Bayesiánus kimosódás - Ütközéspontok 5.

A bayesiánus kezdeti valószínűségek kimosódásának formális bizonyítása pénzfeldobásokra
Ütközéspontok 5., Szeged, 2018. május 18.

Transcript

1. A bayesiánus kezdeti valószínűségek kimosódásának formális bizonyítása pénzfeldobásokra Bitai Tamás1 ELTE BTK Filozófia Intézet Logika Tanszék Ütközéspontok 5., Szeged, 2018. május 18. 1 E. Szabó Lászlóval közös munka
2. Bayesiánus kimosódás pénzfeldobásokra Példa Salmon et al.: Introduction to the Philosophy of Science alapján vagy ?
3. Bayesiánus kimosódás pénzfeldobásokra Példa Salmon et al.: Introduction to the Philosophy of Science alapján ÐÓÓÓÓÓÓÑÓÓÓÓÓÓÒ H vagy ÐÓÓÓÓÓÓÑÓÓÓÓÓÓÒ H ? ÜrÝ n , r È Øheads; tailsÙ, n È Ø1; 2; : : : Ù: dobások.
4. Bayesiánus kimosódás pénzfeldobásokra Példa Salmon et al.: Introduction to the Philosophy of Science alapján ÐÓÓÓÓÓÓÑÓÓÓÓÓÓÒ H vagy ÐÓÓÓÓÓÓÑÓÓÓÓÓÓÒ H ? ÜrÝ n , r È Øheads; tailsÙ, n È Ø1; 2; : : : Ù: dobások. Szubjektív valószínűség: P0 = P, Pn ÔHÕ = Pn`1 ÔH ÜrÝ n Õ
5. Bayesiánus kimosódás pénzfeldobásokra Példa Salmon et al.: Introduction to the Philosophy of Science alapján ÐÓÓÓÓÓÓÑÓÓÓÓÓÓÒ H vagy ÐÓÓÓÓÓÓÑÓÓÓÓÓÓÒ H ? ÜrÝ n , r È Øheads; tailsÙ, n È Ø1; 2; : : : Ù: dobások. Szubjektív valószínűség: P0 = P, Pn ÔHÕ = Pn`1 ÔH ÜrÝ n Õ Ha H-nak megfelelően . . . csupa fej:
6. Bayesiánus kimosódás pénzfeldobásokra Példa Salmon et al.: Introduction to the Philosophy of Science alapján ÐÓÓÓÓÓÓÑÓÓÓÓÓÓÒ H vagy ÐÓÓÓÓÓÓÑÓÓÓÓÓÓÒ H ? ÜrÝ n , r È Øheads; tailsÙ, n È Ø1; 2; : : : Ù: dobások. Szubjektív valószínűség: P0 = P, Pn ÔHÕ = Pn`1 ÔH ÜrÝ n Õ Ha H-nak megfelelően . . . csupa fej: Pn ÔHÕ = P H § § é n i=1 ÜrÝ i ¨
7. Bayesiánus kimosódás pénzfeldobásokra Pn ÔHÕ = P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ PÔHÕ P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ PÔHÕ + P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ PÔ HÕ
8. Bayesiánus kimosódás pénzfeldobásokra Pn ÔHÕ = P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ PÔHÕ P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ PÔHÕ + P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ PÔ HÕ = 1 1 + P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ PÔ HÕ PÔHÕ
9. Bayesiánus kimosódás pénzfeldobásokra Pn ÔHÕ = P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ PÔHÕ P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ PÔHÕ + P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ PÔ HÕ = 1 1 + P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ PÔ HÕ PÔHÕ Tegyük fel továbbá, hogy 1. PÔé i ÈI ÜheadsÝ i HÕ = 1, PÔé i ÈI ÜheadsÝ i HÕ = 1 2 ¨jIj. (Principal Principle)
10. Bayesiánus kimosódás pénzfeldobásokra Pn ÔHÕ = 1 1 + P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ PÔ HÕ PÔHÕ
11. Bayesiánus kimosódás pénzfeldobásokra Pn ÔHÕ = 1 1 + P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ PÔ HÕ PÔHÕ = 1 1 + 1 2 ¨n 1n PÔ HÕ PÔHÕ
12. Bayesiánus kimosódás pénzfeldobásokra Pn ÔHÕ = 1 1 + P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ PÔ HÕ PÔHÕ = 1 1 + 1 2 ¨n 1n PÔ HÕ PÔHÕ 1,
13. Bayesiánus kimosódás pénzfeldobásokra Pn ÔHÕ = 1 1 + P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ PÔ HÕ PÔHÕ = 1 1 + 1 2 ¨n 1n PÔ HÕ PÔHÕ 1, H konfirmálódik.
