[2026前期火５] 論理学（京都大学文学部 前期 第9回）「正規化の停止性——ヒドラゲームによる証明」

科学哲学科学史 (演習) 前期 第9回　論理学　（京都大学文学部・矢田部俊介）
「正規化の停止性——ヒドラゲームによる証明」
2026年6月16日（火）1645〜1815（予定）

Transcript

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21. ΞϑΟϯ࿦ཧɿͳͥʮߴʑ2ຊɾશ෦௿͍ʯ͔ ΞϑΟϯ࿦ཧʢॖ໿ͳ͠ʣŠŠήʔϜ͕៉ྷ Ծఆϥϕϧ u ͸ͪΐ͏Ͳ 1 ͔ॴ ⇒ π2 Λ୅ೖ͢Δͷ͸ 1 ͔ॴͷΈ ৽ detour ͷީิ͸ʮܧ͗໨ 2 ͔ॴʯ͚ͩɿ ্ଆܧ͗໨ ˠ ৽ๆͷ degree = deg(A) < d Լଆܧ͗໨ ˠ ৽ๆͷ degree = deg(B) < d d מΔ <d <d ߴʑ 2 ຊ ˠ ಄ͷຊ਺͸૿͑ͯ΋ʮߴ͞ʯ͸ඞͣԼ͕Δ ˠ είΞϕΫλ๏͕៉ྷʹػೳ͢Δʢୈ 5 ນʣ ॖ໿͋Γʢ࠷খ໋୊࿦ཧʣŠŠήʔϜ͕೉ ͍͠ Ծఆϥϕϧ u ͕ k ͔ॴʹग़ͯ͘Δ ⇒ π2 Λ k Օॴʹίϐʔ ৽ detour ͷީิɿ k Օॴͷ্ଆܧ͗໨ + 1 ͭͷԼଆܧ͗໨ = ࠷େ k + 1 ݸʢk ͸೚ҙʹେ͖͍ʂʣ ͞Βʹɿίϐʔͨ͠ π2 ͷதʹ detour ͕͋Ε͹ͦΕ΋ίϐʔ͞ΕΔ ⇒ ߴ͞ d Ҏ্ͷ಄͕૿͑͏Δ d מΔ d d−1 d−1 ແ੍ݶʂ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 21
22. ୈ4ນɿώυϥήʔϜͷϧʔϧ ώυϥήʔϜͷϧʔϧʢਖ਼ࣜʣ ঢ়ଶɿߴ͞෇͖಄ͷ༗ݶଟॏू߹ 1 खɿ޷͖ͳ಄Λ 1 ຊબΜͰמΔ ߴ͞ d ≥ 2ɿߴ͞ < d ͷ಄͕ߴʑ 2 ຊੜ͑Δ ʢ0ʙ2 ຊʀ্Լ 2 ͭͷܧ͗໨ͷൃՐ࣍ୈʣ ߴ͞ 1ɿԿ΋ੜ͑ͳ͍ ऴྃɿ಄͕શ෦ͳ͘ͳΕ͹উͪ ূ໌࿦ ↔ ώυϥήʔϜͷରԠ ূ໌࿦ ώυϥήʔϜ detour ͷๆʢdeg dʣ ಄ʢߴ͞ dʣ → ؐݩʢๆΛফ͢ʣ ಄Λ 1 ຊמΔ ৽ detourʢdeg < dʣ ৽಄ʢߴ͞ < dʣ ਖ਼نܗʢdetour ͳ͠ʣ ऴྃʢ಄ͳ͠ʣ ː 1.1 ͷྫɿ{2} → {1} ಑ମ 2 {2} מΔ ಑ମ 1 {1}ʢ1 ຊʣ ্ଆܧ͗໨ͷΈൃՐ ˠ ৽಄ 1 ຊʢߴ͞ 1ʣ Լଆܧ͗໨͸ෆൃՐ ࠷ѱέʔεɿ{d} → {d1 , d2 }ʢ2 ຊʣ d מΔ d1 d2 d1, d2 < d ʢ྆ܧ͗໨ൃՐʣ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 22
