Alexandrov-Krümmung, Hadamard-Räume und der Satz von Cartan-Hadamard

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1. Alexandrov-Kr¨ ummung, Hadamard-R¨ aume und der Satz von Cartan-Hadamard Tim Baumann Seminar Metrische Geometrie 27. Mai 2014
2. Kr¨ ummung in der Di↵erentialgeometrie K < 0 K = 0 K > 0 F¨ ur die Gaußkr¨ ummung K im Punkt u gilt K =  1 ·  2 = det(W u ), wobei  1 und  2 die Hauptkr¨ ummungen und W u := D u ⌫ (D u X) 1 : T u X ! T u X die Weingartenabbildung in u bezeichnet.
4. K < 0 K = 0 K > 0
5. Proposition (BBI, 9.1.17) Sei (X, d) ein L¨ angenraum, U ✓ X ein CAT(0)-Gebiet. Dann gilt: 1 Seien ab und bc zwei k¨ urzeste Wege in U, die in b enden bzw. starten. Falls ]abc = ⇡, dann ist auch ab ⇤ bc ein k¨ urzester Weg. 2 Jede Geod¨ ate in U ist ein k¨ urzester Weg.
6. Definition Sei (X, d) ein L¨ angenraum. Eine Geod¨ ate : [a, b] ! X heißt linear parametrisiert, wenn f¨ ur alle a  s < t  b gilt: L( | [s , t] ) = t s b a Lemma (BBI, 9.2.3) Sei (X, d) ein L¨ angenraum, U ✓ X ein CAT(0)-Gebiet und ↵, : I ! U zwei durch dasselbe Intervall I und linear parametrisierte Geod¨ aten in U. Dann ist die Distanzfunktion : I ! R 0 , t 7! d(↵(t), (t)) konvex. Korollar (Eindeutigkeit) Sei oben I = [t 1 , t 2 ] und ↵(t 1 ) = (t 1 ), ↵(t 2 ) = (t 2 ). Dann gilt ↵ ⌘ auf ganz I.
7. Definition Sei (X, d) ein L¨ angenraum. Eine Geod¨ ate : [a, b] ! X heißt linear parametrisiert, wenn f¨ ur alle a  s < t  b gilt: L( | [s , t] ) = t s b a Lemma (BBI, 9.2.3) Sei (X, d) ein L¨ angenraum, U ✓ X ein CAT(0)-Gebiet und ↵, : I ! U zwei durch dasselbe Intervall I und linear parametrisierte Geod¨ aten in U. Dann ist die Distanzfunktion : I ! R 0 , t 7! d(↵(t), (t)) konvex. Korollar (Eindeutigkeit) Sei oben I = [t 1 , t 2 ] und ↵(t 1 ) = (t 1 ), ↵(t 2 ) = (t 2 ). Dann gilt ↵ ⌘ auf ganz I.
8. Definition Sei (X, d) ein L¨ angenraum. Eine Geod¨ ate : [a, b] ! X heißt linear parametrisiert, wenn f¨ ur alle a  s < t  b gilt: L( | [s , t] ) = t s b a Lemma (BBI, 9.2.3) Sei (X, d) ein L¨ angenraum, U ✓ X ein CAT(0)-Gebiet und ↵, : I ! U zwei durch dasselbe Intervall I und linear parametrisierte Geod¨ aten in U. Dann ist die Distanzfunktion : I ! R 0 , t 7! d(↵(t), (t)) konvex. Korollar (Eindeutigkeit) Sei oben I = [t 1 , t 2 ] und ↵(t 1 ) = (t 1 ), ↵(t 2 ) = (t 2 ). Dann gilt ↵ ⌘ auf ganz I.
9. Definition Sei X ein topologischer Raum, 1 , 2 : [0, 1] ! X stetige Wege mit p = 1 (0) = 2 (0) und q = 1 (1) = 2 (1). Eine Homotopie der Wege 1 und 2 relativ der Endpunkte ist eine stetige Abbildung H : [0, 1] ⇥ [0, 1] ! X mit H(–, 0) = 1 , H(–, 1) = 2 , H(0, t) = p f¨ ur alle t 2 [0, 1], H(1, t) = q f¨ ur alle t 2 [0, 1]. Definition Ein topologischer Raum X heißt einfach zusammenh¨ angend, falls er wegzusammenh¨ angend ist und jeder geschlossene Weg : [0, 1] ! X (d. h. (0) = (1)) homotop relativ der Endpunkte zum konstanten Weg t 7! (0) ist.