14. Bayesiánus kimosódás pénzfeldobásokra Pn ÔHÕ = 1 1 + P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ PÔ HÕ PÔHÕ = 1 1 + 1 2 ¨n 1n PÔ HÕ PÔHÕ 1, H konfirmálódik. ï Kimosódás (washing out): a határérték független H kezdeti szubjektív valószínűségétől.
15. Bayesiánus kimosódás pénzfeldobásokra Pn ÔHÕ = 1 1 + P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ P é n i=1 ÜrÝ i § § H ¨ PÔ HÕ PÔHÕ = 1 1 + 1 2 ¨n 1n ÐÓ ÓÑÓ ÓÒ Dn ÔH Õ PÔ HÕ PÔHÕ 1, H konfirmálódik. ï Kimosódás (washing out): a határérték független H kezdeti szubjektív valószínűségétől.
16. Bayesiánus kimosódás, általános eset H : p ÔH Õ heads ; p ÔH Õ tails , H : p Ô H Õ heads ; p Ô H Õ tails (objektív valószínűségek)
17. Bayesiánus kimosódás, általános eset H : p ÔH Õ heads ; p ÔH Õ tails , H : p Ô H Õ heads ; p Ô H Õ tails (objektív valószínűségek) . . .
18. Bayesiánus kimosódás, általános eset H : p ÔH Õ heads ; p ÔH Õ tails , H : p Ô H Õ heads ; p Ô H Õ tails (objektív valószínűségek) . . . 2. Azt, hogy egy kísérletsorozat H-nak megfelelő, úgy értelmezzük, hogy benne a fejek, illetve írások relatív gyakorisága tart p ÔH Õ heads -hoz, illetve p ÔH Õ tails -hoz. (Frekventizmus)
19. Bayesiánus kimosódás, általános eset H : p ÔH Õ heads ; p ÔH Õ tails , H : p Ô H Õ heads ; p Ô H Õ tails (objektív valószínűségek) . . . 2. Azt, hogy egy kísérletsorozat H-nak megfelelő, úgy értelmezzük, hogy benne a fejek, illetve írások relatív gyakorisága tart p ÔH Õ heads -hoz, illetve p ÔH Õ tails -hoz. (Frekventizmus) Dn ÔHÕ = n i=1 p Ô H Õ i n i=1 p ÔH Õ i , ahol i = heads; ha az i-edik dobás fej, tails; ha az i-edik dobás írás.
20. Bayesiánus kimosódás, általános eset log2 Dn ÔHÕ = n ô i=1 log2 p Ô H Õ i p ÔH Õ i
21. Bayesiánus kimosódás, általános eset log2 Dn ÔHÕ = n ô i=1 log2 p Ô H Õ i p ÔH Õ i = n £ Ôp ÔH Õ heads + dÕlog2 p Ô H Õ heads p ÔH Õ heads +Ôp ÔH Õ tails ` dÕlog2 p Ô H Õ tails p ÔH Õ tails «
22. Bayesiánus kimosódás, általános eset log2 Dn ÔHÕ = n ô i=1 log2 p Ô H Õ i p ÔH Õ i = n £ Ôp ÔH Õ heads + dÕlog2 p Ô H Õ heads p ÔH Õ heads +Ôp ÔH Õ tails ` dÕlog2 p Ô H Õ tails p ÔH Õ tails « ÐÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÑÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÒ D ½ n ÔH Õ
23. Bayesiánus kimosódás, általános eset log2 Dn ÔHÕ = n ô i=1 log2 p Ô H Õ i p ÔH Õ i = n £ Ôp ÔH Õ heads + dÕlog2 p Ô H Õ heads p ÔH Õ heads +Ôp ÔH Õ tails ` dÕlog2 p Ô H Õ tails p ÔH Õ tails « ÐÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÑÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÒ D ½ n ÔH Õ Kullback–Leibler-divergencia: DKL ÔH HÕ = ` r ÈØheads; tails Ù p ÔH Õ r log2 p Ô H Õ r p ÔH Õ r .