23. ୈ4ນɿϓϨΠ࣮ԋŠŠ {3} ελʔτ࠷ѱέʔε ࠷ѱέʔεͷखॱʢώυϥ͕ৗʹߴ͞ d−1 Λ 2 ຊੜ΍͢ʣ ख ঢ়ଶʢଟॏू߹ʣ מͬͨ಄ͷߴ͞ ಄ͷຊ਺ 0 {3} Š 1 1 {2, 2} 3 2 2 {2, 1, 1} 2ʢࠨʣ 3 3 {1, 1, 1, 1} 2ʢӈʣ 4 4 {1, 1, 1} 1 3 5 {1, 1} 1 2 6 {1} 1 1 7 {} 1 0 ऴྃʂ ؾ͖ͮ ಄ͷຊ਺͸ 1 → 2 → 3 → 4 ͱ૿͑ଓ͚Δ ͔͠͠ήʔϜ͸ 7 खͰऴΘͬͨ ຊ਺Λ਺͑Δ͚ͩͰ͸ऴΘΓ͕ݟ͑ͳ͍ ʢޱ಄ͷઆ໌͕ෆ׬શͩͬͨཧ༝ʣ ࠷ѱख਺͸ 2d − 1 ߴ͞ d ͷ಄ 1 ຊͷήʔϜͷ࠷ѱख਺ɿ d ࠷ѱख਺ 1 1Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 23
24. ώυϥ࣮گᶃɿߴ͞3ΛמΔͱ2ຊʹ૿͑Δ ಑ମ 3 ⾐ ॳظɿ{3}ʢ಄ 1 ຊʣ ୈ 1 ख ߴ͞ 3 ΛמΔ ಑ମ 2 ৽ੜ 2 ৽ੜ {2, 2}ʢ಄ 2 ຊʹ૿Ճʣ ؍࡯ɿ಄ͷຊ਺ vs ๆͷ࠷େ degree ؐݩલ ؐݩޙ ಄ͷຊ਺ 1 2ʢ૿͑ͨʂʣ ๆͷ࠷େ degree 3 2ʢݮͬͨʂʣ ʮຊ਺͕૿͑ͯ΋࠷େ degree ͸ඞͣԼ͕Δʯ ŠŠ͜Ε͕ఀࢭੑূ໌ͷݤɻ ূ໌࿦ͱͷରԠʢː 1.1 ࠷ѱέʔεʣ ๆ (A∧B)→Aʢdeg 3ʣΛ → ؐݩ ্ଆܧ͗໨ൃՐ ˠ ৽ๆ X∧Y ʢdeg 2ʣ Լଆܧ͗໨ൃՐ ˠ ৽ๆ Zʢdeg 2ʣ ྆ํൃՐ ˠ {3} → {2, 2}ʢࠓͷέʔεʣ ยํͷΈ ˠ {3} → {2}ʢː 1.1 ͷ࣮ࡍͷྫʣ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 24