10. Definition Sei X ein topologischer Raum, 1 , 2 : [0, 1] ! X stetige Wege mit p = 1 (0) = 2 (0) und q = 1 (1) = 2 (1). Eine Homotopie der Wege 1 und 2 relativ der Endpunkte ist eine stetige Abbildung H : [0, 1] ⇥ [0, 1] ! X mit H(–, 0) = 1 , H(–, 1) = 2 , H(0, t) = p f¨ ur alle t 2 [0, 1], H(1, t) = q f¨ ur alle t 2 [0, 1]. Definition Ein topologischer Raum X heißt einfach zusammenh¨ angend, falls er wegzusammenh¨ angend ist und jeder geschlossene Weg : [0, 1] ! X (d. h. (0) = (1)) homotop relativ der Endpunkte zum konstanten Weg t 7! (0) ist.
11. Definition Ein vollst¨ andiger, einfach zusammenh¨ angender L¨ angenraum mit Alexandrov-Kr¨ ummung  0 heißt Hadamard-Raum. Satz (Cartan-Hadamard) 1 F¨ ur alle Paare p, q von Punkte in einem Hadamard-Raum gibt es genau eine verbindende Geod¨ ate pq . 2 All diese Geod¨ aten sind k¨ urzeste Wege.
12. Lemma (Konvergenz von linear param. Geod¨ aten) Sei X ein vollst¨ andiger CAT(0)-Raum und ( n : [0, 1] ! X) n 2N eine Cauchy-Folge bestehend linear parametrisierten Geod¨ aten bzgl. der Maximumsmetrik d(↵, ) := max t 2 [0 , 1] d(↵(t), (t)). Dann ist die Grenzfunktion : [0, 1] ! X, t 7! lim n !1 n (t) eine linear parametrisierte Geod¨ ate.
13. Lemma (BH, II.4.3) Sei (X, d) ein vollst¨ andiger CAT(0)-Raum und c : [0, 1] ! X eine Geod¨ ate von x := c(0) nach y := c(1). Sei ✏ > 0 so klein, dass B 2 ✏ (c(t)) f¨ ur alle t 2 [0, 1] eine CAT(0)-Umgebung ist. Dann gilt: 1 Seien ↵, : [0, 1] ! X linear parametrisierte Geod¨ aten mit d(↵(t), c(t)) < ✏ und d( (t), c(t)) < ✏ 8t 2 [0, 1]. Dann ist die Abstandsfunktion (t) := d(↵(t), (t)) konvex. 2 F¨ ur alle x 2 B✏ (x) und y 2 B✏ (y) gibt es genau eine Geod¨ ate c : [0, 1] ! X von x nach y, sodass t 7! d(c(t), c(t)) konvex ist. 3 Außerdem gilt: L(c)  d(x, x) + L(c) + d(y, y) Bemerkung Solch ein ✏ > 0 existiert aufgrund der Kompaktheit von c([0, 1]).
14. Lemma (BH, II.4.3) Sei (X, d) ein vollst¨ andiger CAT(0)-Raum und c : [0, 1] ! X eine Geod¨ ate von x := c(0) nach y := c(1). Sei ✏ > 0 so klein, dass B 2 ✏ (c(t)) f¨ ur alle t 2 [0, 1] eine CAT(0)-Umgebung ist. Dann gilt: 1 Seien ↵, : [0, 1] ! X linear parametrisierte Geod¨ aten mit d(↵(t), c(t)) < ✏ und d( (t), c(t)) < ✏ 8t 2 [0, 1]. Dann ist die Abstandsfunktion (t) := d(↵(t), (t)) konvex. 2 F¨ ur alle x 2 B✏ (x) und y 2 B✏ (y) gibt es genau eine Geod¨ ate c : [0, 1] ! X von x nach y, sodass t 7! d(c(t), c(t)) konvex ist. 3 Außerdem gilt: L(c)  d(x, x) + L(c) + d(y, y) Bemerkung Solch ein ✏ > 0 existiert aufgrund der Kompaktheit von c([0, 1]).
15. Lemma (BH, II.4.3) Sei (X, d) ein vollst¨ andiger CAT(0)-Raum und c : [0, 1] ! X eine Geod¨ ate von x := c(0) nach y := c(1). Sei ✏ > 0 so klein, dass B 2 ✏ (c(t)) f¨ ur alle t 2 [0, 1] eine CAT(0)-Umgebung ist. Dann gilt: 1 Seien ↵, : [0, 1] ! X linear parametrisierte Geod¨ aten mit d(↵(t), c(t)) < ✏ und d( (t), c(t)) < ✏ 8t 2 [0, 1]. Dann ist die Abstandsfunktion (t) := d(↵(t), (t)) konvex. 2 F¨ ur alle x 2 B✏ (x) und y 2 B✏ (y) gibt es genau eine Geod¨ ate c : [0, 1] ! X von x nach y, sodass t 7! d(c(t), c(t)) konvex ist. 3 Außerdem gilt: L(c)  d(x, x) + L(c) + d(y, y) Bemerkung Solch ein ✏ > 0 existiert aufgrund der Kompaktheit von c([0, 1]).
