ℝ, ≠ 0, a resposta é imediata: = −/. E para equações do 2º grau, como 2 + + = 0, , , ∈ ℝ, ≠ 0, a solução é dada pela fórmula de Bhaskara: ± = − ± 2 − 4 2
a prova do Teorema que hoje leva seus nomes: Para ≥ 5, não há uma fórmula geral, envolvendo os coeficientes da equação polinomial + ⋯ + 1 1 + 0 = 0 que permita calcular suas raízes, como no caso das equações de 1º, 2º, 3º e 4º graus.
são só exemplos de equações. Sempre fiquei intrigada em saber o que é, de fato, uma equação. Vamos examinar esse conceito objetivando incluir outros tipos de equações além das algébricas e transcendentais.
das tabelas-verdade com V e F, envolvendo proposições , , , … , os conectivos lógicos ∧,∨, →, ↔ e a negação ~. Precisaremos ir além do Cálculo Proposicional, jovens!
de função e de variável lógica. A ideia de sentença aberta (), numa variável é dele. Ela não é nem verdadeira nem falsa. Porém quando substituímos por algum valor, podemos então decidir seu valor lógico. Por exemplo, se () ≡ ( 2 − 2 = 0 ) então é verdadeira para = 2.
sentenças, transformando-as em proposições lógicas ao instanciarmos (i.é, atribuirmos algum valor) suas variáveis. As ideias de Frege permitiram o tratamento de questões lógicas impossíveis de serem representadas por meio do Cálculo Proposicional, de Boole.
é utilizando os quantificadores: Ao quantificarmos uma sentença aberta numa variável , nós a transformamos numa proposição. Então ela poderá assumir um dentre os dois valores lógicos V ou F. ∀, ∃, ()
2 = 0 ) então ∃, () é verdadeira, ao passo que ∀, é falsa. Sim Mestre, ∃, () é verdadeira tanto para = 2 como para = − 2. Entretanto ∀, é falsa. Por exemplo, para = 1 temos 2 − 2 = −1 logo (1) é falsa.
envolve a Teoria dos Conjuntos, posta em bases firmes por Cantor! Além do trabalho desses gênios do final do século XIX, a contribuição de Bertrand Russell e Alfred N. Whitehead foi fundamental para o formalismo da Lógica Matemática.
• David Hilbert, • Alonzo Church, • Stephen Cole Kleene, • Allan M. Turing, • Alfred Tarski, • Rudolf Carnap e o “Círculo de Viena”, • Ludwig Wittgenstein • Kurt F. Gödel • Ernst F. F. Zermelo • Abrahm H. Fraenkel Mas esta estória não para aí. No primeiro terço do século XX muitos outros personagens se envolveram na fundamentação da Lógica Matemática!
métodos, chamados métodos iterativos, que se aplicam aos mais diversos tipos de equações. Os métodos clássicos mais conhecidos são o da bisseção, o de Newton-Raphson, o do ponto-fixo e algumas variantes deles.
, → ℝ é uma função contínua em , , calculável através da expressão = (). Vamos assumir que r é uma raiz dessa equação, isto é, que = 0 é uma sentença lógica verdadeira.
função : ℕ → ℝ. Por tradição escrevemos , ao invés de (), para o valor de em k. Uma sequência muito simples é a cujo termo geral é = 1 (1 + ). Ela converge para 0. Uma outra é a cujo termo geral é = (1 + 1/k). Prova-se que ela converge para ≅ 2.7182818284590451.
lim →∞ = então, para cada precisão > 0 escolhida , você consegue resolver o problema inverso: Obter um número natural > 0 com a propriedade − < sempre que > .
tenho que obter um N. Por ex., se você escolher ε = 10−7 e eu garantir que − < 10−7 para = 38, 39, 40, … a resposta será = 37. Matou a pauladas, Loiraça! Nesse caso, > 37 ⇒ − < 10−7
a raiz r. Em outras palavras acharemos números ∗ tais que − ∗ < para ε bem pequeno. A bem da verdade épsilons minúsculos, por exemplo = 10−7, 10−10, 10−15, etc.
o aspecto prático, Mestra, é difícil precisarmos conhecer 2 com mais que umas 5 ou 6 casas decimais após a vírgula. Contei 16 casas na resposta de Python: 2 = 1.4142135623730951 …
partir da sequência , , , ⋯ , , ⋯ quando ela converge para r. Quando ela converge, para algum k suficientemente grande, teremos − < . Então escolhemos ∗ = .
possui sinais contrários nos extremos a e b então existe pelo menos um ponto (, ) tal que = 0. Dito de outra forma, a equação = 0 possui pelo menos uma raiz em (a, b). Num ponto , () poderá ser positiva, negativa ou nula:
esquerdo fazendo ↤ (leia: receber a) e o extremo direito fazendo ↤ . Descoberto um intervalo (, ) no qual f possui sinais contrários, podemos começar o processo iterativo. • Em programação: ↤ • Em matemática: =
raiz já é . é, = . () ii iii ii. Senão, se × ( ) < 0, a raiz r está na metade da esquerda. Nesse caso o novo será (i. é, ↤ ). iii. Caso contrário, a raiz r está na metade da direita. Nesse caso ↤ ( passa a ser ).
= . Nos outros dois casos, precisamos testar a precisão para decidir: A. Se | − | < e < , então colocamos ∗ ↤ e encerramos; B. Senão, retornamos ao 2º passo para mais uma iteração.
sabendo que 2 está entre os dois • Portanto para = 1 − 0 , tanto | 0 − 2 | < como | 1 − 2 | < • Em seguida dividimos o intervalo à metade com 2 e garantimos que 2 está numa das metades • Portanto | 2 − 2 | < /2 • Continuando o processo, garantimos (prove!) que | +1 − 2 | < /2 Mas e a precisão na aproximação para 2 ? Então Loirinho (...), nosso procedimento foi o seguinte:
2 | < 1 210 = 1 1024 < 0.001, Isto garante que 11 aproxima 2 com erro menor que um milésimo. Sim. E qual será o valor de k para o qual garantimos uma aproximação com a precisão do Single, de 6~7 casas decimais corretas?
função. O Professor fez um programa com o MatPlotLib que gera o gráfico de uma função num intervalo. Surfista, fiquei intrigada com a possibilidade de existirem mais raízes reais para aquela equação polinomial de grau 3. Como poderemos decidir?
reta tangente. Sim Loirinha, ela “cola” na função perto do ponto de tangência! E o valor numérico da derivada é o coeficiente angular da reta tangente.
é um “chute inicial”, próximo da raiz; 2. Dado definimos +1 como o ponto onde a reta tangente por ( , ) corta o eixo-x; 3. Paramos quando a precisão for satisfatória; senão voltamos ao passo 2.
qual o método convergir, graduada pelo número de iterações em tons de cinza. Limitaremos a 40 o número de iterações. Dividiremos o quadrado complexo em 500x500 pixeis. Cada pixel será um chute inicial para o método de Newton-Raphson, assim teremos 250.000 chutes iniciais.
do método de Newton-Rhapson com relação ao “chute inicial”. Lembrem-se marcamos um ponto com vermelho quando, a partir dele, o método de Newton-Rhapson converge para a “raiz vermelha”. Definam agora, na figura, o conjunto constituído pelas regiões pintadas de vermelho ...