計算量オーダーの話

計算量オーダーについて説明してみました。

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1. 計算量オーダーの話 LTDD 2024-5 #2 中国地方DB勉強会 #1 @tsuda_ahr
2. 最初に免責 • 概念的なわかりやすさ（？）を重視して、誇張した表現を多用しています。 • いやその表現、誇張を超えて嘘だよね、みたいなのもあります。-_-; • なので正しくはこうだ！みたいなものは、各自調査／発信してください（汗
3. 情報処理技術者試験の問題例 (1) https://www.ipa.go.jp/shiken/mondai-kaiotu/ug65p90000002h5m-att/2012h24a_fe_am_qs.pdf • 平成24年秋の基本情報技術者試験 午前問題より
4. 情報処理技術者試験の問題例 (2) • 令和6年春 応用情報技術者試験 午後問題 問3 より
5. O(n), O(n2) ってなんだ？ • 計算量の指標 • データが n 件あったとき、何回計算するか？
6. O記法、と言う • ランダウの記号、とも言うらしい。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6%E3%81%AE%E8%A8%98%E5%8F%B7
7. たとえばこんなイメージ n=10 n=100 n=10000 O(1) 1回 1回 1回 O(n) 10回 100回 10000回 O(n2) 100回 10000回 1億回 O(log n) 4回 7回 14回 データの個数 計算回数 計算量 オーダー表記 O(n) O(n2) O(log n)
8. 例1) 配列へのアクセス • 添え字を指定すれば一発でアクセスできるので、計算量オーダーは O(1) • 例）要素 5 のデータを参照したい 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ・・・ AAAA BBBB CCCC DDDD EEEE FFFF GGGG HHHH IIII JJJJ
9. 例2) 線形探索 • n 件あれば、n 回ループする可能性があるので、計算量オーダーは O(n) • 例） “HHHH” を探したい (上の要素から順に探す） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ・・・ AAAA BBBB CCCC DDDD EEEE FFFF GGGG HHHH IIII JJJJ
10. ん？平均回数でみると、O(0.5n)になるのでは？ • 係数部分は省略するらしいです。 • なので 0.000001n だろうと 10000000n だろうと O(n) と表現する らしい。
11. 例3) ソート（バブルソート） • 二重ループになるので、計算量オーダーは O(n2) n = len(body) for x in range(0, n) : for y in range(1, n) : if (body[y - 1] > body[y]) : body[y - 1], body[y] = body[y], body[y - 1] 二重ループ Python によるコード例
12. ループのネストが増えると？ • 三重ループだと O(n3), 四重ループだと O(n4)・・・という感じになってい きます。
13. log が出てくるケースは？ • O(log n) とか O(n log n) とか書かれているのは何？
14. 例4) 二分岐探索 • 二分岐探索について考えてみます。 注） 二分岐探索（Binary Tree)は、データベースでよくつかわれている B 木とは 違います。
15. 前提 • HHHH を探したい。（＝探索キー） • ただし、探索対象はソート済みとする。 • 探索対象は以下。 AAAA BBBB CCCC DDDD EEEE FFFF GGGG HHHH 探索対象
16. 探索方法 • まず真ん中あたりを決めて、そのデータと探索キーの大小を比較する。 • 小さければ前半を、大きければ後半を探す。 • それを一致するまで繰り返し行う。 AAAA BBBB CCCC DDDD EEEE FFFF GGGG HHHH AAAA BBBB CCCC DDDD EEEE FFFF GGGG HHHH AAAA BBBB CCCC DDDD EEEE FFFF GGGG HHHH AAAA BBBB CCCC DDDD EEEE FFFF GGGG HHHH 探索1回目 探索2回目 探索3回目 探索４回目
17. 木構造で見るとこんな感じ • こういう木構造に見えるので「二分木」と呼ばれる AAAA BBBB CCCC DDDD EEEE FFFF GGGG HHHH より小さい より大きい より小さい より小さい より大きい より大きい より大きい
18. 探索回数は？ • たとえばデータが 8 の場合、4 回の検索でたどりついた。 • 16 の場合は 5 回 • 32 の場合は 6 回 • 65536の場合は？ →たぶん 17 回 • １６７７７２１６の場合は？ →たぶん 25回 • ということは、n = 2x のデータに対して x + 1 回でたどり着いている。 • n から x を求めたい場合 x = log 2 (n) となる。
19. さてデータベースの場合 • 探索にかかる時間は、 • フルスキャン → O(n) • インデックススキャン →Ｏ（log n) みたいな感じです。
20. つまり、 • 100万件のデータがあった場合の最悪ケースの探索回数は以下 注） 実際のインデックスは二分木ではなく B 木だったり、ディスクに記録されている インデックスデータすべてをいきなりメモリ上に展開するわけでもなかったり、 ディスクからメモリに展開するためのディスク I/O があったりその他云々いろい ろあるので、上記のような単純な話ではありません（汗 実行計画 探索方法 探索回数 テーブルフルスキャン 線形探索 １００万回 インデックススキャン 木による探索 20回
21. 圧倒的じゃないかインデックスは！ • よし、じゃあインデックスを貼りまくれば万事解決！！
22. そんなわけない（汗 • 二分木探索のとき、必要だったのは「ソートされた」データでした。 • つまりインデックスにデータを追加するとき、インデックスのデータはソートさ れた状態を維持しなくてはならない。 • ソートされた状態を維持したままデータを追加するのはコストがかかる。 • したがってインデックスを作ると、検索 (select) のときは早いけど、データ の挿入(insert)や更新(update) のときに激重になる。
23. なので • インデックスを貼る場合は、検索頻度と更新頻度を考慮して、貼るカラムを選 定する必要があります。
24. こちらからは以上です • 探索とかソートする際は計算量を気にしましょう。