16. Lemma (BH, II.4.3) Sei (X, d) ein vollst¨ andiger CAT(0)-Raum und c : [0, 1] ! X eine Geod¨ ate von x := c(0) nach y := c(1). Sei ✏ > 0 so klein, dass B 2 ✏ (c(t)) f¨ ur alle t 2 [0, 1] eine CAT(0)-Umgebung ist. Dann gilt: 1 Seien ↵, : [0, 1] ! X linear parametrisierte Geod¨ aten mit d(↵(t), c(t)) < ✏ und d( (t), c(t)) < ✏ 8t 2 [0, 1]. Dann ist die Abstandsfunktion (t) := d(↵(t), (t)) konvex. 2 F¨ ur alle x 2 B✏ (x) und y 2 B✏ (y) gibt es genau eine Geod¨ ate c : [0, 1] ! X von x nach y, sodass t 7! d(c(t), c(t)) konvex ist. 3 Außerdem gilt: L(c)  d(x, x) + L(c) + d(y, y) Bemerkung Solch ein ✏ > 0 existiert aufgrund der Kompaktheit von c([0, 1]).
17. Definition Sei X ein metrischer Raum und p 2 X. Dann wird ˜ X p := {Geod¨ aten : [0, 1] ! X mit (0) = p und linear parametrisiert} Raum der Geod¨ aten mit Startpunkt p genannt. Mit der Metrik d(↵, ) := max t 2 [0 , 1] |↵(t) (t)| wird ( ˜ X p , d) zu einem metrischen Raum. Der Punkt ˜ p 2 ˜ X p sei die konstante Geod¨ ate t 7! p. Definition Die Exponentialabbildung ist die Abbildung exp p : ˜ X p ! X, 7! (1), welche jede Geod¨ ate auf ihren Endpunkt abbildet.
18. Definition Sei X ein metrischer Raum und p 2 X. Dann wird ˜ X p := {Geod¨ aten : [0, 1] ! X mit (0) = p und linear parametrisiert} Raum der Geod¨ aten mit Startpunkt p genannt. Mit der Metrik d(↵, ) := max t 2 [0 , 1] |↵(t) (t)| wird ( ˜ X p , d) zu einem metrischen Raum. Der Punkt ˜ p 2 ˜ X p sei die konstante Geod¨ ate t 7! p. Definition Die Exponentialabbildung ist die Abbildung exp p : ˜ X p ! X, 7! (1), welche jede Geod¨ ate auf ihren Endpunkt abbildet.
19. Lemma (BH, II.4.6) Sei X ein vollst¨ andiger CAT(0)-Raum und p 2 X. Dann ist auch ˜ X p vollst¨ andig. Lemma (BH, II.4.5) Sei X ein vollst¨ andiger CAT(0)-Raum und p 2 X. Dann gilt: 1 ˜ X p ist zusammenziehbar. 2 exp p : ˜ X p ! X ist eine lokale Isometrie, d. h. f¨ ur alle ˜ x 2 ˜ X p existiert ein r > 0, sodass exp p (B r (˜ x)) ✓ B r (exp p (˜ x)) und exp p | Br (˜ x) : B r (˜ x) ! B r (exp p (˜ x)) eine Isometrie ist. Korollar ˜ X p ist einfach zusammenh¨ angend.
20. Lemma (BH, II.4.6) Sei X ein vollst¨ andiger CAT(0)-Raum und p 2 X. Dann ist auch ˜ X p vollst¨ andig. Lemma (BH, II.4.5) Sei X ein vollst¨ andiger CAT(0)-Raum und p 2 X. Dann gilt: 1 ˜ X p ist zusammenziehbar. 2 exp p : ˜ X p ! X ist eine lokale Isometrie, d. h. f¨ ur alle ˜ x 2 ˜ X p existiert ein r > 0, sodass exp p (B r (˜ x)) ✓ B r (exp p (˜ x)) und exp p | Br (˜ x) : B r (˜ x) ! B r (exp p (˜ x)) eine Isometrie ist. Korollar ˜ X p ist einfach zusammenh¨ angend.
