ok_2__CalcNum_-_O_quê__porque_e_como.pdf

Transcript

1. Cálculo Numérico: O que, porque e como! Prof. Paulo R. G. Bordoni LNCC
2. Indo direto ao ponto: O que é Cálculo Numérico? Cálculo Numérico É um nome, composto por um substantivo e um adjetivo qualificador.
3. E computadores: o instrumento para lidar com eles. A luneta moderna! Shshsh !!! Números
4. Loirinha, eis a resposta de um papa no assunto:
5. algoritmos problemas matemática estudo resolução contínuo Análise Numérica Repetindo e dissecando: É o estudo de algoritmos para os problemas da matemática do contínuo. Sim, mas o que é matemática do contínuo?
6. Continuidade tem a ver com proximidade, que tem a ver com medir distância. Com trenas, réguas, paquímetros, microscópios, ...
7. Sim Filósofo. E com desigualdades do tipo − < , que garantem a proximidade entre e y. Claro, quanto menor o valor de épsilon mais próximo estará de . Imagine = 10−3 = 0.001, por exemplo.
8. O conceito de continuidade é tão importante em Cálculo Numérico que eu e o Mestre colocamos trajes a rigor para falar dela! A ideia é a seguinte: Dado um número ∈ ℝ, para qualquer precisão > 0, existem números ∈ ℝ tais que − < .
9. Qualquer valor de ? Tipo = 10−150 ?
10. Qualquer é a liberdade total. Inclusive valores muitos menores! Sim Loirinhas e Surfistas, vocês não conseguem separar números reais.
11. Essa propriedade é a maior abstração da Matemática. Ela é descrita como o “continuum” (do latim) dos números reais. Surfistas e Loirinhas, para conhecer mais sobre o assunto, leiam os textos indicados a seguir pelo Mestre.
12. O primeiro dos textos é:
13. O segundo:
14. E o último
15. Vejam a cara do site:
16. Nessas leituras vocês serão apresentados à polêmica histórica: Comensuráveis X Incomensuráveis E às suas questões típicas: Obter um quadrado de lado comensurável tal que Área quadrado = Área(círculo) ℓ2 =Área( ) = Área( )= 2 com ℓ ∈ ℚ
17. Sim, até a Idade Média, existiam os números - os comensuráveis e as medidas (comprimento, área e volume), como o tamanho da diagonal de um quadrado de lado 1 – os incomensuráveis. 1 1 0 2 E haviam pontos na reta que não podiam ser descritos por nenhum número!
18. Ok, entendi claramente a ideia da continuidade do conjunto ℝ dos números reais. Eu também, inclusive os aspectos históricos. Mas e a matemática do contínuo?
19. Em outras palavras, o cálculo de derivadas e integrais que aprendemos nos Cálculos I, II, ... Ela reside no Cálculo Diferencial e Integral, que envolve processos limite de números reais.
20. Vou sofisticar minha pergunta inicial: O que o Cálculo Numérico acrescenta aos Cálculos I, II, ... ? Lidar com a realidade: Aquelas respostas que a Engenharia exige e você não consegue obter com os Cálculos.
21. Computador: A luneta moderna! Números e computadores para lidar com eles.
22. Um defeito inacreditável: Computadores não operam com incomensuráveis. Uma luneta defeituosa!
23. Eu te perdoo porque você não sabe o que fala! Seu computador é limitado, como todos os outros! Que absurdo Mestra, o seu computador é que deve ter defeitos. O meu tem 1 de HD, 64 de RAM (rapidíssimo) e opera com números de ponto flutuante tipo . Poderosíssimo!
24. Ensine ao Surfista, Galileu. Um disco rígido de 1 armazena exatamente 1012 . Uma quantidade enorme, porém finita de bytes. Em contrapartida o intervalo [0,1] possui uma quantidade infinita, um continuum de pontos.
25. Dê outros detalhes ao menino Loirinho, Sherlock. Números de ponto flutuante tipo possuem 128 ao todo, com 112 (casas binárias) de precisão, o que corresponde a aproximadamente 33 de precisão.
26. Então, números reais escritos com 33 casas de precisão. Uma precisão enorme! Pobre garoto analfabeto! Não são números reais, são frações com 33 até casas decimais de precisão.
27. Agora, vamos visitar, rapidamente, os tópicos da definição do Trefethen de Análise Numérica.
28. Recordando a definição do Trefethen: O estudo de algoritmos para resolução de problemas da matemática Do contínuo Análise Numérica é
29. Denuncio o Bordoni e seus seguidores perante a Igreja: o nome da disciplina é Cálculo Numérico, não Análise Numérica.
30. O Torquinho tem razão Mestres, eu me inscrevi na disciplina Cálculo Numérico. Vou mudar de turma! Cuidado Surfista, o Torquemada quer te confundir. Quer dividir para conquistar!
