quadrada A.
57. Estupidamente fácil de usar Mestres, vejam o programinha que fiz. Entrei com uma matriz 3x3, e obtive três autovalores distintos e reais.
58. O mesmo programa. Tornei a entrar com uma matriz real, agora 4x4, mas obtive um par de autovalores complexos e dois autovalores reais.
59. Com esta rotina obtemos os autovalores e também os autovetores de uma matriz A.
60. Os valores de retorno:
61. Eis aqui meu programa, Surfista!
62. Apliquei-o à matriz 3x3 do seu 1º exemplo, Surfista.
63. Se A é simétrica, então seus autovalores são reais e seus autovetores são ortogonais. Este é um dos resultados mais importantes da Álgebra Linear. Veja a seguir, como ele aparece na scipy.linalg
64. Para matrizes reais o h em eigh é a simetria de A.
65. Os valores de retorno:
66. Muito fácil também, Mestres. Vejam o programinha que fiz. Vou entrar com uma matriz simétrica 3x3.
67. Muito simples. Só não conferi se os autovetores são ortogonais. Faça isso Loirinha!
74. Tchau, até a próxima aula!