21. Lemma (BH, II.4.6) Sei X ein vollst¨ andiger CAT(0)-Raum und p 2 X. Dann ist auch ˜ X p vollst¨ andig. Lemma (BH, II.4.5) Sei X ein vollst¨ andiger CAT(0)-Raum und p 2 X. Dann gilt: 1 ˜ X p ist zusammenziehbar. 2 exp p : ˜ X p ! X ist eine lokale Isometrie, d. h. f¨ ur alle ˜ x 2 ˜ X p existiert ein r > 0, sodass exp p (B r (˜ x)) ✓ B r (exp p (˜ x)) und exp p | Br (˜ x) : B r (˜ x) ! B r (exp p (˜ x)) eine Isometrie ist. Korollar ˜ X p ist einfach zusammenh¨ angend.
26. F¨ ur K 2 R ist der Modellraum M2 K definiert durch M2 K := 8 > > < > > : (S2, 1 p K d S2 ) f¨ ur K > 0, (E 2, dE 2 ) f¨ ur K = 0, (H 2, 1 p K dH 2 ) f¨ ur K < 0, wobei E 2 = R 2 den gew¨ ohnlichen euklidischen Raum und H 2 den zweidimensionalen hyperbolischen Raum mit konstanter Kr¨ ummung -1 bezeichnet. Dabei sind d S2 und dH 2 die induzierten intrinsichen Normen. Im Fall K 6= 0 bezeichnet 1 p | K | d die skalierte Metrik (x, y) 7! 1 p | K | d(x, y).
27. Sei K 2 R und (X, d) ein L¨ angenraum. Definition Ein Dreieck abc in X besteht aus drei Eckpunkten a, b, c 2 X und verbindenden k¨ urzesten Wegen ab , bc , ac : [0, 1] ! X.
28. Sei K 2 R und (X, d) ein L¨ angenraum. Definition Ein Dreieck abc in X besteht aus drei Eckpunkten a, b, c 2 X und verbindenden k¨ urzesten Wegen ab , bc , ac : [0, 1] ! X. Definition Ein Vergleichsdreieck abc von abc in M2 K besteht aus drei Punkten a, b, c 2 M2 K und verbindenden k¨ urzesten Wegen ab , bc , ca : [0, 1] ! M2 K , sodass gilt: d M2 K (a, b) = d(a, b), d M2 K (b, c) = d(b, c), d M2 K (c, a) = d(c, a)
29. Sei K 2 R und (X, d) ein L¨ angenraum. Definition Ein Dreieck abc in X besteht aus drei Eckpunkten a, b, c 2 X und verbindenden k¨ urzesten Wegen ab , bc , ac : [0, 1] ! X. Definition Ein Vergleichsdreieck abc von abc in M2 K besteht aus drei Punkten a, b, c 2 M2 K und verbindenden k¨ urzesten Wegen ab , bc , ca : [0, 1] ! M2 K , sodass gilt: d M2 K (a, b) = d(a, b), d M2 K (b, c) = d(b, c), d M2 K (c, a) = d(c, a) Definition Ein Vergleichspunkt von d 2 Bild( ac ) in einem Vergleichsdreieck abc ist ein Punkt d 2 Bild( ac ) mit d(a, d) = d M2 K (a, d).
30. Sei K 2 R und (X, d) ein L¨ angenraum. Definition Eine Teilmenge U ✓ X heißt CAT(K)-Gebiet, falls gilt: F¨ ur alle x, y 2 U gibt es eine Geod¨ ate xy : [0, 1] ! U der L¨ ange d(x, y). Alle Dreiecke abc mit Eckpunkten und Seiten in U erf¨ ullen die CAT(K)-Vergleichseigenschaft: F¨ ur alle d 2 Bild( ac ) mit Vergleichspunkt d in abc gilt d(b, d)  d M2 K (b, d). und analog f¨ ur d0 2 ab , d00 2 bc .
31. Sei K 2 R und (X, d) ein L¨ angenraum. Definition Eine Teilmenge U ✓ X heißt CAT(K)-Gebiet, falls gilt: F¨ ur alle x, y 2 U gibt es eine Geod¨ ate xy : [0, 1] ! U der L¨ ange d(x, y). Alle Dreiecke abc mit Eckpunkten und Seiten in U erf¨ ullen die CAT(K)-Vergleichseigenschaft: F¨ ur alle d 2 Bild( ac ) mit Vergleichspunkt d in abc gilt d(b, d)  d M2 K (b, d). und analog f¨ ur d0 2 ab , d00 2 bc . Definition Der L¨ angenraum X heißt CAT(K)-Raum, falls X eine ¨ Uberdeckung mit o↵enen CAT(K)-Gebieten besitzt. Man sagt auch, der Raum habe Alexandrov-Kr¨ ummung  K.