31. Começaremos buscando um primeiro entendimento sobre o que é problema.
32. Professor, como eu faço para resolver problemas? Ah, se houvesse uma regra geral... Mestres chineses dizem que você tem que atingir o alvo!
33. G. Polya contribuiu fantasticamente para a compreensão do conceito.
34. A arte de resolver problemas
35. Polya dedicou-se a entender, explicar e ensinar a arte de resolver problemas.
36. Mestre Polya nos ensinou que os ingredientes essenciais de um problema são os dados, a condição e os resultados. Mas o estudo de aprofundado de problema será assunto da próxima aula.
37. Agora, uma visão rápida sobre o conceito algoritmo.
38. Sim Mestra, o que é um algoritmo? Grosseiramente: algo como uma receita de bolo. Na próxima aula, vamos nos aprofundar nesse conceito.
39. Esta resposta é pobre ! A Mestra simplificou demais ! Algoritmo é um dos conceitos mais fundamentais em Computação.
40. Allan M Turing 1912-1954 Nesse artigo Turing apresenta sua forma de entender um algoritmo. Ela passou a ser referida como “Máquina de Turing”.
41. Algoritmo é uma descrição, passo a passo, para resolvermos um problema, Loirinha. O estudo de algoritmos também será assunto de uma aula vindoura. Aguardem!
42. Finalmente, adiantaremos algumas ideias sobre a matemática do contínuo, que inclui os Cálculos I, II, ...
43. E o objeto de estudo do Cálculo Diferencial e Integral são as funções. Em nosso curso funções serão tratadas como deusas do Olimpo – porque realmente são.
44. Resultados Função Dados Uma função é algo que recebe dados e fornece resultados, Loirinha. O estudo de funções está associado ao de problemas e algoritmos. Também será objeto das próximas aulas.
45. Nem sempre, algumas vezes através de algoritmos permitem descrever o que uma função produz. Funções são descritas por fórmulas.
46. Funções podem (ou não) possuir qualidades. Sim, elas podem ser contínuas ou, mais que isso, podem ser suaves. Essas qualidades serão analisadas nas próximas aulas.
47. A suavidade envolve a derivada, dada também por um processo limite: () = lim ℎ→0 + ℎ − () ℎ . A continuidade de uma função : (, ) → ℝ num ponto 0 ∈ (, ) envolve um processo limite: lim →0 = (0 )
48. Algoritmos permitirão realizarmos na prática (de Engenharia ou Física) esses processos limite. O cálculo velocidades e acelerações. E a explicar, por exemplo, porque um paraquedas funciona. E impede o paraquedista de se arrebentar ao atingir o solo.
49. A proposta do Cálculo Numérico é ir além dos Cálculos! Repetindo, lidar com a realidade: Obter aquelas respostas que a Engenharia exige e você não consegue com os Cálculos.
50. A proposta do Cálculo Numérico é ir além dos Cálculos! Repetindo, lidar com a realidade: Obter aquelas respostas que a Engenharia exige e você não consegue com os Cálculos.
51. Aproximar: Um verbo fundamental em Cálculo Numérico.
52. O verbo aproximar pressupõe a possibilidade de medir distâncias para calcular o erro na aproximação.
53. Estudaremos métodos numéricos para achar raízes aproximadas de equações. Estudaremos o famoso método de Newton- Raphson.
54. Aprenderemos como aproximar derivadas por diferenças finitas. Usaremos isso para resolver problemas de valor inicial para equações diferenciais ordinárias.
55. Aprenderemos como aproximar uma integral definida pela regra trapezoidal. Ou pela regra de Simpson, que dá mais precisão.
56. Podemos medir o erro absoluto ou o erro relativo. Porque essa distinção, Sherlock?
57. Claro Galileu, nesse caso, o que importa é medir o erro relativo (percentual) e não o erro absoluto. Ora Surfista, para dimensões atômicas um erro de 1 mm é gigantesco, mas absolutamente desprezível para medir o erro no tamanho de um tijolo!
58. Mas então, quando eu usarei o erro absoluto? Ora minha filha, para comparar mensurações envolvendo o mesmo fenômeno, nas quais você conhece a ordem de grandeza das coisas envolvidas.
59. Loirinha, suponha que ∗ é uma aproximação para uma grandeza . O erro absoluto é definido por = − ∗ Já o erro relativo (ou percentual) é definido por = − ∗ , para ≠ 0.
60. Discretização: É um outro conceito fundamental em Cálculo Numérico.
61. Discretizar. É o verbo que que define o ato de passar do infinito contínuo ao contável (finito ou infinito enumerável) Um conjunto é enumerável quando puder ser colocado em correspondência biunívoca com o conjunto dos números naturais ℕ.
