P1 online 2018-1 - 4ª questão

O texto da 4ª questão da P1 online.

Transcript

1. LNCC UFRJ 4ª questão da P1 online 2018-1 Prof. Paulo Bordoni
2. Esta é a 4ª questão da P1 online do 1º semestre 2018. Desculpem, mas não foi possível enviá-la ontem à noite, conforme prometi. Estarei ligadão no WatsApp do grupo das 19:00 h até as 22:00 h de hoje para dúvidas.
3. A 4ª questão envolverá a leitura (e gravação) de dados de (em) um arquivo de nome vetor . npy (veja “Introdução à SciPy”) algumas formatações desses dados para construir matrizes , , , etc. Envolverá também a criação vetores , , , etc e a solução de sistemas de equações lineares = , = , = , etc, construídos com essas matrizes e vetores.
4. Usando a função . . ( ) sorteiem um número inteiro positivo com 600 ≤ ≤ 1100. Em seguida gerem um vetor = de tamanho usando a função . . ( ). A partir desse vetor , construam um outro vetor multiplicando os elementos de por 100 e considerando dois dígitos decimais após a vírgula, usando np.around( ). Salvem esse vetor num arquivo de nome vetor . npy .
5. Obtenham as fatorações (sem pivotamento) e (com pivotamento) de . Em seguida construam três vetores , , compatíveis resolvam os seis sistemas lineares = , = e = (com a ) e ′ = , ′ = e ′ = (com a ) usando as duas fatorações. Calculem os resíduos Δ = − ′, Δ = − ′ e Δ = − ′ e expliquem as discrepâncias, se houverem. Leiam o arquivo vetor . npy e, usando float32 da NumPy, construam um vetor obtido a partir do vetor lido dividindo seus elementos por 5, agora considerando aproximações com seis casas decimais após a vírgula. Com esse novo vetor, construam a maior matriz quadrada × possível e batizem-na de .
6. Considerem o número inteiro obtido somando as letras dos nomes completos dos elementos de seu grupo e seja = . (/5). Seja o vetor construído com a 1ª metade do vetor , agora com apenas duas casas decimais após a vírgula. A partir de construam a maior matriz de banda com uma diagonal principal, sobre-diagonais e ′ = . (/2) sub-diagonais. Por exemplo, se = 16 então = . Τ 16. 5 = . 3,2 = 3 e ′ = . ( Τ 3. 2) = 2 . Portanto se possuir 635 elementos possuirá 317 elementos e teremos Τ 317 1 + 3 + 2 = Τ 317 6 = 52,8333 … . Logo o tamanho da diagonal da matriz de banda será 52 e possuirá 2704 = 52 × 52 elementos. Assim a 1ª sobre diagonal e a 1ª sub diagonal terão 51 elementos as 2ªs sobre e sub terão 50 e a 3ª sobre diagonal 49. Então o total de elementos não-nulos de será: 52 + 2 ∗ 51 + 2 ∗ 50 + 49 = 303
7. Bem simples! Construam a matriz pegando os 1ºs 52 elementos do vetor para a sua diagonal, os próximos 51 de para a 1ª sobre diagonal os 51 seguintes para a 1ª sub diagonal e assim por diante (alternando sobre e sub diagonais).
8. Finalmente, trabalhando com np.float32, construam um vetor com 52 elementos (o número de elementos da diagonal de ) e resolvam o sistema linear = da forma mais apropriada. Atenção Surfista apressado, uma escolha errada anula a questão!
9. A última parte da questão 4 envolve a criação de uma matriz simétrica e possivelmente positiva definida, a partir da matriz . A matriz será definida por = . Seja o vetor da transparência anterior. Resolva o sistema linear = usando a fatoração mais apropriada possível. Atenção Surfista apressado, novamente, uma escolha errada anula a questão!
10. Como eu sou uma Mestra muito boazinha, esta questão valerá 4,0 pontos. Claro que a nota máxima da prova continua sendo 10,0. O que passar de 10,0 na soma das 4 questões estará perdido !
11. Desejo a todos uma boa prova !