Der Endlichkeitssatz von Serre über die Homotopiegruppen der Sphären (Bachelorarbeitskolloquium)

Bachelorarbeit: http://timbaumann.info/bachelorarbeit/homotopiegruppen_serre.pdf

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1. Der Endlichkeitssatz von Serre ¨ uber die Homotopiegruppen der Sph¨ aren Tim Baumann Universit¨ at Augsburg 4. Februar 2016
2. Sei X ein wegzusammenh¨ angender topol. Raum mit Basispunkt x0. Def. Die i-te Homotopiegruppe von X ist πi (X) := [(Si , ∗), (X, x0)] = { basispunkterh. stetige Abb. Si → X } basispunkterh. Homotopie .
3. Sei X ein wegzusammenh¨ angender topol. Raum mit Basispunkt x0. Def. Die i-te Homotopiegruppe von X ist πi (X) := [(Si , ∗), (X, x0)] = { basispunkterh. stetige Abb. Si → X } basispunkterh. Homotopie . Ziel. πi (Sn) studieren
4. Sei X ein wegzusammenh¨ angender topol. Raum mit Basispunkt x0. Def. Die i-te Homotopiegruppe von X ist πi (X) := [(Si , ∗), (X, x0)] = { basispunkterh. stetige Abb. Si → X } basispunkterh. Homotopie . Ziel. πi (Sn) studieren Methode. Verwende den Hurewicz-Homomorphismus hi : πi (X) → Hi (X), [f : Si → X] → f∗(α), wobei α ∈ Hi (Si ) ein fester Erzeuger ist, und Satz (Hurewicz-Thm). Sei n ≥ 2. Angenommen, πi (X) = 0 f¨ ur i < n. Dann gilt Hi (X) = 0 f¨ ur i < n und hn : πn(X) → Hn(X) ist ein Isomorphismus.
5. Sei X ein wegzusammenh¨ angender topol. Raum mit Basispunkt x0. Def. Die i-te Homotopiegruppe von X ist πi (X) := [(Si , ∗), (X, x0)] = { basispunkterh. stetige Abb. Si → X } basispunkterh. Homotopie . Ziel. πi (Sn) studieren Methode. Verwende den Hurewicz-Homomorphismus hi : πi (X) → Hi (X), [f : Si → X] → f∗(α), wobei α ∈ Hi (Si ) ein fester Erzeuger ist, und Satz (Hurewicz-Thm). Sei n ≥ 2. Angenommen, πi (X) = 0 f¨ ur i < n. Dann gilt Hi (X) = 0 f¨ ur i < n und hn : πn(X) → Hn(X) ist ein Isomorphismus. Kor. πi (Sn) = 0 f¨ ur i < n, πn(Sn) ∼ = Z f¨ ur n ≥ 2.
6. Satz (Jean-Pierre Serre, 1951). Die Gruppen πi (Sn), i > n, sind endlich bis auf die Gruppen π2n−1(Sn) f¨ ur n ≥ 2 gerade, welche isomorph zur direkten Summe von Z und einer endlichen Gruppe sind.
7. Satz (Jean-Pierre Serre, 1951). Die Gruppen πi (Sn), i > n, sind endlich bis auf die Gruppen π2n−1(Sn) f¨ ur n ≥ 2 gerade, welche isomorph zur direkten Summe von Z und einer endlichen Gruppe sind. Bsp. Die Hopf-Faserung η : S3 → S2 ist ein Element der Ordnung unendlich in π3(S2).
8. Erste Verallgemeinerung: Serre-Klassen Def. Eine Klasse C von abelschen Gruppen heißt Serre-Klasse, falls (I) F¨ ur jede kurze exakte Sequenz 0 → A → B → C → 0 von abelschen Gruppen gilt: B ∈ C ⇐⇒ A, C ∈ C. (II) F¨ ur A, B ∈ C sind auch A ⊗ B ∈ C und Tor(A, B) ∈ C. Axiom. (III) Es sei G ∈ C. Dann ist Hi (K(G, n)) ∈ C f¨ ur alle n ≥ 1, i ≥ 0.