32. Warum der Name CAT(K)?
33. ´ Elie Cartan (1869-1951) Alexander D. Alexandrov (1912-1999) Victor A. Toponogov (1930-2004)
34. Bemerkung (BBI, Exercise 4.1.11) Es reicht aus, in der Definition die Ungleichung d(b, d)  d M2 K (b, d) nur f¨ ur Mittelpunkte d der Seite ac , also d 2 Bild( ac ) mit d(a, d) = d(d, c) = 1 2 d(a, c), zu fordern.
35. Bemerkung (BBI, Exercise 4.1.11) Es reicht aus, in der Definition die Ungleichung d(b, d)  d M2 K (b, d) nur f¨ ur Mittelpunkte d der Seite ac , also d 2 Bild( ac ) mit d(a, d) = d(d, c) = 1 2 d(a, c), zu fordern. Beispiele R n ist ein CAT(0)-Raum.
36. Bemerkung (BBI, Exercise 4.1.11) Es reicht aus, in der Definition die Ungleichung d(b, d)  d M2 K (b, d) nur f¨ ur Mittelpunkte d der Seite ac , also d 2 Bild( ac ) mit d(a, d) = d(d, c) = 1 2 d(a, c), zu fordern. Beispiele R n ist ein CAT(0)-Raum. R 2 \ B 1 (0) ist ein CAT(0)-Raum.
37. Bemerkung (BBI, Exercise 4.1.11) Es reicht aus, in der Definition die Ungleichung d(b, d)  d M2 K (b, d) nur f¨ ur Mittelpunkte d der Seite ac , also d 2 Bild( ac ) mit d(a, d) = d(d, c) = 1 2 d(a, c), zu fordern. Beispiele R n ist ein CAT(0)-Raum. R 2 \ B 1 (0) ist ein CAT(0)-Raum. Klebe drei Kopien des Strahls [0, 1) am Punkt 0 zusammen. Dieser Raum hat nichtpositive Kr¨ ummung.
38. Bemerkung (BBI, Exercise 4.1.11) Es reicht aus, in der Definition die Ungleichung d(b, d)  d M2 K (b, d) nur f¨ ur Mittelpunkte d der Seite ac , also d 2 Bild( ac ) mit d(a, d) = d(d, c) = 1 2 d(a, c), zu fordern. Beispiele R n ist ein CAT(0)-Raum. R 2 \ B 1 (0) ist ein CAT(0)-Raum. Klebe drei Kopien des Strahls [0, 1) am Punkt 0 zusammen. Dieser Raum hat nichtpositive Kr¨ ummung. Satz (Ballmann, 3.7) Sei X eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann ist die Alexandrov-Kr¨ ummung von X h¨ ochstens K genau dann, wenn die Schnittkr¨ ummung von X nach oben durch K beschr¨ ankt ist.
39. Satz (Kosinussatz) In jedem wie rechts beschrifteten Dreieck gilt c2 = a2 + b2 2ab cos
40. Satz (Kosinussatz) In jedem wie rechts beschrifteten Dreieck gilt c2 = a2 + b2 2ab cos Definition F¨ ur drei Punkte x, y, z aus einem metrischen Raum (X, d) heißt e ]xyz := arccos d(y, x)2 + d(y, z)2 d(x, z)2 2 · d(y, x) · d(y, z) Vergleichswinkel.
41. Satz (Kosinussatz) In jedem wie rechts beschrifteten Dreieck gilt c2 = a2 + b2 2ab cos Definition F¨ ur drei Punkte x, y, z aus einem metrischen Raum (X, d) heißt e ]xyz := arccos d(y, x)2 + d(y, z)2 d(x, z)2 2 · d(y, x) · d(y, z) Vergleichswinkel. Definition Sei (X, d) ein L¨ angenraum, p 2 X und ↵, : [0, ✏) ! X zwei Geod¨ aten mit ↵(0) = (0) = p. Falls der Limes existiert, so heißt ](↵, ) = lim s , t ! 0 e ](↵(s), p, (t)) Winkel zwischen ↵ und .
42. Sei (X, d) ein L¨ angenraum, U ✓ X ein CAT(0)-Gebiet. Proposition (BBI, 4.3.5) Seien ↵, : [0, ✏] ! U k¨ urzeste Wege mit ↵(0) = (0) = p. Dann ist die Abbildung ⇥ : [0, ✏] ⇥ [0, ✏] ! [0, ⇡] , (s, t) 7! e ](↵(s), p, (t)) monoton steigend in beiden Argumenten.
