Group, Lie group, and E8

數學小聚 TW m9s #0
群、李群，與 E8

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1. GROUP, LIE GROUP, AND E8 數學小聚 #0 / TW BIOART Created by / pm5 @pm5
2. 參考資料 , . 2011. Albert W. Stetz Lie Groups in Modern Physics
3. 數學小聚 https://www.facebook.com/groups/twm9s/
4. 群 GROUP https://zh.wikipedia.org/wiki/File:The_Swarm_novel_cover.jpg
5. 數學上的講法 一個集合 G ，加一個運算 * ，而且 1. a , b in G , then a * b in G . 2. a * ( b * c ) = ( a * b ) * c for all a , b , c in G . 3. There is e in G such that a * e = e * a = a for all a in G . 4. For all a in G there is a - 1 in G such that a * a - 1 = a - 1 * a = e .
6. 數學上的例子 整數 Z ，與加法 + 有理數不含零 Q × ，與乘法 × e （( Z , + ) 的 0、( Q × , × ) 的 1）稱作單位元素。
7. 可以想成是 ↑↑↓ ↓ ←→ ←→ a b b a https://en.wikipedia.org/wiki/File:Famicom-Console-Set.png
8. 可以想成是 旋轉 https://github.com/vim-scripts/TeTrIs.vim
9. 可以想成是 多維度的旋轉 https://en.wikipedia.org/wiki/File:Rubik's_cube.svg
10. 以上兩個旋轉都是有限的 任天堂的例子，還有整數與有理數不含零的例子， 是可數無限。
11. 不可數無限的群
12. 數學上的例子 實數 R ，與加法 + 行列式不為零的矩陣 M n ( R ) ，與矩陣乘法
13. 旋轉 https://en.wikipedia.org/wiki/File:Rotating_Sphere.gif
14. 實數 那有沒有辦法抓起來微分？
15. 函數 f ( x ) = y
16. 參數化 f ( α) = α
17. 掌握不可數無限群的方法 用可微分函數，把它參數化。
18. 何必自找麻煩？
19. 方向、變化率 https://en.wikipedia.org/wiki/File:Rotating_Sphere.gif
20. 最簡單的 LIE GROUP 實數 R ，與加法 + 用 f ( α) = α 參數化 one-parameter Lie group
21. 李群 LIE GROUP
22. 數學上的講法 一個流形（manifold）G ，同時是個群 ( G , * ) ，而且 1. f ( X , Y ) = X * Y 函數可微分 2. g ( X ) = X - 1 函數可微分
23. 流行形？
24. 回想一下參數化的例子
25. 旋轉 就是用旋轉角度來表示啊，不然要幹嘛？
26. 旋轉
27. 參數化 所以我們只能顧好自己鄰近，不能跑太遠。
28. 投影 每個鄰近可以用一套投影（projection）覆蓋。每套投影 把一個鄰近參數化。 我們需要一組投影，才能覆蓋整個形狀。 https://en.wikipedia.org/wiki/File:Mercator_projection_SW.jpg
29. 流行形？ 基本上就是可以用一組投影覆蓋的形狀。 局部而言，與 n 維實數空間 R n 「一樣」。 「一樣」的意思是，有反函數而且正反函數都可微分。
30. 李群 基本上是一個「形狀」，同時又是個群。 圓圈（1 維球）S 1 是李群 圓球（2 維球）S 2 不是李群 @%$&)@?（3 維球）S 3 是李群（因為 ） 旋轉（ ）是李群 四元數 S O ( n )
31. 李代數 LIE ALGEBRA
32. 實數 N 維李代數 REAL LIE ALGEBRA OF DIMENSION N 一個 n 實數向量空間 L （想成 R n ）， 一個「交換子」（commutator） [ X , Y ] ，而且 1. [ X , Y ] in L for all X , Y in L . 2. [ a X + b Y , Z ] = a [ X , Z ] + b [ Y , Z ] for all X , Y , Z in L . 3. [ X , Y ] = - [ Y , X ] for all X , Y in L . 4. [ X , [ Y , Z ] ] + [ Y , [ Z , X ] ] + [ Z , [ X , Y ] ] = 0 for all X , Y , Z in L .
33. 李群和李代數的關係 為李群選擇一組參數化，透過李群在 e 附近的行為 （偏導數）可以計算出它的李代數。 從一個李代數出發，「基本上」可以重建出原本的李群。
34. E 附近的行為 可以想成「原點附近的行為」可以決定整個群的行為。 因為群的結構可以把原點附近的行為 「複製」到所有局部。
35. 對李代數的研究 大概是這樣： 1. 計算出來的李代數，基本上是一個偏導函數構成的矩陣 （回想一下微積分計算 Jacobian 的時候） 2. 可以把所有李代數化約成一組不可約的李代數的「某種 乘積」（可以想成整數可以因式分解） 3. 不可約的李代數，可以計算出它們的矩陣特徵值 （eigenvalue） 4. 這些特徵值可以決定李代數的分類。這些值就是根系 root system
36. 根系 ROOT SYSTEM http://www.wikiwand.com/en/Root_system