62. Aprenderemos técnicas de discretização de funções por interpolação. De imediato, usaremos isso para traçar gráficos de funções com a Matplotlib.
63. Veremos que o formato single do padrão IEEE 754 estabelece uma discretização do conjunto dos números reais. E que o formato double estabelece outra discretização mais fina.
64. Single, double, quad, padrão IEEE? Calma, minha filha! Tudo no seu tempo.
65. O computador será nossa ferramenta de trabalho.
66. Vamos usar Python para programar. Porquê Python e não C, C++, Fortran ou Java?
67. Porque Python é mais fácil de usar, porque é ensinado em Computação I na UFRJ e porque é poderosa. Mas principalmente porque possui muitas bibliotecas especializadas em Cálculo Numérico.
68. Mestre, além da linguagens citadas pela Loirinha, poderíamos trabalhar com o Maple, o Mathematica ou até o MatLab. São muito mais amigáveis! Diga lá porque não, Sherlock!
69. Por quê Sherlock? Eles são tão mais fáceis de usar! Um dos motivos é que Python é um “software livre” e grátis. Um outro, talvez o essencial, é que não se faz ciência com “software” comercial.
70. Você entende o que está por trás da expressão “uma caixa preta” Loirinha? Bem, eu sei Mestra, já ouvi falar. Significa que não conseguimos acessar nem modificar o código do “software”. Isso nos impede acrescentar aspectos que necessitamos ao pacote, posto que ele é fechado. Os aplicativos do Microsoft Office são um exemplo!
71. Bem, vou indicar onde encontrar o Maple, o Mathematica e o Matlab. Ok Professor, estamos numa democracia!
72. Este é o site do Maple.
73. Este é o site do Mathematica.
74. http://www.mathworks.com/products/matlab/ Este é o site do Matlab.
75. Mas verá. Usaremos os pacotes NumPy, SciPy e MatPlotLib que lhe dão superpoderes. É a Comunidade de Software Livre em ação. Mestre, não vi nada parecido com MatLab, Maple ou Mathematica no Python.
76. Mas não existem outros “softwares” livres que fazem o mesmo? Sim, nas próximas transparências, vou mostrar onde buscá-los.
77. É para Linux.
78. Temos o Gnuplot no Python(x,y)
79. Um Francês.
80. Agora vamos abrir a nossa caixa ferramentas.
81. Ferramentas... Com a luneta descobri crateras na Lua, quatro luas de Júpiter e as manchas solares. Minha metade Aristóteles não dispunha de ferramentas apropriadas e criei uma visão teórica da mãe natureza repleta de erros, consagrados pelos interesses da Igreja!
82. A Terra como centro do universo! Com a luneta descobri e desenhei crateras da Lua e luas em Júpiter!
83. Mestres, sigam o velho Galí. Ofereçam um curso prático e não uma montanha de teoria! Muita calma nessa hora, Surfista. Vamos pagar para ver...
84. Sim colega! E Python(x,y) ou Anaconda, são aplicativos que já trazem esses módulos bem embalados. “Mamão com açúcar“ jovens! É isso aí, Surfista! Trabalharemos com os módulos NumPy, SciPy e MatPlotLib.
85. Ferramentas... Python(x,y) e Anaconda são as lunetas de Cálculo numérico. Muito cuidado com cursos oferecidos por certa Igrejas de Cálculo numérico. Serpentes são criaturas do mal. Inquisição para todos os mestres que usarem Python(x,y) ou Anaconda. Devem ser queimados vivos!
86. O site de Python(x,y) e a seta indicando download. Clique nela!
87. Agora escolha um desses locais para baixar e seja feliz!
88. O processo de instalação é padrão. Eu optei por instalar todas as componentes, faça o mesmo! Logo aqui!
89. Essa é a última janela do processo de instalação. Depois abri o Python(x,y).
90. Esse é o site de Anaconda – a outra serpente a instalar.
91. Vejam, carreguei a Spyder tanto com Anaconda quanto com Python(x,y). Essa escolha é sua!
92. Loirinha, se Cálculo já é difícil, imagine com Computação. É cara. Vamos ter que estudar muito. Muito mesmo! Precisaremos fazer muitos exercícios!
93. A capa da 8ª edição de um bom livro para estudar e acompanhar nosso curso. Um enfoque mais matemático. Concordo plenamente com você, Loirinha! 2008
94. Outro livro, excelente, para estudar e acompanhar nosso curso, a capa é da 5ª edição. Um enfoque mais voltado para cursos de graduação em engenharia. Já vi que ambos estão repletos de exercícios!
95. 2012 Este livro é uma versão com menos teoria que o anterior, mas muitos programas com MatLab.
96. Tchau, até a próxima aula!