43. Sei (X, d) ein L¨ angenraum, U ✓ X ein CAT(0)-Gebiet. Proposition (BBI, 4.3.5) Seien ↵, : [0, ✏] ! U k¨ urzeste Wege mit ↵(0) = (0) = p. Dann ist die Abbildung ⇥ : [0, ✏] ⇥ [0, ✏] ! [0, ⇡] , (s, t) 7! e ](↵(s), p, (t)) monoton steigend in beiden Argumenten. Korollar (BBI, 4.3.2) Sei abc ein Dreieck in U. Dann sind die Winkel ↵ := ]( ab , ac ), := ]( ba , bc ), := ]( ca , cb ), wohldefiniert und es gilt ↵ + +  ⇡.
44. Sei (X, d) ein L¨ angenraum, U ✓ X ein CAT(0)-Gebiet. Proposition (BBI, 4.3.5) Seien ↵, : [0, ✏] ! U k¨ urzeste Wege mit ↵(0) = (0) = p. Dann ist die Abbildung ⇥ : [0, ✏] ⇥ [0, ✏] ! [0, ⇡] , (s, t) 7! e ](↵(s), p, (t)) monoton steigend in beiden Argumenten. Korollar (BBI, 4.3.2) Sei abc ein Dreieck in U. Dann sind die Winkel ↵ := ]( ab , ac ), := ]( ba , bc ), := ]( ca , cb ), wohldefiniert und es gilt ↵ + +  ⇡. Bemerkung Die Behauptung des Korollars ist ¨ aquivalent zur CAT(0)-Vergleichseigenschaft, kann also auch als zur Definition von CAT(0)-Gebieten verwendet werden.
45. Proposition (BBI, 9.1.17) Sei (X, d) ein L¨ angenraum, U = B r (x 0 ) ✓ X ein CAT(0)-Gebiet. Dann gilt: 1 F¨ ur alle a, b 2 U gibt es einen eindeutigen k¨ urzesten Weg, der a und b verbindet, und dieser ist in U enthalten. 2 Seien ab und bc zwei k¨ urzeste Wege in U, die in b enden bzw. starten. Falls ]abc = ⇡, dann ist auch ab ⇤ bc ein k¨ urzester Weg. 3 Jede Geod¨ ate in U ist ein k¨ urzester Weg.
46. Lemma (BBI, 9.2.3) Sei (X, d) ein L¨ angenraum, U ✓ X ein CAT(0)-Gebiet und ↵, : I ! U zwei durch dasselbe Intervall I parametrisierte und mit jeweils konstanter Geschwindigkeit durchlaufene Geod¨ aten in U. Dann ist die Distanzfunktion : I ! R 0 , t 7! d(↵(t), (t)) konvex.
48. Lemma (Alexandrov’s Lemma) Seien a, b, c, d 2 E 2 , sodass a und c auf verschiedenen Halbebenen bez¨ uglich der Verbindungsstrecke [bd] liegen. Seien ˜ a, ˜ b, ˜ c 2 E 2 mit d(a, b) = d(˜ a, ˜ b), d(b, c) = d(˜ b, ˜ c), d(a, d)+d(d, c) = d(˜ a, ˜ c). Sei ˜ d 2 [˜ a, ˜ c] mit d(˜ a, ˜ d) = d(a, d). Dann gilt: ]adb + ]bdc < ⇡ genau dann, wenn d(˜ b, ˜ d) < d(d, b). Dann gilt auch ]˜ b˜ a˜ d < ]bad und ]˜ b˜ c˜ d < ]bcd.
49. Lemma (Alexandrov’s Lemma) Seien a, b, c, d 2 E 2 , sodass a und c auf verschiedenen Halbebenen bez¨ uglich der Verbindungsstrecke [bd] liegen. Seien ˜ a, ˜ b, ˜ c 2 E 2 mit d(a, b) = d(˜ a, ˜ b), d(b, c) = d(˜ b, ˜ c), d(a, d)+d(d, c) = d(˜ a, ˜ c). Sei ˜ d 2 [˜ a, ˜ c] mit d(˜ a, ˜ d) = d(a, d). Dann gilt: ]adb + ]bdc < ⇡ genau dann, wenn d(˜ b, ˜ d) < d(d, b). Dann gilt auch ]˜ b˜ a˜ d < ]bad und ]˜ b˜ c˜ d < ]bcd. ]adb + ]bdc > ⇡ genau dann, wenn d(˜ b, ˜ d) > d(d, b). Dann gilt auch ]˜ b˜ a˜ d > ]bad und ]˜ b˜ c˜ d > ]bcd.
