Interpolação 1D por partes

...

Transcript

1. LNCC Interpolação 1D por partes Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. Agora passaremos a examinar aproximações polinomiais por pedaços, ou partes.
3. Repito, dividir para conquistar ! A ideia é muito simples, partiremos o domínio (grande, um gigante) em em muitos pedaços (pequenos os anões).
4. Mestre, precisaremos de muitos anões. Vamos para Liliput com Gulliver!
5. E então, ao invés de usar uma polinomial interpoladora em [, ], com grau demasiadamente grande (a gigante), usaremos polinomiais 1 , 2 , ⋯ , uma em cada subintervalo 0 , 1 , 1 , 2 , ⋯ [−1 , ], com grau bem pequeno (as anãs). Formalizando: Dado um intervalo [, ] consideremos uma partição , = {0 = , 1 , ⋯ , = }, constituida por subintervalos 0 , 1 , 1 , 2 , ⋯ [−1 , ].
6. Troquei o Guliver por 4 liliputianos. Melhorou bastante nos extremos, mas piorou no centro. Não ficou bom!
7. 4 anões 14 anões 24 anões Sim, quanto mais anões, melhor:
8. Foi uma das primeiras lições que aprendemos na MatPlotLib. Lembro-me perfeitamente: com 6 subintervalos o gráfico ficava ruim, mas com 20 melhorou. Com mais de 50 já parece contínuo.
9. Risquei o que já vimos da scipy.interpolate.
10. Vamos ao 1º da lista:
11. Continuação:
12. • Recebe: 1. Um intervalo [, ], 2. Uma partição , = 0 , 1 , … , de [, ], 3. Um valor para cada ∈ , . • Retorna o gráfico de uma função linear por partes pelos pontos ( , ), utilizando a interp1d( ). Fiz um programa que:
13. Este é o programa. Note que informamos que a interpolação será linear em kind = ‘linear’
14. Os valores de ( , ) são escolhidos pelo usuário:
15. O programa: • Recebe: 1. Um intervalo [, ], 2. A expressão de uma função : [, ] → ℝ, 3. Uma partição de , . • E devolve: 1. Uma tabela dos pares dos pares , ( ) , 2. Os gráficos de e da interpoladora linear por partes de Lagrange da função sobre a partição , . Agora faremos uma interpolação linear por partes de uma função : [, ] → ℝ.
16. A única diferença é que = ( ).
17. Chamei-o com os dados à frente e veja o resultado:
18. Passaremos a analisar uma classe de espaços vetoriais importantíssima em teoria de aproximação.
19. Um desses espaços é o ℒ( , ). Ele é constituído pelas funções que são contínuas num intervalo [, ] e lineares em cada sub-intervalo de uma partição [, ] = { = 0 < 1 < ⋯ < = } de [, ].
20. A rotina interp1d( ) do pacote scipy.interpolate permite construirmos facilmente funções (vetores) desse subespaço. ℒ , é um subespaço de , .
21. Todo espaco vetorial tem uma base, ao menos uma. Mostre-nos uma base do ℒ( , ), Mestra. Ah, minha filha, uma delas é a minha coleção de chapéus de bruxa!
22. Chapeus de bruxa, Mestra? Amei! Sim Loirinha. A base canônica de ℒ( , ) é a coleção ℋ = {ℎ0 , ℎ1 , … , ℎ } constituída pelas N+1 “hat functions” que o Galileu vai te mostrar nas próximas transparências.
23. As funções chapéu, “hat functions”, formam uma base para esse espaço. Esta é a ℎ3 . A definição ponto-a-ponto dela é: ℎ3 = 0 ∈ [0,2) − 2 ∈ [2,3) 4 − ∈ [3,4) 0 ∈ [4,5]
24. O programa que desenha as “hat functions”
25. A continuação do programa.
26. Aqui estão todos os elementos da base. hat(0) hat(3) hat(2) hat(1) hat(4) hat(5)
27. Aspecto fundamental e importantíssimo: ℒ( , ) é um subespaço de , de dimensão finita + 1. É essa característica que permite computarmos aproximações para equações diferenciais ordinárias e parciais através do método dos elementos finitos.
28. Agora passaremos a examinar aproximações quadráticas por partes.
29. , é o subespaço de , constituído pelas funções que são quadráticas em cada par consecutivo de sub-intervalo de uma partição [, ] = { = 0 < 1 < ⋯ < = } do intervalo [, ] – os elementos finitos quadráticos. Anotaremos o espaço de funções quadráticas por partes por ( , ).
30. Atenção Surfista: Como necessitamos de pares de subintervalos consecutivos, o número N da partição , obrigatoriamente será ímpar.
31. Para enfatizar o uso de polinomiais de grau ≤ 2 usarei um ℎ −1 , , +1 , −1 , , +1 em cada três pontos sucessivos −1 , , +1 , = 1, … , − 1 (pares de subintervalos) da partição [, ] = { = 0 < 1 < ⋯ < = } de , .
32. Pintarei cada polinomial de grau ≤ 2 com uma cor diferente, para ficar clara a ideia de “por partes”.
33. O programa que faz o gráfico das interpoladoras quadráticas. Marquei onde usamos a KroghInterpolator( ).
34. Usei o mesmo programa que chama a rotina interp1d( ) da scipy.interpolate mas agora para desenhar uma função quadrática por partes em cada subintervalo da partição. A única diferença foi no parâmetro kind.
35. Observem a grande melhoria na aproximação funções quadráticos com relação à brincadeira de trocar um gigante por vários anões. Incrível, é a mesma função do leão!
36. O programa da interpolação quadrática por partes. Ele é uma pequena modificação do anterior (o colorido).
37. A continuação do programa.
38. Você sabe porque o chamei aqui, Mr. Charlie Chaplin? Sei sim, Mestre. Para mostrar meu chapéu coco!
39. Eu explico, Surfista. Chapéus de bruxa são pontudos e retos, mas chapéus coco são arredondados – como parábolas, polinomiais de grau 2. E dá para explicar porque, Mr. Chaplin?
40. Saquei Mestre! As funções básicas agora serão parábolas com abas, como chapéus coco. 2 2 1 1 Ótimo, mas tirou só meio-certo, Surfista!
41. Vou acordar este mexicano que está dormindo. Preciso do chapéu dele! Mestra, não faça isto, é o Mestre descansando!
42. É que além dos chapéus-côco, vamos precisar também de “sombreros” mexicanos pontudos! Porque uma base do espaço das funções quadráticas por partes é constituída por chapéus-côco e “sombreros” mexicanos. Vejam nas próximas transparências.
43. Veja o gráfico da “chapéu-coco” nº 3
44. Zzz..., “es el sombrero” mexicano nº4
45. Agora vou mostrar uma base global para , . Usarei 4 pares de subintervalos. Portanto = 2 × 4 + 1 = 9, a dimensão de , . Admirem as funções básicas Loirinhas e Surfistas!
46. Todos os 5 chapéus mexicanos
47. E todos os 4 chapéus-côco:
48. O programa que mostrou as funções básicas ().
49. Continuação.
50. O final do programa.
51. Além da interp1d( ), na scipy.interpolate temos as funções PPoly( ) e BPoly( ) para efetuar interpolação polinomial por partes.
52. Na SciPy temos ainda a PPoly Também assunto da próxima aula.
53. Na SciPy temos as polinomiais de Berstein: Assunto da próxima aula.
54. O resultado de Bernstein.
55. Tchau, até a próxima aula!