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ok_2__CalcNum_-_O_quê__porque_e_como.pdf

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Paulo Bordoni

March 15, 2019
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  1. Indo direto ao ponto: O que é Cálculo Numérico? Cálculo

    Numérico É um nome, composto por um substantivo e um adjetivo qualificador.
  2. algoritmos problemas matemática estudo resolução contínuo Análise Numérica Repetindo e

    dissecando: É o estudo de algoritmos para os problemas da matemática do contínuo. Sim, mas o que é matemática do contínuo?
  3. Continuidade tem a ver com proximidade, que tem a ver

    com medir distância. Com trenas, réguas, paquímetros, microscópios, ...
  4. Sim Filósofo. E com desigualdades do tipo − < ,

    que garantem a proximidade entre e y. Claro, quanto menor o valor de épsilon mais próximo estará de . Imagine = 10−3 = 0.001, por exemplo.
  5. O conceito de continuidade é tão importante em Cálculo Numérico

    que eu e o Mestre colocamos trajes a rigor para falar dela! A ideia é a seguinte: Dado um número ∈ ℝ, para qualquer precisão > 0, existem números ∈ ℝ tais que − < .
  6. Qualquer é a liberdade total. Inclusive valores muitos menores! Sim

    Loirinhas e Surfistas, vocês não conseguem separar números reais.
  7. Essa propriedade é a maior abstração da Matemática. Ela é

    descrita como o “continuum” (do latim) dos números reais. Surfistas e Loirinhas, para conhecer mais sobre o assunto, leiam os textos indicados a seguir pelo Mestre.
  8. Nessas leituras vocês serão apresentados à polêmica histórica: Comensuráveis X

    Incomensuráveis E às suas questões típicas: Obter um quadrado de lado comensurável tal que Área quadrado = Área(círculo) ℓ2 =Área( ) = Área( )= 2 com ℓ ∈ ℚ
  9. Sim, até a Idade Média, existiam os números - os

    comensuráveis e as medidas (comprimento, área e volume), como o tamanho da diagonal de um quadrado de lado 1 – os incomensuráveis. 1 1 0 2 E haviam pontos na reta que não podiam ser descritos por nenhum número!
  10. Ok, entendi claramente a ideia da continuidade do conjunto ℝ

    dos números reais. Eu também, inclusive os aspectos históricos. Mas e a matemática do contínuo?
  11. Em outras palavras, o cálculo de derivadas e integrais que

    aprendemos nos Cálculos I, II, ... Ela reside no Cálculo Diferencial e Integral, que envolve processos limite de números reais.
  12. Vou sofisticar minha pergunta inicial: O que o Cálculo Numérico

    acrescenta aos Cálculos I, II, ... ? Lidar com a realidade: Aquelas respostas que a Engenharia exige e você não consegue obter com os Cálculos.
  13. Eu te perdoo porque você não sabe o que fala!

    Seu computador é limitado, como todos os outros! Que absurdo Mestra, o seu computador é que deve ter defeitos. O meu tem 1 de HD, 64 de RAM (rapidíssimo) e opera com números de ponto flutuante tipo . Poderosíssimo!
  14. Ensine ao Surfista, Galileu. Um disco rígido de 1 armazena

    exatamente 1012 . Uma quantidade enorme, porém finita de bytes. Em contrapartida o intervalo [0,1] possui uma quantidade infinita, um continuum de pontos.
  15. Dê outros detalhes ao menino Loirinho, Sherlock. Números de ponto

    flutuante tipo possuem 128 ao todo, com 112 (casas binárias) de precisão, o que corresponde a aproximadamente 33 de precisão.
  16. Então, números reais escritos com 33 casas de precisão. Uma

    precisão enorme! Pobre garoto analfabeto! Não são números reais, são frações com 33 até casas decimais de precisão.
  17. Recordando a definição do Trefethen: O estudo de algoritmos para

    resolução de problemas da matemática Do contínuo Análise Numérica é
  18. Denuncio o Bordoni e seus seguidores perante a Igreja: o

    nome da disciplina é Cálculo Numérico, não Análise Numérica.
  19. O Torquinho tem razão Mestres, eu me inscrevi na disciplina