25. ώυϥ࣮گᶄɿߴ͞2ΛמΔʢୈ2ɾ3खʣ ಑ମ 2 2 {2, 2} ୈ 2 ख ಑ମ 2 1 ৽ 1 ৽ {2, 1, 1} ୈ 3 ख ಑ମ 1 1 1 1 {1, 1, 1, 1}ʢ4 ຊʣ ͜͜·ͰͷਪҠ ख ঢ়ଶ ಄ͷຊ਺ ࠷େ degree 0 {3} 1 3 1 {2, 2} 2 2 2 {2, 1, 1} 3 2 3 {1, 1, 1, 1} 4ʢ࠷େʣ 1ʢ࠷খʣ ߴ͞ 1 ͷ಄͸ʮ؆୯ͳ಄ʯ ߴ͞ 1 ͷ಄Λמͬͯ΋ ৽͍͠಄͸Ұ੾ੜ͑ͳ͍ʂ ʢdegree 0 ͷ෦෼࿦ཧࣜ = ݪࢠࣜ ˠ ܧ͗໨͕ൃՐ͠ͳ͍ʣ ˠ 4 ຊͷߴ͞ 1 ಄Λ 1 ຊͣͭמΕ͹͓ΘΓ ˠ ࣍εϥΠυͰ֬ೝ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 25
26. ώυϥ࣮گᶅɿߴ͞1Λ૟আͯ͠ऴྃ 1 1 1 1 {1, 1, 1, 1}ʢୈ 4 खʣ 1 1 1 {1, 1, 1}ʢୈ 5 खʣ 1 1 {1, 1}ʢୈ 6 खʣ 1 {1}ʢୈ 7 खʣ ಄ͳ͠ʂ 㾎 {}ʢऴྃʂʣ ήʔϜશମͷৼΓฦΓʢ࠷ѱέʔεɿ{3} ε λʔτʣ ख ঢ়ଶ ಄ͷຊ਺ ࠷େ deg 0 {3} 1 3 1 {2, 2} 2 ˢ 2 ˣ 2 {2, 1, 1} 3 ˢ 2 3 {1, 1, 1, 1} 4 ˢ 1 ˣ 4–7 {1, 1, 1} → · · · → {} 3,2,1,0 ˣ 1 ͳͥऴΘΔͱݴ͑Δ͔ ʮ಄ͷຊ਺ʯ͸૿͕͑ͨɺ ࠷େ degree ͸ 3 ˠ 2 ˠ 1 ˠ 0 ͱ ݫີʹԼ͕Γଓ͚ͨɻ degree ͕ 0 ʹͳΕ͹ ಄͸Ұ੾૿͑ͳ͍ ˠ ༗ݶճͰऴྃ ࣍ɿ͜ͷ௚ײΛείΞϕΫλͰ ਺ֶతʹఆࣜԽ͢Δɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 26
27. ୈ5ນɿείΞϕΫ늊ࣙॻࣜॱংͰఀࢭΛࣔ͢ είΞϕΫλͷఆٛ ॳظঢ়ଶͷ࠷େߴ͞Λ D ͱ͢Δɻ ώυϥͷঢ়ଶΛ࣍ͷϕΫλͰද͢ɿ (cD , cD−1 , . . . , c2 , c1 ) ͜͜Ͱ cd = ߴ͞ d ͷ಄ͷຊ਺ɻ ː 4.2 ͷྫʢD = 3ʣ ɿ ঢ়ଶ είΞϕΫλ {3} (1, 0, 0) {2, 2} (0, 2, 0) {2, 1, 1} (0, 1, 2) {1, 1, 1, 1} (0, 0, 4) {1, 1, 1} (0, 0, 3) ิ୊ɿ1 ख͝ͱʹࣙॻࣜʹݫີʹݮΔ ߴ͞ d ͷ಄Λ 1 ຊמΔͱɿ cd ͕ 1 ݮΔ ci ʢi < dʣ͕͍͔ͭ͘૿͑Δ ࣙॻࣜॱংͰ͸ࠨͷܻ͕༏ઌɻ cd ͷҐஔ͸ cd−1 , . . . , c1 ΑΓࠨɻ ˠ cd ͕ 1 ݮΕ͹ɺ ӈͷܻ͕ͲΕ͚ͩ૿͑ͯ΋ ϕΫλશମ͸ࣙॻࣜʹখ͘͞ͳΔɻ ˠ είΞϕΫλ͸ຖखݫີʹݮগʂ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 27
