9.3.1 混合ガウス分布再訪
• 𝐳𝑛
の期待値を計算
𝑝(𝐳𝑛
𝐱𝑛
, 𝝁𝑘
, 𝚺𝑘
=
ς
𝑘′=1
𝐾 𝜋𝑘′
𝒩 𝐱𝑛
𝝁𝑘′
, 𝚺𝑘′
𝑧
𝑛𝑘′
σ𝐳𝒏
[𝜋𝑘
𝒩 𝐱𝑛
𝝁𝑘
, 𝚺𝑘
]𝑧𝑛𝑘
… …
𝐳𝑛
= 𝑧𝑛1
, 𝑧𝑛2
, … 𝑧𝑛𝑘
, … 𝑧𝑛𝐾
𝑝 𝑧𝑛𝑘
= ෑ
𝑘=1
𝐾
𝜋
𝑘
𝑧𝑛𝑘
Σ𝐳𝑛
は、考え得る 𝐳𝒏
すべてについての
和を表している。
𝑧𝑛1
= 1 1,0, … 0, … 0
𝑧𝑛2
= 1 0,1, … 0, … 0
𝑧𝑛𝑘
= 1 0,0, … 1, … 0
𝑧𝑛𝐾
= 1 (0,0, … 0, … 1)
K
(9.40)
𝔼𝐳𝑛|𝐱𝑛,𝝁𝑘,𝚺𝑘
𝑧𝑛𝑘
=
𝐳𝑛
𝑧𝑛𝑘
𝑝(𝐳𝑛
𝐱𝑛
, 𝝁𝑘
, 𝚺𝑘
=
σ𝐳𝑛
𝑧𝑛𝑘
ς
𝑘′=1
𝐾 𝜋𝑘′
𝒩 𝐱𝑛
𝝁𝑘′
, 𝚺𝑘′
𝑧
𝑛𝑘′
σ𝐳𝒏
ς
𝑗=1
𝐾 [𝜋𝑗
𝒩 𝐱𝑛
𝝁𝑗
, 𝚺𝑗
]𝑧𝑛𝑗
=
0 × 𝜋1
𝒩 𝐱𝑛
𝝁1
, 𝚺1
+ ⋯ + 1 × 𝜋𝑘
𝒩 𝐱𝑛
𝝁𝑘
, 𝚺𝑘
+ ⋯ 0 × 𝜋𝐾
𝒩 𝐱𝑛
𝝁𝐾
, 𝚺𝐾
𝜋1
𝒩 𝐱𝑛
𝝁1
, 𝚺1
+ ⋯ + 𝜋𝐾
𝒩 𝐱𝑛
𝝁𝐾
, 𝚺𝐾
≡ 𝛾 𝑧𝑛𝑘
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