Raízes de equações

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1. Determinação de raízes de equações Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ Raízes de equações Prof. Paulo R. G. Bordoni
2. O número irracional 2 é o número ∈ ℝ para o qual 2 = 2. É, usando uma maquininha de calcular acho 2 = 1,414213562373095. E, elevando 1,414213562373095 ao quadrado, obtenho 2.
3. Pois é Loirinha, esse problema é um pouco mais difícil. E se eu quisesse calcular 3 2 ? Bem, aí eu uso Python:
4. Como o Surfista imagina que Python calcula 3 2 ?
5. Surfista, nossa proposta é mais ampla. Sim, pretendemos construir formas metódicas (algoritmos) para calcular = 2, 10, 3 2 , etc. Coisas que possamos usar em muitas outras situações.
6. 1. Escolher um número s ( p/ex. = 1.4 ); 2. Elevá-lo ao quadrado, obtendo s 2 ( 1.42 = 1.96 ); 3. Conferir o resultado, s 2, com 2 ( 1.96 < 2 ); 4. Se não estiver satisfeito, repetir os passos anteriores com uma escolha melhor de s ( p/ex. = 1.5 ). Pegando carona na resposta da Loirinha, uma forma de calcular 2 é ir conferindo o resultado: ... elevando 1,414213562373095 ao quadrado, obtenho 2.
7. E eu fico tentando até dar certo? 1.5 2.25 > 2 2 2 2 1.4 1.96 < 2 2 Bem, você não falhará se for cercando a resposta pelo seu efeito. Veja:
8. E porque você escolheu 1.45, Loirinha? Legal Mestre! Então 1.45 é melhor
9. 1.4 1.5 1.45 1.452 = 2.1025 1.42 = 1.96 1.52 = 2.25 Ora, porque 1.45 está na metade de 1.4 e 1.5: Valeu, Loirinha. É só ir repetindo o processo para 1.4 e 1.45, de olho no efeito!
10. 1.4 1.5 1.45 1.42 = 1.96 1.452 = 2.1025 1.4252 = 2,030625 Vejam! Já temos uma casa correta depois da vírgula no resultado!
11. N x x2 1 1.4 1.96 2 1.5 2.25 3 1.45 2.1025 4 1.425 2.030625 5 1.4125 1.99515625 6 1.41875 2.01285156 7 1.415625 2.0039941 ... ... ... 2 2.0 Podemos ir continuando, até ficarmos satisfeitos com o número de “casas decimais” corretas em x2. Eis a sequência dos 7 primeiros valores de x e x2 obtidos com esse processo.
12. • Começamos com 0 = 1.4 e 1 = 1.5, sabendo que 2 está entre os dois • Portanto para = 1 − 0 , tanto | 0 − 2 | < como | 1 − 2 | < • Em seguida dividimos o intervalo à metade com 2 e garantimos que 2 está numa das metades • Portanto | 2 − 2 | < /2 • Continuando o processo, garantimos (prove!) que | +1 − 2 | < /2 Mas e a precisão na aproximação para 2 ? Então Loirinho (...), nosso procedimento foi o seguinte:
13. Além de dar uma estimativa para o erro, essa última desigualdade garante, também, que a sequência 0 , 1 , 2 , ⋯ , , ⋯ converge para 2, isto é lim →∞ = 2. Sim Mestra, pois de | +1 − 2 | < 1/2 garantimos que lim →∞ | +1 − 2 | < lim →∞ 1/2 = 0
14. Mestra, sabemos que 210 = 1024. Assim, | 10+1 − 2 | < 1 210 = 1 1024 < 0.001, Isto garante que 11 aproxima 2 com erro menor que um milésimo. Sim. E qual será o valor de k para o qual garantimos uma aproximação com a precisão do Single, de 6~7 casas decimais corretas?
15. Bem jovens, para uma precisão de 7 casas decimais, precisamos garantir que | +1 − 2 | < 0.5 × 10−7. Sim Mestra, e como | +1 − 2 | < 1/2, basta garantirmos que 1/2 < 0.5 × 10−7. Resolvendo essa inequação obtemos k = 25.