28. ୈ5ນɿࣙॻࣜॱংʹ͸ແݶԼ߱ྻ͕ͳ͍ŠŠೋॏؼೲ๏ ิ୊ʢ੔ૅੑʣ (ND, ࣙॻࣜॱং) ʹ͸ ແݶʹԼ͕Γଓ͚Δྻ͸ଘࡏ͠ͳ͍ɻ ূ໌ɿD ʹ͍ͭͯͷؼೲ๏ D = 1ɿ ࣗવ਺ͷແݶԼ߱ྻ͸ଘࡏ͠ͳ͍ ʢࣗવ਺ͷ࠷খݪཧʣ✓ D → D + 1ʢؼೲஈ֊ʣ ɿ ແݶԼ߱ྻ v0 >lex v1 >lex · · · ͕͋Δͱ͢Δɻ ୈ 1 ੒෼ͷྻ͸୯ௐඇ૿Ճͳࣗવ਺ྻ ˠ ༗ݶճޙʹ஋ k Ͱ҆ఆ͢Δ ͦͷޙɿୈ 2ʙD + 1 ੒෼͕ ND Ͱ ː 4.2 ͷྫͰ֬ೝ είΞϕΫλͷਪҠʢD=3ʣ ɿ (1, 0, 0) >lex (0, 2, 0) >lex (0, 1, 2) >lex (0, 0, 4) >lex (0, 0, 3) >lex · · · >lex (0, 0, 0) શͯࣙॻࣜʹݫີʹԼ͕͍ͬͯΔɻ ແݶԼ߱ྻ͕ͳ͍͔Βɼ͜ͷྻ͸༗ݶͰ ऴΘΔɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 28
29. ୈ5ນɿఆཧŠŠఀࢭੑͱূ໌࿦΁ͷ࣋ͪؼΓ ఆཧʢΞϑΟϯ൛ώυϥήʔϜͷఀࢭੑʣ ͲͷΑ͏ͳखॱͰώυϥΛמͬͯ΋ɺ ώυϥήʔϜ͸༗ݶखͰඞͣऴΘΔɻ ূ໌ͷࠎ֨ ຖखɺείΞϕΫλ͕ࣙॻࣜʹ ݫີʹখ͘͞ͳΔʢิ୊ʣ (ND, lex) ʹແݶԼ߱ྻ͸ ͳ͍ʢิ୊ʣ Ώ͑ʹήʔϜ͸༗ݶखͰऴΘΔ □ ূ໌࿦΁ͷ࣋ͪؼΓʢܥʣ ܥʢڧਖ਼نԽఆཧɼ{→, ∧} ΞϑΟϯ࿦ཧʣ ΞϑΟϯ {→, ∧} ͷ೚ҙͷূ໌ π ʹରͯ͠ɺ Ͳͷॱ൪Ͱ detour Λআڈͯ͠΋ɺ ༗ݶεςοϓͰਖ਼نܗʹ౸ୡ͢Δɻ ূ໌ɿώυϥήʔϜͱͷରԠʢεϥΠυ 16ʣ + ώυϥͷఀࢭੑʢ্ͷఆཧʣ ޱ಄ͷ໿ଋͱͷ઀ଓ ୈ 8 ճ 17:51 ͷʮ٧·Γ͸ݮΔɾূ໌͸ॎʹ৳ͼ Δʯ͸ ਖ਼͍͠؍࡯͕ͩͬͨɼ ʮείΞϕΫλʯΛ࢖͏͜ͱͰ ྆ํͷಈ͖Λ 1 ͭͷॱংʹ·ͱΊ্͛ͨɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 29