9. Erste Verallgemeinerung: Serre-Klassen Def. Eine Klasse C von abelschen Gruppen heißt Serre-Klasse, falls (I) F¨ ur jede kurze exakte Sequenz 0 → A → B → C → 0 von abelschen Gruppen gilt: B ∈ C ⇐⇒ A, C ∈ C. (II) F¨ ur A, B ∈ C sind auch A ⊗ B ∈ C und Tor(A, B) ∈ C. Axiom. (III) Es sei G ∈ C. Dann ist Hi (K(G, n)) ∈ C f¨ ur alle n ≥ 1, i ≥ 0. Lem/Bspe. Folgendes sind Serre-Klassen, die Axiom (III) erf¨ ullen: a) TP := endl. ab. Gruppen, deren Ordnung ein Produkt von Primzahlen in P ⊆ P ist , b) F := T P = { endliche abelsche Gruppen } c) FG := { endlich erzeugte abelsche Gruppen }
10. Erste Verallgemeinerung: Serre-Klassen Satz (Hurewicz-mod-C-Thm). Es sei n ≥ 2. Es sei C eine Serre-Klasse, die (III) erf¨ ullt. Es sei X ein einfach zusammenh¨ angender topologischer Raum. Angenommen, πi (X) ∈ C f¨ ur i < n. Dann gilt Hi (X) ∈ C f¨ ur i < n und hn : πn(X) → Hn(X) ist ein Isomor. modulo C, d. h. ker(hn) ∈ C und coker(hn) ∈ C.
11. Erste Verallgemeinerung: Serre-Klassen Satz (Hurewicz-mod-C-Thm). Es sei n ≥ 2. Es sei C eine Serre-Klasse, die (III) erf¨ ullt. Es sei X ein einfach zusammenh¨ angender topologischer Raum. Angenommen, πi (X) ∈ C f¨ ur i < n. Dann gilt Hi (X) ∈ C f¨ ur i < n und hn : πn(X) → Hn(X) ist ein Isomor. modulo C, d. h. ker(hn) ∈ C und coker(hn) ∈ C. Kor. Sei n ≥ 2. Dann sind die Homotopiegruppen πi (Sn), i ≥ 1 endlich erzeugt.
12. Zweite Verallgemeinerung: Relativit¨ at Satz (relatives Hurewicz-mod-C-Thm). Es sei n ≥ 2. Es sei C eine Serre-Klasse, die (III) erf¨ ullt. Es sei (X, A) ein einfach zusammenh¨ angendes Raumpaar mit A = ∅ und A einfach zusammenh¨ angend. Angenommen, πi (X, A) ∈ C f¨ ur i < n. Dann gilt Hi (X, A) ∈ C f¨ ur i < n und hn : πn(X, A) → Hn(X, A) ist ein Isomor. modulo C.
13. Zweite Verallgemeinerung: Relativit¨ at Satz (relatives Hurewicz-mod-C-Thm). Es sei n ≥ 2. Es sei C eine Serre-Klasse, die (III) erf¨ ullt. Es sei (X, A) ein einfach zusammenh¨ angendes Raumpaar mit A = ∅ und A einfach zusammenh¨ angend. Angenommen, πi (X, A) ∈ C f¨ ur i < n. Dann gilt Hi (X, A) ∈ C f¨ ur i < n und hn : πn(X, A) → Hn(X, A) ist ein Isomor. modulo C. Kor. Es sei f : A → B stetig, A und B nichtleer und einfach zusammenh¨ angend. Dann sind ¨ aquivalent: a) f∗ : πi (A) → πi (B) ist ein Isomorphismus mod C f¨ ur i < n und ein Epimorphismus mod C f¨ ur i = n. b) f∗ : Hi (A) → Hi (B) ist ein Isomorphismus mod C f¨ ur i < n und ein Epimorphismus mod C f¨ ur i = n.