16. Como? Ora, de 1/2 < 0.5 × 10−7, segue 107 < 2−1 e portanto 7 log 10 < log(2−1). Então − 1 0.301030 > 7 e assim k = 25.
17. Mas, e o detalhe das 7 casas decimais? Mestra, explique porque − ∗ < 0.5 −2 garante duas casas decimais de precisão após a vírgula.
18. Agora Loirinha, atente para escrito em decimal: = ⋯ 0 , 1 2 3 ⋯ Bem, eu já sei que = 0,5 e−2 é a mesma coisa que = 0,005.
19. Portanto ao truncar ∗ e também ao arredondá-lo obtemos o mesmo valor, . Se só tem duas casas após a vírgula, i. é, = ⋯ 0 , 1 2 então ∗ = ⋯ 0 , 1 2 com −0.005 < < 0.005. .
20. Mas, e se possuir 3 dígitos após a vírgula, poderão haver mudanças? Pense comigo Loirinha, para = 1,237 e ∗ = 1,241 temos − ∗ = −0.004. Ao truncá-los para duas casas após a vírgula obteremos = 1,23 e ∗ = 1,24, mas ao arredondá-los = ∗ = 1,24.
21. Jovens, vocês perceberam que acabamos de descrever, em detalhes, como resolver a equação 2 − 2 = 0.
22. Um problema importante em Computação Científica é a resolução de equações. É o que passaremos a estudar. No 2º grau aprendemos a resolver equações do 1º e do 2º grau. Nas quadráticas usávamos a fórmula de Bhaskara.
23. Sim querida, para > 0 e ≫ 4, o algoritmo da fórmula de Bhaskara, ± = (− ± 2 − 4 )/2, para calcular a raiz + da equação do 2º grau 2 + + = 0 é um caso de cancelamento catastrófico. Inclusive já vimos que o algoritmo de Bhaskara para calcular as raízes de uma equação do 2º grau pode ser instável.
24. Antes aprender a resolver equações, Mestres, respondam-me: O que é uma equação? Ah Loirinha, a fórmula de Bhaskara resolve a equação do 2º grau 2 + + = 0.
25. Surfista querido, ela é só um exemplo de equação. Sempre fiquei intrigada em saber o que é, de fato, uma equação. Sendo breve, uma equação como () = 0 é uma sentença aberta numa variável x .
26. Após o final dessa aula coloquei uma resposta mais detalhada sobre “que coisa é uma equação”. Ela nos reporta aos fundamentos da Lógica Matemática, que ferveram o final do século XIX e início do XX. Não deixem de ler!
27. Valores de x que tornam a sentença () = 0 verdadeira são raízes (soluções) da equação. Sim, 2 e − 2 tornam verdadeira a sentença 2 − 2 = 0.
28. Passaremos a analisar alguns métodos clássicos para a obtenção de soluções de equações. Os métodos clássicos mais conhecidos são o da bisseção, o de Newton-Raphson, o do ponto-fixo e algumas variantes deles.
29. Todos eles fazem parte de uma classe mais ampla de métodos, chamados métodos iterativos, que se aplicam aos mais diversos tipos de equações.
30. E pensar que a famosa fórmula de Bhaskara , que demoramos tanto tempo para aprender no 2º grau, só se aplica a equações do 2° grau, 2 + + = 0. Pois é, Surfista. Cada coisa a seu tempo, para colher é preciso plantar.
31. No século XVI matemáticos italianos como Cardano e Tartaglia investiram muito na obtenção de fórmulas para calcular raízes de equações de grau maior que dois.
32. Deve-se a P. Ruffini (1799) e N. H. Abel (1824), a prova do Teorema que hoje leva seus nomes: Para ≥ 5, não há uma fórmula geral, envolvendo os coeficientes da equação polinomial + ⋯ + 1 1 + 0 = 0 que permita calcular suas raízes, como no caso das equações de 1º e 2º graus.