    Cálculo Numérico. Vou mudar de turma! Cuidado Surfista, o Torquemada quer te confundir. Quer dividir para conquistar!
  20. Professor, como eu faço para resolver problemas? Ah, se houvesse

    uma regra geral... Mestres chineses dizem que você tem que atingir o alvo!
  21. Mestre Polya nos ensinou que os ingredientes essenciais de um

    problema são os dados, a condição e os resultados. Mas o estudo de aprofundado de problema será assunto da próxima aula.
  22. Sim Mestra, o que é um algoritmo? Grosseiramente: algo como

    uma receita de bolo. Na próxima aula, vamos nos aprofundar nesse conceito.
  23. Esta resposta é pobre ! A Mestra simplificou demais !

    Algoritmo é um dos conceitos mais fundamentais em Computação.
  24. Allan M Turing 1912-1954 Nesse artigo Turing apresenta sua forma

    de entender um algoritmo. Ela passou a ser referida como “Máquina de Turing”.
  25. Algoritmo é uma descrição, passo a passo, para resolvermos um

    problema, Loirinha. O estudo de algoritmos também será assunto de uma aula vindoura. Aguardem!
  26. E o objeto de estudo do Cálculo Diferencial e Integral

    são as funções. Em nosso curso funções serão tratadas como deusas do Olimpo – porque realmente são.
  27. Resultados Função Dados Uma função é algo que recebe dados

    e fornece resultados, Loirinha. O estudo de funções está associado ao de problemas e algoritmos. Também será objeto das próximas aulas.
  28. Nem sempre, algumas vezes através de algoritmos permitem descrever o

    que uma função produz. Funções são descritas por fórmulas.
  29. Funções podem (ou não) possuir qualidades. Sim, elas podem ser

    contínuas ou, mais que isso, podem ser suaves. Essas qualidades serão analisadas nas próximas aulas.
  30. A suavidade envolve a derivada, dada também por um processo

    limite: () = lim ℎ→0 + ℎ − () ℎ . A continuidade de uma função : (, ) → ℝ num ponto 0 ∈ (, ) envolve um processo limite: lim →0 = (0 )
  31. Algoritmos permitirão realizarmos na prática (de Engenharia ou Física) esses

    processos limite. O cálculo velocidades e acelerações. E a explicar, por exemplo, porque um paraquedas funciona. E impede o paraquedista de se arrebentar ao atingir o solo.
  32. A proposta do Cálculo Numérico é ir além dos Cálculos!

    Repetindo, lidar com a realidade: Obter aquelas respostas que a Engenharia exige e você não consegue com os Cálculos.
  33. A proposta do Cálculo Numérico é ir além dos Cálculos!

    Repetindo, lidar com a realidade: Obter aquelas respostas que a Engenharia exige e você não consegue com os Cálculos.
  34. Aprenderemos como aproximar derivadas por diferenças finitas. Usaremos isso para

    resolver problemas de valor inicial para equações diferenciais ordinárias.
  35. Claro Galileu, nesse caso, o que importa é medir o

    erro relativo (percentual) e não o erro absoluto. Ora Surfista, para dimensões atômicas um erro de 1 mm é gigantesco, mas absolutamente desprezível para medir o erro no tamanho de um tijolo!
  36. Mas então, quando eu usarei o erro absoluto? Ora minha

    filha, para comparar mensurações envolvendo o mesmo fenômeno, nas quais você conhece a ordem de grandeza das coisas envolvidas.
  37. Loirinha, suponha que ∗ é uma aproximação para uma grandeza