30. ॖ໿͕͋Δ৔߹ŠŠٞ࿦่͕ΕΔཧ༝ ॖ໿͋Γͷ৔߹ ॖ໿نଇ͕͋Δͱ u ͕ෳ਺Օॴʹग़ͯ͘Δɻ → ؐݩ π1 [π2 /u] Λ࡞Δͱ͖ɿ π2 Λෳ਺Օॴʹίϐʔ͢Δඞཁ͕͋Δ ίϐʔઌͷ π2 ͷதʹ detour ͕͋Ε͹ ͦΕ΋શ෦ίϐʔ͞ΕΔ ߴ͞ d ͷ಄Λמͬͨͷʹ ߴ͞ d Ҏ্ͷ಄͕૿͑Δ͜ͱ͕͋Δʂ ˠ είΞϕΫλ͕ࣙॻࣜʹ૿͑Δ͜ͱ΋͋Δ ˠ ː 5.1 ͷূ໌่͕յ͢Δ ଧ։ࡦʢPrawitz ͷઓུʣ ऑਖ਼نԽʢ͋ΔखॱͰऴΘΔʣ͸ࣔͤΔɿ ʮҰ൪ߴ͍಄ͷ͏ͪɺҰ൪Լʢෳ੡ʹר͖ࠐ·Ε ͳ͍Ґஔʣͷ΋ͷ͚ͩΛמΔʯ ˠ ίϐʔ͞ΕΔͷ͸௿͍಄͚ͩ ˠ είΞϕΫλ͸ݮΔ ˠ ͜ͷઓུͰ͸ऴΘΔ ڧਖ਼نԽʢͲͷॱ൪Ͱ΋ʣ ॖ໿͋ΓͰʮͲͷॱ൪Ͱ΋ఀࢭ͢Δʯ = ڧਖ਼نԽͷূ໌ʹ͸ ωω Ҏ্ͷ௒ݶॱং਺͕ඞཁɻ ୈ 8 ճεϥΠυ 13ɾ15 ͷʮऑ/ڧͷ۠ผʯ͕͜͜Ͱ ֬ఆɻ ⾣ ΞϑΟϯ൛ͱຊՈ Kirby–Paris ώυϥͷൺֱ͸෇࿥ A2 ࢀর Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 30
31. ਖ਼نԽఆཧͷ஥ؒͨͪᶃŠŠऑɾڧਖ਼نԽʢલճ࠶ܝʣ ऑ͍ਖ਼نԽఆཧʢweak normalizationʣ ೚ҙͷূ໌ π ʹରͯ͠ɺ π ͔Βਖ਼نܗʹ౸ୡͰ͖Δ ؐݩྻ͕গͳ͘ͱ΋ 1 ͭଘࡏ͢Δɻ ʮ͏·͘΍Ε͹ਖ਼نܗʹ୧Γண͚Δʯ ˠ ॖ໿͋ΓͰ΋ Prawitz ઓུͰࣔͤΔɻ ڧ͍ਖ਼نԽఆཧʢstrong normalizationʣ ೚ҙͷূ໌ π ʹରͯ͠ɺ detour আڈΛͲͷॱ൪Ͱߦͬͯ΋ɺ ඞͣ༗ݶεςοϓͰਖ਼نܗʹ౸ୡ͢Δɻ ʮͲΜͳॱ൪Ͱ΍ͬͯ΋ඞͣऴΘΔʯ ࠓ೔ͷఆཧͱͷରԠ ʮࠓ೔ࣔͨ͜͠ͱʯ ɿ ΞϑΟϯ {→, ∧} Ͱڧਖ਼نԽ ʢώυϥʴείΞϕΫλʣ ॖ໿͋Γͷ৔߹͸ɿ ऑਖ਼نԽʢPrawitz ઓུʣ͸ࣔͤΔ ڧਖ਼نԽʹ͸௒ݶؼೲ๏͕ඞཁ ڧ͞ͷॱং ڧਖ਼نԽ ⇒ ऑਖ਼نԽ ʢٯ͸Ұൠʹ͸੒ཱ͠ͳ͍ʣ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 31