33. Consideraremos equações já na forma padrão = 0, onde : , → ℝ é uma função contínua, calculável através da expressão = (). Vamos assumir que r é uma raiz dessa equação, isto é, que = 0 é uma sentença lógica verdadeira.
34. Um método iterativo para achar r envolve a criação de uma sequência , , , ⋯ , , ⋯ que converge para r, isto é lim →∞ = .
35. Ih, ferrou! Funções contínuas, sequências e limites. É o Cálculo nos atacando de novo! Pois é, vocês estão estudando Cálculo numérico!
36. Após o final dessa aula faço uma recordação dos conceitos de convergência e de limite de uma sequência. Faço questão que vocês leiam!
37. Na realidade, nos métodos iterativos, vamos achar aproximações r* para a raiz r. Em outras palavras acharemos números ∗ tais que − ∗ < para ε bem pequeno. A bem da verdade épsilons minúsculos, por exemplo = 10−7, 10−10, 10−15, etc.
38. A aproximação r* para a raiz r será obtida a partir da sequência , , , ⋯ , , ⋯ quando ela converge para r. Quando ela converge, para algum k suficientemente grande, teremos − < . Então escolhemos ∗ = .
39. Mestres, agora algo mais prático, por favor! Vamos começar refazendo o método da bisseção para o caso geral, uma equação na forma padrão = 0.
40. Onde : [, ] → ℝ é uma função calculável através da expressão () e é contínua em [a, b]. é o valor de f em . ()
41. () () () Pelo Teorema do Valor Intermediário, se f possui sinais contrários nos extremos a e b então existe pelo menos um ponto (, ) tal que = 0. Dito de outra forma, a equação = 0 possui pelo menos uma raiz em (a, b). Num ponto , () poderá ser positiva, negativa ou nula:
42. = = Como 1º passo do processo, definimos o extremo esquerdo fazendo ↤ (leia: receber a) e o extremo direito fazendo ↤ . Descoberto um intervalo (, ) no qual f possui sinais contrários, podemos começar o processo iterativo. • Em programação: ↤ • Em matemática: =
43. O 2º passo é calcular o ponto médio do intervalo, ↤ ( + )/2. O 3º passo é calcular calcular ( ) e compará-lo com ( ). ( ) ( )
44. São três as possibilidades: i. Se × = 0, a raiz já é . é, = . () ii iii ii. Senão, se × ( ) < 0, a raiz r está na metade da esquerda. Nesse caso o novo será (i. é, ↤ ). iii. Caso contrário, a raiz r está na metade da direita. Nesse caso ↤ ( passa a ser ).
45. No caso i, encerramos o processo, informando: A raiz é = . Nos outros dois casos, precisamos testar a precisão para decidir: A. Se | − | < e < , então colocamos ∗ ↤ e encerramos; B. Senão, retornamos ao 2º passo para mais uma iteração.
46. São duas condições de parada para anunciar ∗: • Proximidade da raiz: | − | < • Anulação aproximada do valor da função: < Um lembrete: não adianta pedir maior precisão que a “máquina” pode fornecer.
47. Esta é a função que implementa o método da bisseção. Assinalei em vermelho as condições de parada.
48. O programa é para uma equação genérica () = 0. Os dados são: • Domínio de f • Expressão de f • Máximo de iterações • O limite para o erro Dados Chamada da função Resultados Gráfico
49. Aqui testamos para achar 2, com a equação 2 − 2 = 0.
50. Agora vamos obter as raízes (se houver alguma) da equação 33 − 52 + 2 = 0 E como começamos Mestre? Não tenho a mínima ideia do lugar onde estão as raízes dessa equação!
51. Esse é um bom primeiro passo, meu Surfista! Bem Loirinha, uma ideia é subdividir um intervalo grande em pedacinhos e verificar se há variação de sinal nos pedacinhos. a b
52. Fiz uma função troca_sinal( ) para indicar os sub-intervalos:
53. Aqui estou chamando a troca_sinal( ) para a função = 33 − 52 + 2. Primeiro chamei com 50 sub-intervalos e depois repetí com 100. Minha conclusão é que ela só tem uma raiz real.