    . O erro absoluto é definido por = − ∗ Já o erro relativo (ou percentual) é definido por = − ∗ , para ≠ 0.
  38. Discretizar. É o verbo que que define o ato de

    passar do infinito contínuo ao contável (finito ou infinito enumerável) Um conjunto é enumerável quando puder ser colocado em correspondência biunívoca com o conjunto dos números naturais ℕ.
  39. Aprenderemos técnicas de discretização de funções por interpolação. De imediato,

    usaremos isso para traçar gráficos de funções com a Matplotlib.
  40. Veremos que o formato single do padrão IEEE 754 estabelece

    uma discretização do conjunto dos números reais. E que o formato double estabelece outra discretização mais fina.
  41. Porque Python é mais fácil de usar, porque é ensinado

    em Computação I na UFRJ e porque é poderosa. Mas principalmente porque possui muitas bibliotecas especializadas em Cálculo Numérico.
  42. Mestre, além da linguagens citadas pela Loirinha, poderíamos trabalhar com

    o Maple, o Mathematica ou até o MatLab. São muito mais amigáveis! Diga lá porque não, Sherlock!
  43. Por quê Sherlock? Eles são tão mais fáceis de usar!

    Um dos motivos é que Python é um “software livre” e grátis. Um outro, talvez o essencial, é que não se faz ciência com “software” comercial.
  44. Você entende o que está por trás da expressão “uma

    caixa preta” Loirinha? Bem, eu sei Mestra, já ouvi falar. Significa que não conseguimos acessar nem modificar o código do “software”. Isso nos impede acrescentar aspectos que necessitamos ao pacote, posto que ele é fechado. Os aplicativos do Microsoft Office são um exemplo!
  45. Bem, vou indicar onde encontrar o Maple, o Mathematica e

    o Matlab. Ok Professor, estamos numa democracia!
  46. Mas verá. Usaremos os pacotes NumPy, SciPy e MatPlotLib que

    lhe dão superpoderes. É a Comunidade de Software Livre em ação. Mestre, não vi nada parecido com MatLab, Maple ou Mathematica no Python.
  47. Mas não existem outros “softwares” livres que fazem o mesmo?

    Sim, nas próximas transparências, vou mostrar onde buscá-los.
  48. Ferramentas... Com a luneta descobri crateras na Lua, quatro luas

    de Júpiter e as manchas solares. Minha metade Aristóteles não dispunha de ferramentas apropriadas e criei uma visão teórica da mãe natureza repleta de erros, consagrados pelos interesses da Igreja!
  49. A Terra como centro do universo! Com a luneta descobri

    e desenhei crateras da Lua e luas em Júpiter!
  50. Mestres, sigam o velho Galí. Ofereçam um curso prático e

    não uma montanha de teoria! Muita calma nessa hora, Surfista. Vamos pagar para ver...
  51. Sim colega! E Python(x,y) ou Anaconda, são aplicativos que já

    trazem esses módulos bem embalados. “Mamão com açúcar“ jovens! É isso aí, Surfista! Trabalharemos com os módulos NumPy, SciPy e MatPlotLib.
  52. Ferramentas... Python(x,y) e Anaconda são as lunetas de Cálculo numérico.

    Muito cuidado com cursos oferecidos por certa Igrejas de Cálculo numérico. Serpentes são criaturas do mal. Inquisição para todos os mestres que usarem Python(x,y) ou Anaconda. Devem ser queimados vivos!
  53. O processo de instalação é padrão. Eu optei por instalar

    todas as componentes, faça o mesmo! Logo aqui!
  54. Loirinha, se Cálculo já é difícil, imagine com Computação. É

    cara. Vamos ter que estudar muito. Muito mesmo! Precisaremos fazer muitos exercícios!
  55. A capa da 8ª edição de um bom livro para

    estudar e acompanhar nosso curso. Um enfoque mais matemático. Concordo plenamente com você, Loirinha! 2008
  56. Outro livro, excelente, para estudar e acompanhar nosso curso, a

    capa é da 5ª edição. Um enfoque mais voltado para cursos de graduação em engenharia. Já vi que ambos estão repletos de exercícios!
  57. 2012 Este livro é uma versão com menos teoria que

    o anterior, mas muitos programas com MatLab.