50. Lemma (Alexandrov’s Lemma) Seien a, b, c, d 2 E 2 , sodass a und c auf verschiedenen Halbebenen bez¨ uglich der Verbindungsstrecke [bd] liegen. Seien ˜ a, ˜ b, ˜ c 2 E 2 mit d(a, b) = d(˜ a, ˜ b), d(b, c) = d(˜ b, ˜ c), d(a, d)+d(d, c) = d(˜ a, ˜ c). Sei ˜ d 2 [˜ a, ˜ c] mit d(˜ a, ˜ d) = d(a, d). Dann gilt: ]adb + ]bdc < ⇡ genau dann, wenn d(˜ b, ˜ d) < d(d, b). Dann gilt auch ]˜ b˜ a˜ d < ]bad und ]˜ b˜ c˜ d < ]bcd. ]adb + ]bdc > ⇡ genau dann, wenn d(˜ b, ˜ d) > d(d, b). Dann gilt auch ]˜ b˜ a˜ d > ]bad und ]˜ b˜ c˜ d > ]bcd. Lemma Sei (X, d) ein L¨ angenraum, abc ein Dreieck in X und d 2 Bild( ac ). Wenn die Teildreiecke abd und cbd die CAT(0)-Vergleichseigenschaft erf¨ ullen, dann auch abc.
51. Definition Sei X ein topologischer Raum, 1 , 2 : [0, 1] ! X stetige Kurven mit p = 1 (0) = 2 (0) und q = 1 (1) = 2 (1). Eine Homotopie der Wege 1 und 2 relativ der Endpunkte ist eine stetige Abbildung H : [0, 1] ⇥ [0, 1] ! X mit H(–, 0) = 1 , H(–, 1) = 2 , H(0, t) = p f¨ ur alle t 2 [0, 1], H(1, t) = q f¨ ur alle t 2 [0, 1].
52. Definition Sei X ein topologischer Raum, 1 , 2 : [0, 1] ! X stetige Kurven mit p = 1 (0) = 2 (0) und q = 1 (1) = 2 (1). Eine Homotopie der Wege 1 und 2 relativ der Endpunkte ist eine stetige Abbildung H : [0, 1] ⇥ [0, 1] ! X mit H(–, 0) = 1 , H(–, 1) = 2 , H(0, t) = p f¨ ur alle t 2 [0, 1], H(1, t) = q f¨ ur alle t 2 [0, 1]. Definition Ein topologischer Raum X heißt einfach zusammenh¨ angend, falls er wegzusammenh¨ angend ist und jeder geschlossene Weg : [0, 1] ! X (d. h. (0) = (1) =: p) homotop relativ der Endpunkte zum konstanten Weg t 7! p ist.
53. Definition Seien X, Y topologische R¨ aume und p : X ! Y stetig. Eine Teilmenge U ⇢ Y wird von p gleichm¨ aßig ¨ uberlagert, falls es einen diskreten topologischen Raum D und einen Hom¨ oomorphismus : p 1 (U) ! U ⇥ D gibt, sodass kommutiert: p 1 (U) U ⇥ D U ⇡ ⇡ p Die Abbildung p ist eine ¨ Uberlagerung, falls jeder Punkt in y eine gleichm¨ aßig ¨ uberlagerte Umgebung besitzt. Beispiel Jeder Hom¨ oomorphismus ist auch eine ¨ Uberlagerung.
54. Definition Seien X, Y topologische R¨ aume und p : X ! Y stetig. Eine Teilmenge U ⇢ Y wird von p gleichm¨ aßig ¨ uberlagert, falls es einen diskreten topologischen Raum D und einen Hom¨ oomorphismus : p 1 (U) ! U ⇥ D gibt, sodass kommutiert: p 1 (U) U ⇥ D U ⇡ ⇡ p Die Abbildung p ist eine ¨ Uberlagerung, falls jeder Punkt in y eine gleichm¨ aßig ¨ uberlagerte Umgebung besitzt. Beispiel Jeder Hom¨ oomorphismus ist auch eine ¨ Uberlagerung.
55. ¨ Uberlagerungsabbildungen p : ˜ X ! X besitzen folgende wichtige Hochhebungseigenschaften: Lemma (Hochheben von Wegen) Sei : [0, 1] ! X ein stetiger Weg und ˜ x 0 2 ˜ X mit p(˜ x 0 ) = (0). Dann gibt es genau einen Weg ˜ : [0, 1] ! ˜ X mit ˜(0) = ˜ x 0 und p ˜ = . Lemma (Hochheben von Weghomotopien) Seien 1 , 2 : [0, 1] ! X zwei stetige Wege mit x 0 := 1 (0) = 2 (0) und 1 (1) = 2 (1) zusammen mit einer Homotopie H : [0, 1] ⇥ [0, 1] ! X zwischen 1 und 2 relativ der Endpunkte. Sei ˜ x 0 2 ˜ X mit p(˜ x 0 ) = x 0 und ˜ 1 , ˜ 2 : [0, 1] ! ˜ X die Hochhebungen von 1 bzw. 2 wie in obigem Lemma. Dann gibt es genau eine Homotopie ˜ H : [0, 1] ⇥ [0, 1] ! ˜ X von ˜ 1 und ˜ 2 relativ der Endpunkte.