32. ਖ਼نԽఆཧͷ஥ؒͨͪᶄŠŠΧοτআڈఆཧʢલճ࠶ܝʣ ਪ݅ܭࢉʢsequent calculusʣ ࣗવԋ៷ͱ͸ผͷূ໌࿦ͷܗࣜԽɻ 1930 ೥୅ʹήϯπΣϯ͕ಋೖɻ ࣗવԋ៷ɿԾఆ͔Β݁࿦ΛੵΈ্͛Δ ਪ݅ܭࢉɿલ݅ʢલఏͷू߹ʣͱ ޙ݅ʢ݁࿦ͷू߹ʣΛʮ⊢ʯͰͭͳ͙ Χοτنଇ ਪ݅ܭࢉʹ͓͚Δʮத໋ؒ୊Λܦ༝͢Δਪ࿦ʯ ɿ Γ ⊢ A A, ∆ ⊢ C Γ, ∆ ⊢ C (cut) ࣗવԋ៷ͷ detour ʹରԠ͢Δɻ ήϯπΣϯͷΧοτআڈఆཧʢHauptsatzʣ ਪ݅ܭࢉʹ͓͍ͯɺ ΧοτنଇΛ࢖Θͣʹ ূ໌Ͱ͖Δ΋ͷ͸ɺ ΧοτΛ࢖ͬͯ΋ূ໌Ͱ͖Δɻ ʢ ʮΧοτ͸ূ໌ͷೳྗΛ૿΍͞ͳ͍ʯ ʣ ରԠؔ܎ ࣗવԋ៷ ਪ݅ܭࢉ detour Χοτʢcutʣ ਖ਼نԽ Χοτআڈ ਖ਼نԽఆཧ Hauptsatz Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 32
33. ਖ਼نԽఆཧͷ஥ؒͨͪᶅŠŠ෦෼࿦ཧࣜݪཧʢલճ࠶ܝʣ ਖ਼نԽ ˠ ෦෼࿦ཧࣜݪཧ ਖ਼نͳূ໌ʢdetour ͳ͠ʣͰ͸ɺ ূ໌ʹݱΕΔશͯͷ࿦ཧࣜ͸ ݁࿦·ͨ͸։͍ͨԾఆͷ෦෼࿦ཧࣜɻ ূ໌ͷϙΠϯτɿ ֤ؐݩͰʮๆʯͷ࿦ཧ͕ࣜফ͑Δ ਖ਼نܗͰ͸ʮๆʯ͕θϩ ༨ܭͳதؒ࿦ཧ͕ࣜଘࡏ͠ͳ͍ ˠ ෦෼࿦ཧࣜݪཧ͕ࣗಈతʹ੒ཱ ࠓ೔ূ໌ͨ͜͠ͱͷશମ૾ ೚ҙͷূ໌ π ݟఢඞࡴ ʢ༗ݶճʣ ਖ਼نͳূ໌ π′ ࣗಈతʹ ෦෼࿦ཧࣜݪཧ ݹయ࿦ཧͰ͸ʁ ݹయ࿦ཧʢഉத཯ΛؚΉʣͰ͸ ෦෼࿦ཧࣜݪཧ͕Ұൠʹ੒ཱ͠ͳ͍ɻ എཧ๏Ͱ༨ܭͳ࿦ཧ͕ࣜग़ͯ͘ΔͨΊɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 33
34. ਖ਼نԽఆཧͷҙຯŠŠδϥʔϧͷಎ࡯ʢલճ࠶ܝʣ ਖ਼نԽఆཧ͸ʮ୯ͳΔٕज़తศٓʯͰ͸ͳ͍ Jean-Yves Girardʢઢܗ࿦ཧͷ૑࢝ऀʣʹΑΕ͹ɺ ਖ਼نԽఆཧ͸࿦ཧʹͱͬͯຊ࣭తʹॏཁɻ ͳ͔ͥʁ ਖ਼نͳূ໌ ʹ ΧϊχΧϧͳূ໌ ࿦ཧతਪ࿦ͷʮਅͷ࢟ʯ ෦෼࿦ཧࣜݪཧɿ ূ໌͸݁࿦ͷҙຯͷൣғ಺Ͱಈ͘ ʮ༨ܭͳ΋ͷΛ࣋ͪࠐ·ͳ͍ূ໌ʯ ٯʹɿ෦෼࿦ཧࣜݪཧΛഁΔ࿦ཧମܥ͸ Կ͔͕͓͔͍͠ʢݹయ࿦ཧ͸Ͳ͏ʁʣ ಋೖنଇͱআڈنଇͷʮௐ࿨ʯ ಋೖنଇɿ݁߹ࢠʹҙຯΛ༩͑Δ ʮA ∧ B Λূ໌͢Δͱ͸ A ͱ B Λ ূ໌͢Δ͜ͱʯ আڈنଇɿͦͷҙຯΛ࢖͏ ʮA ∧ B ͔Β A ΛऔΓग़ͤΔʯ detour ͕আڈͰ͖Δ ʹ ಋೖͱআڈ͕ʮௐ࿨͍ͯ͠Δʯ ఩ֶతؚҙ ࿦ཧ݁߹ࢠͷҙຯ͸ਪ࿦نଇ͕ܾΊΔ ʢinferentialismɿਪ࿦ओٛʣ ͔͠͠ʮͲΜͳنଇͰ΋Α͍ʯͷ͔ʁ ˠ ࣍ճͷ࿦ཧֶͷ఩ֶʢTonkʣ΁ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 34