54. É, você só localizou uma raiz real. Entretanto, pela teoria, toda polinomial de grau 3 tem 3 raízes reais ou complexas. Pode ser que as outras duas sejam complexas conjugadas. Será que sua busca está certa?
55. Os resultados do método da bisseção, feito pelo Mestre, para a equação 33 − 52 + 2 = 0 e 4 casas após a vírgula, no intervalo [−1.6, −0.5].
56. Bem jovens, uma outra possibilidade é examinar o gráfico da função. O Professor fez um programa com o MatPlotLib que gera o gráfico de uma função num intervalo. Surfista, fiquei intrigada com a possibilidade de existirem mais raízes reais para aquela equação polinomial de grau 3. Como poderemos decidir?
57. Eis meu programa:
58. Observem o detalhe da utilização da função eval( ), uma função de Python, que transforma uma string num código executável.
59. Testando a função graf_func( ) com = 2 − 2.
60. Agora vamos utilizar a função construída pelo Professor para localizar as raízes da equação 33 – 52 + 2 = 0 e tirar a dúvida da Loirinha!
61. Vou mostrar apenas uma vez como chamar a função graf_func( ) para desenhar o gráfico da função () = 33 – 52 + 2. Depois é igual.
62. Obtivemos este gráfico. Dele não concluo nada! Comece observando a diferença enorme entre as escalas horizontal e vertical.
63. Olhando para o gráfico, concluímos que não existem raízes fora do intervalo [-10. , 10.] É verdade Mestre. Vou traçar o gráfico nesse intervalo [-10. , 10.]
64. A diferença entre as escalas ainda é muito grande. Vejam! Reduza para o intervalo [-5. , 5.]. Não existem raízes fora dele, Loirinha
65. Reduzi, Mestre. E podemos reduzir ainda mais. Vemos que não há raízes fora de [-2. , 2.].
66. Ok Mestre. Agora podemos afirmar que as raízes estão no intervalo [-1. , 1.5]. Vou conferir!
67. Puxa! O Surfista localizou a raiz negativa, mas perdeu as duas positivas! Vou examinar o intervalo [0.5 , 1.5] .
68. Agora vemos que uma das raízes positivas provavelmente é 1.0. A outra está entre 1.2 e 1.3.
69. 3 ∗ (1 ∗∗ 3) – 5 ∗ (1 ∗∗ 2) + 2 = 3 – 5 + 2 = 0 Substituindo e fazendo as contas, conferimos que 1.0 é, de fato, raiz da equação 33 – 52 + 2 = 0. Veja só:
70. Para a 3ªraiz apliquei o método da bisseção feito pelo Mestre, entre 1.2 e 1.3 e obtive:
71. Pois é, só quando usei meu programa para 150 subintervalos é que localizei todas as trocas de sinal...
72. Tchau, até a próxima aula!
73. Eis aqui a explicação mais detalhada sobre “que coisa é uma equação”.
74. Excelente sugestão, Filósofo. Vamos lá: A expressão = () descreve, através de uma série de frases, como calcular o valor de y para um valor escolhido de . Quem resume a descrição é f. É uma taquigrafia que a humanidade aprendeu a usar ao longo de sua evolução. Falar e escrever, com regras e significados, é o que distingue o “bicho homem” dos demais animais. Mestres, essa é uma chance de ouro para esclarecer aspectos fundamentais da Lógica Matemática!
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76. Leibnitz, nos 1.600, tentou formalizar uma linguagem universal para expressar as coisas lógicas da matemática. Mais tarde, nos 1.700, G. Boole formalizou o “cálculo proposicional”. Nós, filósofos gregos, lá pelos 400 a.C, aprimoramos, significativamente, a arte de pensar. Em particular Aristóteles criou a lógica: a noção de proposição lógica, com os valores verdadeiro/falso, o encadeamento delas com os silogismos, etc.
77. G. Frege revolucionou a lógica quando criou o, que é conhecido hoje como “cálculo de predicados”. Seus primeiros resultados foram publicados em 1.879, no livro Begriffsschrift (Conceitografia).