56. ¨ Uberlagerungsabbildungen p : ˜ X ! X besitzen folgende wichtige Hochhebungseigenschaften: Lemma (Hochheben von Wegen) Sei : [0, 1] ! X ein stetiger Weg und ˜ x 0 2 ˜ X mit p(˜ x 0 ) = (0). Dann gibt es genau einen Weg ˜ : [0, 1] ! ˜ X mit ˜(0) = ˜ x 0 und p ˜ = . Lemma (Hochheben von Weghomotopien) Seien 1 , 2 : [0, 1] ! X zwei stetige Wege mit x 0 := 1 (0) = 2 (0) und 1 (1) = 2 (1) zusammen mit einer Homotopie H : [0, 1] ⇥ [0, 1] ! X zwischen 1 und 2 relativ der Endpunkte. Sei ˜ x 0 2 ˜ X mit p(˜ x 0 ) = x 0 und ˜ 1 , ˜ 2 : [0, 1] ! ˜ X die Hochhebungen von 1 bzw. 2 wie in obigem Lemma. Dann gibt es genau eine Homotopie ˜ H : [0, 1] ⇥ [0, 1] ! ˜ X von ˜ 1 und ˜ 2 relativ der Endpunkte.
57. Lemma (BH, I.3.28.) Sei X ein wegzusammenh¨ angender metrischer Raum, ˜ X ein vollst¨ andiger metrischer Raum und p : ˜ X ! X ein lokaler Hom¨ oomorphismus. Angenommen, L(˜ ↵)  L(p ˜ ↵) f¨ ur alle Wege ↵ : [0, 1] ! ˜ X f¨ ur alle x 2 X gibt es ein r > 0, sodass jedes y 2 B r (x) mit x durch eine eindeutige linear parametrisierte Geod¨ ate y : [0, 1] ! B r (x) verbunden ist und y stetig von y abh¨ angt. Dann ist p eine ¨ Uberlagerung. Folgerung Sei X ein Hadamard-Raum (vollst¨ andig, einfach zshgd, CAT(0)) und p 2 X. Dann ist exp p : ˜ X p ! X eine ¨ Uberlagerung.
58. Definition Ein vollst¨ andiger, einfach zusammenh¨ angender L¨ angenraum mit Alexandrov-Kr¨ ummung  0 heißt Hadamard-Raum. Lemma Sei p : ˜ X ! X eine ¨ Uberlagerungsabbildung, ˜ X 6= ;, X einfach zusammenh¨ angend und ˜ X wegzusammenh¨ angend. Dann ist p ein Hom¨ oomorphismus. Folgerung exp p : ˜ X p ! X ist ein Hom¨ oomorphismus, wenn X ein Hadamard-Raum ist. Satz (Cartan-Hadamard) 1 F¨ ur alle Paare p, q von Punkte in einem Hadamard-Raum gibt es genau eine verbindende Geod¨ ate pq . 2 All diese Geod¨ aten sind k¨ urzeste Wege.
59. Definition Ein vollst¨ andiger, einfach zusammenh¨ angender L¨ angenraum mit Alexandrov-Kr¨ ummung  0 heißt Hadamard-Raum. Lemma Sei p : ˜ X ! X eine ¨ Uberlagerungsabbildung, ˜ X 6= ;, X einfach zusammenh¨ angend und ˜ X wegzusammenh¨ angend. Dann ist p ein Hom¨ oomorphismus. Folgerung exp p : ˜ X p ! X ist ein Hom¨ oomorphismus, wenn X ein Hadamard-Raum ist. Satz (Cartan-Hadamard) 1 F¨ ur alle Paare p, q von Punkte in einem Hadamard-Raum gibt es genau eine verbindende Geod¨ ate pq . 2 All diese Geod¨ aten sind k¨ urzeste Wege.
61. Satz Sei X ein Hadamard-Raum. Dann gilt f¨ ur alle x, y, z 2 X mit verbindenden K¨ urzesten xy , yz , xz : Die Winkelsumme des Dreiecks (x, y, z) ist  ⇡. Bemerkung Dies ist ¨ aquivalent dazu, dass das Dreieck die Vergleichseigenschaft erf¨ ullt. Somit sind in Hadamard-R¨ aumen Dreiecke beliebiger Gr¨ oße ” d¨ unn“. Beweis ” Alexandrovs Flickwerk“