35. ·ͱΊɾԋशɾ࣍ճ༧ࠂʢୈ10ճɿTonkͱਪ࿦ओٛʣ ࠓ೔ͷ৽نԋशʢީิ Š ౰೔ௐ੔ʣ ໰ Aɿː 1.1 ͱ͸ผͷʮ→ ؐݩͰ৽ ∧-detour ͕ੜ ·ΕΔʯྫΛ࡞Γɺ(a) ؐݩલͷ detour ͱๆΛ͢΂ ͯڍ͛ɺ(b) → ؐݩΛ 1 ճ࣮ߦ͠ɺ(c) ੜ·Εͨ৽ ͍͠ๆͷ࿦ཧࣜͱ degree Λ֬ೝͤΑɻ ໰ Bɿώυϥ { ߴ͞ 2 ͷ಄ 2 ຊ } ͔ΒήʔϜΛ࢝ Ίɺ֤ঢ়ଶͷείΞϕΫλΛॻ͖ɺࣙॻࣜʹݮͬͯ ͍Δ͜ͱΛ֬ೝͤΑɻ ໰ Cɿߴ͞ d ͷ಄ 1 ຊͷΞϑΟϯ൛ώυϥήʔϜͷ ࠷ѱख਺͕ 2d − 1 Ͱ͋Δ͜ͱΛ d = 1, 2, 3 Ͱ͔֬ ΊΑɻ ˞ग़୊͢Δ໰͸तۀ౰೔ʹޱ಄Ͱࢦఆ͠·͢ɻ ࣍ճʢୈ 10 ճɿ6/23ʣŠŠ࿦ཧֶͷ఩ֶ ਪ࿦ओٛʢinferentialismʣೖ໳ Arthur Priorʢ1960ʣͷ Tonk ͷྫ ಋೖʴআڈنଇΛউखʹઃఆ͢Δͱ ԿͰ΋ূ໌Ͱ͖ͯ͠·͏ʂ ʮྑ͍ʯਪ࿦نଇͷ৚݅ ʢௐ࿨ɾอकੑɾਖ਼نԽʣ μϝοτʢDummettʣͷҙຯ࿦ͱ proof-theoretic semantics ॓୊ʢKULMS ͰҊ಺ʣ ࠓ೔ͷԋश໰୊ͷ͏ͪղ͚ͳ͔ͬͨ΋ͷΛ ୈ 10 ճલ·Ͱʹʮ՝୊ʯ͔Βఏग़ɻ ղ͘ͷʹ͔͔ͬͨ࣌ؒΛهೖ͢Δ͜ͱɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 35
36. ෇࿥A0ɿείΞϕΫλͱॱং਺ είΞϕΫλ͸ॱং਺ͱಉҰࢹͰ͖Δ είΞϕΫλ (cD , . . . , c1 ) ʹରͯ͠ɺ ॱং਺ ωD · cD + · · · + ω · c2 + c1 ΛରԠͤ͞Δͱʢω ͸ʮ࠷খͷແݶॱং਺ʯ ʣ ɿ ࣙॻࣜͷݫີݮগ ʹ ॱং਺ͷݮগ ʮࣙॻࣜԼ߱ྻ͸༗ݶʯ ʹʮॱং਺ͷ੔ૅੑʢແݶԼ߱ྻͳ͠ʣ ʯ ήʔϜʹඞཁͳॱং਺ͷൣғɿωω ະຬɻ ઀ଓͷϝοηʔδ ୈ 8 ճεϥΠυ 13 ʮ௒ݶؼೲ๏͕ඞཁʯ ˠ ͜͜ͰॳΊͯਖ਼౰Խ͞ΕΔ ΞϑΟϯ {→, ∧} Ͱ͸ ωω ະຬͷॱং਺Ͱे෼ ຊՈ Kirby–Paris ώυϥͰ͸ ε0 ʢ͸Δ͔ʹେ͖͍ॱং਺ʣ͕ඞཁ ˠ ෇࿥ A1 ࢀর Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 36