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79. Na sua Conceitografia, G. Frege, estabeleceu claramente conceitos como os de função e de variável lógica. A ideia de sentença aberta (), numa variável é dele. Ela não é nem verdadeira nem falsa. Porém quando substituímos por algum valor, podemos então decidir seu valor lógico. Por exemplo, se () ≡ ( 2 − 2 = 0 ) então 2 é verdadeira.
80. Observem que no cálculo de predicados, entramos no interior das sentenças, transformando-as em proposições lógicas ao instanciarmos suas variáveis. Isso permitiu tratarmos questões lógicas impossíveis de serem representadas por meio dos silogismos.
81. Uma outra forma de fazer isso é utilizando os quantificadores ∀, , ∃, (). Ao quantificarmos uma sentença aberta numa variável x, nós a transformamos numa proposição, que pode assumir então um dentre os dois valores lógicos: verdadeiro ou falso.
82. Se () é a sentença () ≡ ( 2 − 2 = 0 ) então ∃, () é verdadeira, ao passo que ∀, é falsa. Sim Mestre, ∃, () é verdadeira tanto para = 2 como para = − 2. Entretanto ∀, é falsa. Por exemplo, para = 1 temos 2 − 2 = −1 logo (1) é falsa.
83. Obrigado por sua pergunta e atenção, Loirinha. Mestre, pegue a batuta. Torno a perguntar, o que é uma equação?
84. Então Loirinha, de acordo com Frege, uma equação, na forma padrão, () = 0 é uma sentença aberta numa variável x. Aquele valor de x que a torna verdadeira, caso exista, é chamado de raiz (ou solução) da equação. Naturalmente, uma equação pode possuir mais de uma raiz. Obrigado Mestre!
85. Aqui está o resumo prometido sobre convergência e limites de sequências.
86. Lembrem-se, uma sequência ( ) converge para r, → , quando, e apenas quando, ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ tal que > ⟹ − < . Seu Sherlock, eu entendo inglês, mas detesto simbolês! Trate de explicar isto em detalhe!
87. Não fique triste Loirinha! Essa dificuldade com o simbolês não é só sua!
88. Minha jovem, a tradução mais saborosa que conheço para esse simbolês é: ∀ > 0 1º Para qualquer precisão escolhida, por minúscula que seja, p/ex. = 10−12 ∃ ∈ ℕ 2º A partir de um certo instante, N > ⟹ − < 3º Todos os elementos da sequência, depois do N, distarão menos que esse valor minúsculo de r.
89. Concordo Loirinha, mas como surfista eu sei que, depois que dominamos a 1ª onda, as outras só nos dão prazer! Sua tradução ajuda Mestra, mas é difícil.
90. r ( ) 0 1 2 A forma que eu tenho para visualizar que → é: para cada precisão escolhida > 0, a sequência toda, exceto um pedacinho (os N primeiros) fica dentro de uma “bola de raio entorno de r”. Repetindo: A sequência todinha, exceto alguns termos, está aqui!
91. Seu enfoque é incrível Sherlock! Para cada precisão escolhida, você quebra a sequência em dois grupos, um com infinitos termos e outro finito. E enfia o grupo infinito, todinho, numa caixa minúscula, de largura 2, envolta de r.
92. É, eu não me distraio com detalhes! Descubro tudo mantendo o foco no conceito. 0 1 2 r , >
93. Augustin-Louis Cauchy 21/08/1789 23/05/1857 Bem, eu aprendi tudo isto lendo o “Cours d’analyse”, de Cauchy, publicado em 1821...
94. Minha biografia resumida. Nasci 66 anos depois do “Cours d’analyse”, meu pai foi ...
95. Precisamos executar um milhão de vênias em homenagem ao Gottlob Frege por ter criado um linguajar com esse enorme poder expressar as coisas da matemática com tanta precisão e compacidade! E ao Augustin-Louis Cauchy pela clareza das definições épsilon-delta de limite e continuidade. E pro Sherlock também. O que mais gosto, nesse novo, é seu misto de sarcasmo com sagacidade.
96. Tchau mesmo, até a próxima aula!