24. Bayesiánus kimosódás, általános eset log2 Dn ÔHÕ = n ô i=1 log2 p Ô H Õ i p ÔH Õ i = n £ Ôp ÔH Õ heads + dÕlog2 p Ô H Õ heads p ÔH Õ heads +Ôp ÔH Õ tails ` dÕlog2 p Ô H Õ tails p ÔH Õ tails « ÐÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÑÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÒ D ½ n ÔH Õ Kullback–Leibler-divergencia: DKL ÔH HÕ = ` r ÈØheads; tails Ù p ÔH Õ r log2 p Ô H Õ r p ÔH Õ r . Gibbs-egyenlőtlenség: DKL ÔH HÕ > 0.
25. Bayesiánus kimosódás, általános eset log2 Dn ÔHÕ = n ô i=1 log2 p Ô H Õ i p ÔH Õ i = n £ Ôp ÔH Õ heads + dÕlog2 p Ô H Õ heads p ÔH Õ heads +Ôp ÔH Õ tails ` dÕlog2 p Ô H Õ tails p ÔH Õ tails « ÐÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÑÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÒ D ½ n ÔH Õ Kullback–Leibler-divergencia: DKL ÔH HÕ = ` r ÈØheads; tails Ù p ÔH Õ r log2 p Ô H Õ r p ÔH Õ r . Gibbs-egyenlőtlenség: DKL ÔH HÕ > 0. Rögz. ". Feltehető: jD ½ n ÔHÕ ` `DKL ÔH HÕj < ".
26. Bayesiánus kimosódás, általános eset log2 Dn ÔHÕ = n ô i=1 log2 p Ô H Õ i p ÔH Õ i = n £ Ôp ÔH Õ heads + dÕlog2 p Ô H Õ heads p ÔH Õ heads +Ôp ÔH Õ tails ` dÕlog2 p Ô H Õ tails p ÔH Õ tails « ÐÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÑÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓÒ D ½ n ÔH Õ Kullback–Leibler-divergencia: DKL ÔH HÕ = ` r ÈØheads; tails Ù p ÔH Õ r log2 p Ô H Õ r p ÔH Õ r . Gibbs-egyenlőtlenség: DKL ÔH HÕ > 0. Rögz. ". Feltehető: jD ½ n ÔHÕ ` `DKL ÔH HÕj < ". Tehát D ½ n ÔHÕ `DKL ÔH HÕ, log2 Dn ÔHÕ ` , Dn ÔHÕ 0, Pn ÔHÕ 1.
27. Bayesiánus kimosódás, más formalizálások 2. Azt, hogy egy kísérletsorozat H-nak megfelelő, úgy értelmezzük, hogy benne a fejek, illetve írások relatív gyakorisága tart p ÔH Õ heads -hoz, illetve p ÔH Õ tails -hoz. (Frekventizmus)
28. Bayesiánus kimosódás, más formalizálások 2. Azt, hogy egy kísérletsorozat H-nak megfelelő, úgy értelmezzük, hogy benne a fejek, illetve írások relatív gyakorisága tart p ÔH Õ heads -hoz, illetve p ÔH Õ tails -hoz. (Frekventizmus) Earman: Bayes or Bust?: majdnem biztos konvergenciát állító eredmények (pl. nagy számok erős törvénye).
29. Bayesiánus kimosódás, más formalizálások 2. Azt, hogy egy kísérletsorozat H-nak megfelelő, úgy értelmezzük, hogy benne a fejek, illetve írások relatív gyakorisága tart p ÔH Õ heads -hoz, illetve p ÔH Õ tails -hoz. (Frekventizmus) Earman: Bayes or Bust?: majdnem biztos konvergenciát állító eredmények (pl. nagy számok erős törvénye). Irodalom: az objektív valószínűség tetszőleges értelmezése mellett 1 valószínűségű konvergencia (az objektív valószínűség értelmében).
30. Bayesiánus kimosódás, más formalizálások 2. Azt, hogy egy kísérletsorozat H-nak megfelelő, úgy értelmezzük, hogy benne a fejek, illetve írások relatív gyakorisága tart p ÔH Õ heads -hoz, illetve p ÔH Õ tails -hoz. (Frekventizmus) Earman: Bayes or Bust?: majdnem biztos konvergenciát állító eredmények (pl. nagy számok erős törvénye). Irodalom: az objektív valószínűség tetszőleges értelmezése mellett 1 valószínűségű konvergencia (az objektív valószínűség értelmében). Mi: az objektív valószínűség frekventista értelmezése mellett „biztos” konvergencia.