37. ෇࿥A1ɿຊՈ Kirby–Paris ώυϥ ຊՈώυϥͷथܗਤΠϝʔδ ੾Δલ ࠜ מΔ ಄ અ ࠜ ୈ n ख n ݸίϐʔ͕ԣʹੜ͑Δ ࠜ n ݸͷίϐʔʢख൪ͱͱ΋ʹ૿Ճʣ ΞϑΟϯ൛ͱͷܾఆతͳҧ͍ ΞϑΟϯ൛ ຊՈ KP ߏ଄ ଟॏू߹ ༗ࠜ໦ 1 खޙ ߴʑ 2 ຊ n ຊίϐʔ ίϐʔ਺ ఆ਺ʢ2ʣ ແ੍ݶˢ ఀࢭॱং਺ ωω ະຬ ε0 PA Մূ Մೳ ෆՄೳ ຊՈͷ֩৺ɿמΔͨͼʹίϐʔຊ਺͕૿Ճɻ ε0 Ͱܭଌ͠ͳ͍ͱ౴͕͑ݴ͑ͳ͍ɻ ূ໌࿦ͱͷରԠ ຊՈώυϥͷఀࢭੑ ≈ ʮε0 ·Ͱͷ௒ݶؼೲ๏Λ࢖ͬͨ ࠷খ໋୊࿦ཧͷڧਖ਼نԽূ໌ʯ ͜Ε͸ PA Ͱূ໌Ͱ͖ͳ໋͍୊ͷ ࠷΋༗໊ͳ۩ମྫͷҰͭɻ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 37
38. ෇࿥A2ɿΞϑΟϯ൛ vs ຊՈ Kirby–Paris ώυϥ ൺֱ ΞϑΟϯ൛ʢຊ೔ʣ ຊՈ Kirby–Paris ߏ଄ ߴ͞෇͖ͷ಄ͷଟॏू߹ ༗ࠜ໦ʢ෦෼໦෇͖༿ʣ 1 खͷૢ࡞ ಄ 1 ຊמΔ ˠ ߴ͞ < d ͷ಄͕ߴʑ 2 ຊ ༿ 1 ຕמΔ ˠ ෦෼໦Λ n ຊίϐʔ ఀࢭॱং਺ ωω ະຬ ε0 ʢ= ωωω··· ʣ ূ໌ํ๏ ౳Ձͳೋॏؼೲ๏ ௒ݶؼೲ๏ʢε0 ·Ͱʣ PA ͰͷՄূ໌ੑ ূ໌Մೳ ূ໌ෆՄೳʢಠ໋ཱ୊ʣ ʮಉ͡ʰώυϥʱͰ΋ɺϧʔϧ࣍ୈͰূ໌ͷ೉͕͠͞ఱͱ஍΄Ͳҧ͏ɻ ୈ 8 ճεϥΠυ 13 ͷʰ௒ݶؼೲ๏͕ඞཁʱ͕ຊ౰ʹਖ਼౰Խ͞ΕΔͷ͸ຊՈͷํɻ ʯ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 38
39. ෇࿥A3ɿ ʮPAͰূ໌Ͱ͖ͳ͍ʯͱ͸Կ͔ŠŠܰ͘ͷΈ Kirby–Paris ఆཧʢ1982ʣ ຊՈώυϥήʔϜ͕ඞͣऴΘΔ͜ͱ͸ਅ͕ͩɺ ϖΞϊࢉज़ʢPAʣͷதͰ͸ূ໌Ͱ͖ͳ͍ɻ άουελΠϯ਺ྻɾύϦεrϋϦϯτϯఆ ཧͱฒͿ PA ͷಠ໋ཱ୊ͷ୅දྫ ήʔσϧͷෆ׬શੑఆཧͷ ۩ମతͳ਺ֶత໋୊ͱͯ͠ͷྫ ຊߨٛͱͷ઀ଓ Մূ໌ੑɾෆ׬શੑͷ෼ذ͸ ຊߨٛͰ͸ѻΘͳ͍ ڵຯ͕͋Ε͹ɿ ʮਖ਼نԽͱॱং਺ʯ ʮήʔσϧͱূ໌࿦ʯ ΛࣗݾࢀরͰɻ ʮূ໌ෆՄೳʯͱʮޡΓʯ͸શ͘ผ ΋ͷ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 39